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等比数列性质针对专练(1)


等比数列性质专项训练
一、选择题 1.已知数列 ? 1, a1 , a2 ,?4 成等差数列, ? 1, b1 , b2 , b3 ? 4 成等比数列,则 A、
1 2

a2 ? a1 的值为( b2

)

B、—

1 2

C、

1

1 或— 2 2

D、

1 4

2.等比数列 {an } 中, an ? 0, a1 , a99 为方程 x2 ? 10 x ? 16 ? 0 的两根,则 a20 ? a50 ? a80 的值为(
A.32 B. 6 4 C.256 D. ? 6 4



5.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a5 a6 ? a4 a7 =18,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ?? log3 a10 =( A.12 B.10 C.8 D.2+ log3 5

)

6. S n 是公差不为 0 的等差 ?an ? 的前 n 项和,且 S1 , S 2 , S 4 成等比数列,则 A. 4 B. 6 C.8

a 2 ? a3 等于 ( a1



D.10

7.公差不为零的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项, S10 ? 60, 则 S8 等于 A、28 B、32 C、36 D、40 ) 8.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 4 ? 2S 2 ,则公比为( A.1 B.1 或-1 C.

1 1 或? D.2 或-2 2 2 9.已知等比数列{an }的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为 A .15 B.17 C.19 D .21 二、填空题

13.设等比数列{ an }的前 n 项和为 sn 。若 a1 ? 1, s6 ? 4s3 ,则 a4 = 15.等比数列{ an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1, an?2 ? an?1 ? 6an ,则{ an }的前 4 项和 S4 = 16.等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n = a ? 2 n ? a ? 2 ,则 an =_______. 三、解答题 20.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 公比 q ? 0 ,设 bn ? log2 an ,且 b1 ? b3 ? b5 ? 6, b1b3b5 ? 0. (1)求证:数列 ?bn ? 是等差数列; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 及数列 ?an ? 的通项公式; (3)试比较 an 与 S n 的大小.

-1-

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1,2,3,? 3 3 3 n n 3 2 (Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn ? , n ? 1,2,3,? ,证明: ? Ti ? 2 Sn i ?1 4 1 2 4 1 2 3.解: (Ⅰ)由 Sn=3an-3×2n+1+3, n=1,2,3,? , ① 得 a1=S1= 3a1-3×4+3 所以 a1=2. 4 1 2 再由①有 Sn-1=3an-1-3×2n+3, n=2,3,4,? 4 1 将①和②相减得: an=Sn-Sn-1= 3(an-an-1)-3×(2n+1-2n),n=2,3, ?

3.(2006 全国Ⅰ卷理)设数列 ?an ? 的前 n 项的和, S n ?

整理得: an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3, ? , 因而数列{ an+2n}是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列,即 : an+2n=4×4n-1= 4n, n=1,2,3, ?, 因而 an=4n-2n, n=1,2,3, ?, 4 1 2 1 (Ⅱ)将 an=4n-2n 代入①得 Sn= 3×(4n-2n)-3×2n+1 + 3 = 3×(2n+1-1)(2n+1-2) 2 = 3×(2n+1-1)(2n-1) 2n 3 2n 3 1 1 Tn= S = 2× n+1 = 2×( n - n+1 ) n (2 -1)(2 -1) 2 -1 2 -1 n 所以, 3 n 1 1 3 1 1 3 - i+1 ) = 2×( 1 - i+1 )< 2 Ti = 2 ? ( i ? 2 -1 2 -1 2 -1 2 -1 i ?1 i?1
n

1 8.(2006 安徽理)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? , Sn ? n 2 an ? n ? n ? 1? , n ? 1, 2, ??? 2 (Ⅰ)写出 Sn 与 Sn ?1 的递推关系式 ? n ? 2 ? ,并求 Sn 关于 n 的表达式;

(Ⅱ)设 f n ? x ? ?

S n n ?1 x , bn ? f n/ ? p ?? p ? R ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 n

8.解:由 Sn ? n2an ? n ? n ?1? ? n ? 2 ? 得: Sn ? n2 (Sn ? Sn?1 ) ? n ? n ?1? ,即,
n n ?1 3 2 n ?1 1 Sn ?1 ? Sn ? 2 ? 1 ,?, S 2 ? S1 ? 1 相加得: Sn ? 2S1 ? n ? 1 ,又 S1 ? a1 ? ,所以 n ?1 n?2 2 1 n 2 2 n Sn ? ,当 n ? 1 时,也成立。 n ?1 S n n ?1 x ,得 bn ? fn/ ? p ? ? npn 。 (Ⅱ)由 f n ? x ? ? n x n ?1 ? n n ?1 n ?1 n Sn ? Sn ?1 ? 1 ,对 n ? 2 成立。 而 (n2 ?1)Sn ? n2 Sn?1 ? n ? n ?1? ,所以 n n ?1 n ?1 n Sn ? Sn ?1 ? 1 Tn ? p ? 2 p2 ? 3 p3 ? ?? (n ?1) pn?1 ? npn , 由 n n ?1 pTn ? p2 ? 2 p3 ? 3 p4 ? ?? (n ?1) pn ? npn?1 ,

(1 ? P)Tn ? p ? p 2 ? p3 ? ? ? p n?1 ? p n ? np n?1 ?

p(1 ? p n ) ? np n?1 1? p
-2-

10.(2005 山东文)已知数列 ?an? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? 2Sn ? n ? 5(n ? N * ) (I)证明数列 ?an ?1? 是等比数列; (II)令 f ( x) ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn ,求函数 f ( x) 在点 x ? 1 处的导数 f ?(1) 10.解:由已知 Sn?1 ? 2Sn ? n ? 5(n ? N * ) 可得 n ? 2, Sn ? 2Sn?1 ? n ? 4 两式相减得 从而 an?1 ?1 ? 2? an ?1? 当 n ? 1 时, S2 ? 2S1 ? 1 ? 5 ,所以 a2 ? a1 ? 2a1 ? 6 又 a1 ? 5 所以 a2 ? 11 ,从而 a2 ?1 ? 2? a1 ?1? 故总有 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , n ? N * a ?1 又 a1 ? 5, a1 ? 1 ? 0 ,从而 n?1 ?2, an ? 1 (II)由(I)知 an ? 3? 2n ?1 因为 f ( x) ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn 所以 f ?( x) ? a1 ? 2a2 x ? ? ? nan xn?1 = 3 ? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ? - ?1 ? 2 ? ? ? n ? = 3 ? n ? 1? ? 2n?1 ? 从而 f ?(1) ? a1 ? 2a2 ? ?? nan = ? 3 ? 2 ? 1? ? 2 ? 3 ? 22 ? 1? ? ? ? n(3 ? 2 n ? 1)
n(n ? 1) ?6. 2
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

Sn?1 ? Sn ? 2? Sn ? Sn?1 ? ?1 ,即 an?1 ? 2an ? 1

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

即数列 ?an ?1? 是以 ? a1 ?1? ? 6 为首项,2 为公比的等比数列;

例题 2. (2007 年二次月考)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 ?S n ? 是首项为 1,各项均为 正数且公比为 q 的等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)试比较 an ? an?2与2an?1 (n ? N? ) 的大小,并证明你的结论. 解析: (Ⅰ)∵ ?S n ? 是各项均为正数的等比数列. ∴ Sn ? q
n?1

(q ? 0) .

当 n=1 时,a1=1,

n ?2 当 n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? (q ?1)q .



( n ? 1) ?1 an ? ? n?2 ?(q ? 1)q (n ? 2)



(Ⅱ)当 n=1 时,
3 1 a1 ? a3 ? 2a2 ? S1 ? S1 (q ? 1)q ? 2S1 (q ? 1) ? [(q ? ) 2 ? ] ? 0. 2 4

∴ a1 ? a3 ? 2a2

∴当 n ? 2时, an ? an?2 ? 2an?1 ? S1 (q ? 1)q ∵ q ? 0, q
n?2

n?2

? S1 (q ? 1)q n ? 2S1 (q ? 1)q n?1 ? (q ?1)3 qn?2

? 0.

3 ①当 q=1 时, (q ? 1) ? 0,? an ? an?2 ? 2an?1.

-3-

3 ②当 0 ? q ? 1时, (q ? 1) ? 0,? an ? an?2 ? 2an?1. 3 ③当 q ? 1时, (q ? 1) ? 0,? an ? an?2 ? 2an?1.

综上可知:

当 n=1 时, a1 ? a3 ? 2a2

当 n ? 2时, 若q ? 1, 则an ? an?2 ? 2an?1 ; 若 0 ? q ? 1, 则an ? an?2 ? 2an?1 ; 若 q ? 1, 则a n ? a n? 2 ? 2an?1 . 点评:本题考查了等比数列的基本知识,还要注意分类讨论。 考点二:求数列的通项与求和 例题 3. (2007 年 5 月湖北省十一校).已知数列 {an } 中各项为: 12、1122、111222、??、个

11??????1 22 ??????2 ? ?? ? ?? ? ? ? ?
n



n

??

(1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. (2)求这个数列前 n 项之和 Sn . 解析:先要通过观察,找出所给的一列数的特征,求出数列的通项,进一步再求和。
1 2 an ? (10n ? 1) ?10n ? ? (10n ? 1) 9 9 答案: (1)
n n 10? 1 10 1 ? 1 ? ( 1 n ? 1 ) n ? 0 ? (2 ) 0 ? (1 )? ( ? 1) 9 3 3

10 n ? 1 记:A = 3 ,

则 A=

33 ??????3 ? ?? ? ?

n

为整数

?
(2)

an = A (A+1) ,
? an ?

得证

1 2n 1 n 2 10 ? 10 ? 9 9 9

1 1 2 Sn ? (102 ? 104 ? ?????? ?102 n ) ? (10 ? 102 ? ??????10n ) ? n 9 9 9 1 1 ? ( 1 2 n ? 2? 1 1 n ? 0 0 ? 1? n1 9 8 ? 210) 891 点评:本题难点在于求出数列的通项,再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积,解决此题需要

例题 4. (云南省 2007 年第一次高中毕业生复习统一检测) 已知 S n 是数列{ an }的前 n 项和,并且

a1 =1,对任意正整数 n, S n?1 ? 4an ? 2 ;设 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,3,?).
(I)证明数列 {bn } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式;
-4-

Cn ?
(II)设

bn 1 , Tn为数列 { } 3 log2 Cn?1 ? log2 Cn? 2 的前 n 项和,求 Tn .

解析: (I)? S n?1 ? 4an ? 2,? S n ? 4an?1 ? 2(n ? 2), 两式相减: an?1 ? 4an ? 4an?1 (n ? 2),
? a n ? 1 ? 4(a n ? a n ? 1 )(n ? 2),? b n ? a n ? 1 ? 2a n , ? b n ? 1 ? a n ? 2 ? 2a n ? 1 ? 4(a n ? 1 ? a n ) ? 2a n ? 1 , b n ? 1 ? 2(a n ? 1 ? 2a n ) ? 2b n (n ? N *),

?

bn?1 ? 2, bn

?{bn } 是以 2 为公比的等比数列,

? b1 ? a2 ? 2a1 , 而a1 ? a2 ? 4a1 ? 2,? a2 ? 3a1 ? 2 ? 5, b1 ? 5 ? 2 ? 3,
?bn ? 3 ? 2 n?1 (n ? N*)

(II)

Cn ?

1 1 1 bn ? ? , ? 2 n ?1 , ? n n ?1 log2 C n?1 ? log2 C n? 2 log2 2 ? log2 2 n(n ? 1) 3

1 1 1 ? ? , ? Tn ? (1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 ) ? 1 ? 1 . 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 而 n(n ? 1) n n ? 1

点评:本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列 ?an ? 的通项 an ,第二问求 和用到裂项的办法求和。 考点三:数列与不等式的联系 例题 5.(2007 年 5 月莆田四中)已知 ? 为锐角,且 tan? ? 2 ? 1 ,
f ( x) ? x 2 tan 2? ? x ? sin( 2? ?

?

函数

4 ,数列{an}的首项

)

a1 ?

1 , a n ?1 ? f (a n ) 2 .

⑴ 求函数 f (x) 的表达式; ⑵ 求证: an?1 ? an ;

1?

⑶ 求证: 解析:本题是借助函数给出递推关系,第(2)问的不等式利用了函数的性质,第(3)问是转化 成可以裂项的形式,这是证明数列中的不等式的另一种出路。

1 1 1 ? ??? ? 2 (n ? 2 , n ? N * ) 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an

tan2? ?
答案:解:⑴
2? ?

2 tan? 2( 2 ? 1) ? ?1 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2
sin( 2? ?

又∵ ? 为锐角

?
4

?
4





) ?1

f ( x) ? x 2 ? x

2 ⑵ an?1 ? an ? an



a1 ?

1 2

∴ a2 , a3 ,?an 都大于 0
-5-

2 ∴ an ? 0

∴ an?1 ? an

1



a n?1

?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? a ? a n a n (1 ? a n ) a n 1 ? a n ∴ 1 ? an a n a n?1
2 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ? ??? ? 1 ? an a1 a2 a2 a3 an an?1 ∴ 1 ? a1 1 ? a2 ? 1 1 1 ? ? 2? a1 a n?1 a n?1

1 1 3 3 3 a2 ? ( ) 2 ? ? a3 ? ( ) 2 ? ? 1 2 2 4, 4 4 ∵ ,

又∵ n ? 2 an?1 ? an
1? 2? 1 a n ?1 ?2

∴ an?1 ? a3 ? 1
1?





1 1 1 ? ??? ?2 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an

点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本题中的第(3)问不等式所给的式 子更具有一般性。 例题 7.(2007 年 5 月 2007 浙江省五校) 已知函数

f ( x) ? x ? ln ?1 ? x ?

a ,数列 ? n ? 满足 0 ? a1 ? 1,

an?1 ? f ? an ?

;

?bn ? 满足 b1 ? 2 , bn?1 ? 2 (n ? 1)bn , 数列

1

1

n ? N * .求证:

(Ⅰ) 0 ? an?1 ? an ? 1;
an ?1 ? an 2 ; 2
a1 ? 2 , 2 则当 n≥2 时, bn ? an ? n! .

(Ⅱ)

(Ⅲ)若

解析:第(1)问是和自然数有关的命题,可考虑用数学归纳法证明;第(2)问可利用函数的单 调性;第(3)问进行放缩。
* 答案:解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明 0 ? an ? 1 , n ? N .

(1)当 n=1 时,由已知得结论成立; (2)假设当 n=k 时,结论成立,即 0 ? ak ? 1 .则当 n=k+1 时,
f ?( x) ? 1 ? 1 x ? ?0 x ?1 x ?1 ,所以 f(x)在(0,1)上是增函数.

因为 0<x<1 时, 又 f(x)在 ?

0,1?

上连续,所以 f(0)<f( ak )<f(1),即 0< ak ?1 ? 1 ? ln 2 ? 1.
-6-

故当 n=k+1 时,结论也成立. 即 0 ? an ? 1 对于一切正整数都成立.

a ? a ? an ? ln ?1 ? an ? ? an ? ? ln(1? an ) ? 0 又由 0 ? an ? 1 , 得 n?1 n ,从而 an?1 ? an .
综上可知 0 ? an?1 ? an ? 1.
x2 x2 ? ln(1 ? x) ? x (Ⅱ)构造函数 g(x)= 2 -f(x)= 2 , 0<x<1,
g ?( x) ? x2 ?0 1? x ,知 g(x)在(0,1)上增函数.



又 g(x)在 ?

0,1?

上连续,所以 g(x)>g(0)=0.

an 2 a2 ? f ? an ? an ?1 ? n . g a ?0 2 因为 0 ? an ? 1 ,所以 ? n ? ,即 2 >0,从而
bn?1 n ? 1 1 1 b1 ? , bn ?1 ? (n ? 1)bn ? 2 2 2 , (Ⅲ) 因为 ,所以 bn ? 0 , bn bn ? bn bn?1 b2 1 ? ? ? b1 ? n ? n ! bn?1 bn?2 b1 2 an?1 an an 2 ? , 2 , 2 知: an

所以

————① ,

由(Ⅱ)

an ?1 ?

an a2 a3 a a a a ? ? n ? 1 2 ? n ?1 2 , 所以 a1 = a1 a2 an?1 2 2

因为

a1 ?

2 2 , n≥2, 0 ? an?1 ? an ? 1.

所以 an

?

a n 2 ? a12 1 a1 a2 an ?1 ? ? a1 n1?1 n n 2 2 2 < 2 < 2 = 2 ————② .

由①② 两式可知: bn ? an ? n! . 点评:本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题,属于难题,复习时应引起注意。 考点四:数列与函数、向量、概率等的联系
* 例题 8.(四川省南充高级中学 2008 届十月份月考)无穷数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? npan (n ? N ) ,

并且 a1 ≠ a2 . (1)求 p 的值; (2)求 {an } 的通项公式;
2 n (3)作函数 f ( x) ? a2 x ? a3 x ? ?? an?1x ,如果 S10 ? 45 ,证明:

1 1 f( )? 3 4.

-7-

解析: (1)∵

a1 ? S1 ? pa1



a1 ? 0 ,且 p=1,或 a1 ? 0 .

若是 a1 ? 0 ,且 p=1,则由 a1 ? a2 ? S2 ? 2 pa2 . ∴

a1 ? a2 ,矛盾.故不可能是: a1 ? 0 ,且 p=1.由 a1 ? 0 ,得 a2 ? 0 .
p? 1 2. a n ?1 ? 1 1 (n ? 1)a n ?1 ? na n 2 2 .

又 a1 ? a2 ? S2 ? 2 pa2 ,∴
S n ?1 ?

(2)∵

1 1 (n ? 1)an ?1 S n ? na n 2 2 , ,



(n ? 1)an?1 ? nan .
ak ?1 k ? k ?1 . 当 k≥2 时, ak

an ?



n≥3 时有 ∴

an an?1 ? ??? a3 ? a2 ? n ? 1 ? n ? 2 ??? 2 ? a2 ? (n ? 1)a2 an?1 an?2 a2 n?2 n?3 1 .

* 对一切 n ? N 有: an ? (n ?1)a2 .

(3)∵

1 45 ? S10 ? 10 ? ? a10 ? 45 a2 2 ,



a2 ? 1 .

an ? n ? 1(n ? N* ) .

2 n 故 f ( x) ? x ? 2 x ? ? ? nx .



1 1 2 n f ( ) ? ? 2 ??? n 3 3 3 3 .

1 2 3 n 3 ? f ( ) ? ? 2 ? ? ? n ?1 3 3 3 3 . 又



1 1 ?? 3 ? 1 1 1 1 n 1 1 1 1 2 2 ? f ( ) ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? ? 2 ? 3 ? 1? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 .故

1 1 f( )? 3 4.

点评:本题是函数、不等式的综合题,是高考的难点热点。 5 ? 2x 例题 8.(2007 年 5 月徐州市)已知函数 f(x)= ,设正项数列 ?an ? 满足 a1 =l, an?1 ? f ? an ? . 16 ? 8 x 5 (1)写出 a2 、 a3 的值; (2)试比较 an 与 的大小,并说明理由; 4 (3)设数列 ?bn ? 满足 bn =
n 5 1 - an ,记 Sn= ? bi .证明:当 n≥2 时,Sn< (2n-1). 4 4 i ?1

分析:比较大小常用的办法是作差法,而求和式的不等式常用的办法是放缩法。

-8-

解:(1) an ?1 ?

5 ? 2an 7 3 ,因为 a1 ? 1, 所以 a2 ? , a3 ? . 16 ? 8an 8 4

(2)因为 an

? 0, an ?1 ? 0, 所以 16 ? 8an ? 0,0 ? an ? 2.

5 5 48(an ? ) a ? 5 5 ? 2an 5 3 n 4 4 ? ? , an ?1 ? ? ? ? 4 16 ? 8an 4 32(2 ? an ) 2 2 ? an

5 5 4 4 5 1 5 5 5 5 因为 a1 ? ? ? ? 0 , a2 ? ? 0, a3 ? ? 0, ?, an ? ? 0, 即 an ? . 4 4 4 4 4 4

因为 2 ? an ? 0, 所以 an?1 ? 与 an ? 同号,

(3)当 n ? 2 时, bn ? ? an ? ?

5 4

3 1 5 3 1 ? ( ? an ?1 ) ? ? ? bn ?1 2 2 ? an ?1 4 2 2 ? an ?1

3 1 ? ? ? bn ?1 ? 2bn ?1 ,所以 bn ? 2 ? bn?1 ? 22 ? bn?2 ? ? ? 2n?1 b1 ? 2n?3 , 2 2? 5 4
1 1 1 所以 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 ?2?
3? n

1 (1 ? 2n ) 1 4 ? ? (2n ? 1) 1? 2 4

点评:本题是函数、不等式的综合题,是高考的难点热点。 例题 12. (2007 年 5 月宁波市三中) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , nan ?1 ? 2(a1 ? a2 ? ... ? an ) ? n ? N * ? . (1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)求数列 ?an ? 的通项 an ;
1 1 2 (3)设数列 {bn } 满足 b1 ? , bn?1 ? bn ? bn ,求证: bn ? 1(n ? k ) 2 ak

分析:条件中有类似于前 n 项和的形式出现,提示我们应该考虑 an=Sn-Sn-1(n≥2) 解: (1) a2 ? 2, a3 ? 3, a4 ? 4 (2) nan?1 ? 2(a1 ? a2 ? ... ? an ) ① ②
an?1 n ? 1 ? an n

(n ?1)an ? 2(a1 ? a2 ? ... ? an?1 )

①—②得 nan?1 ? (n ?1)an ? 2an 即: nan?1 ? (n ? 1)an ,

所以 an ? a1

a2 a3 an 23 n ... ?1 ... ? n(n ? 2) 所以 an ? n(n ? N * ) a1 a2 an?1 1 2 n ?1

-9-

1 1 2 (3)由(2)得: b1 ? , bn ?1 ? bn ? bn ? bn ? bn ?1 ? ... ? b1 ? 0 , 2 k

所以 {bn } 是单调递增数列,故要证: bn ? 1(n ? k ) 只需证 bk ? 1 若 k ? 1 ,则 b1 ?
1 1 2 1 ? 1 显然成立若 k ? 2 ,则 bn ?1 ? bn ? bn ? bnbn ?1 ? bn 2 k k

所以

1 1 1 1 1 1 1 1 1 k ?1 k ?1 ? ? ? 因此: ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? ? ? ?2? bn?1 bn k bk bk bk ?1 b2 b1 b1 k k
k ? 1 所以 bn ? 1(n ? k ) k ?1

所以 bk ?

点评:与数列相关的不等式证明通常需要“放缩” ,而放缩的“度”尤为关键,本题中
1 1 1 1 1 1 ?( ? ) ? ... ? ( ? ) ? bk bk bk ?1 b2 b1 b1

这种拆分方法是数学中较高要求的变形. 答案 一、选择题 1.A2.B3.B4.B5.B6.C7.B8.B9.A10.B11.C12.D 三、解答题 20.解析: (1)由已知 bn?1 ? bn ? log2 且公差为 d ? log2 q. 13.314.-115.
15 16. 2 n ?1 2

an?1 ? log q 为常数.故数列 ?bn ? 为等差数列, an
4分

(先求 q 也可)

(2)因 a1 ? 1, ? b1 ? log2 a1 ? 0 ,又 b1 ? b3 ? b5 ? 6 ? b3 ? 2 ,所以 b5 ? 0.
?b3 ? b1 ? 2d ? 2, 9n ? n 2 ? b1 ? 4, d ? ?1 ? S n ? . 由? 2 ? b5 ? b1 ? 4d ? 0 ? d ? log 2 q ? ?1 1 ? a1 ? 16, q ? ? a n ? 2 5? n , n ? N * . 由? 2 ?b1 ? log 2 a1 ? 4

8分

(3)因 a n ? 0, 当 n ? 9 时, S n ? 0 ,所以 n ? 9 时, an ? S n ; 又可验证 n ? 1,2 是时, an ? S n ; n ? 3,4,5,6,7,8 时, an ? S n . 12 分

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