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【2013上海奉贤二模】上海市奉贤区2013届高三下学期二模数学(文)试题 Word版含答案


2012 学年第二学期奉贤区高三年级数学学科(文)
(考试时间:120 分钟,满分 150 分) 2013、4、18 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号 的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
开始 1、函数 f ( x) ? 2 sin x 的最小正周期是_____________
2

1? ? 2、在 ? x ? ? 的二项展开式中,常数项是 x? ? 3、已知正数 x 、 y 满足 x ? y ? xy ,则 x ? y 的最小值是
4、执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 5、已知直线 y ? t 与函数 f ( x) ? 3x 及函数 g ( x) ? 4 ? 3x 的图像分别相交 于 A 、 B 两点,则 A 、 B 两点之间的距离为 6、用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器,已知该圆锥的母线与底面所在的 平面所成角为 45 ,容器的高为 10cm,制作该容器需要 的铁皮 7、 (文)若函数 f ( x) ? 8x 的图像经过点 ( , a ) ,则 f
0

8

k=1,S=0 S=S+2k k=k+1 k≥6 是 输出 S 结束 第(4)题 否

cm2

1 ?1 ?a ? 2? = 450 3 2 8、 (文)关于 x 的方程 x ? m x ? 2 ? 0 ?m ? R ? 的一个根是 1 ? ni n ? R ? ,则 m ? n ? 第(6)题 9、 (文)若点 P(1,1) 为圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 0 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为

?

?

10 cm

10、 (文)已知 O 是坐标原点, A ?1,1 ,若点 B x, y 为平面区域 ?
? ? ?

?

?

?

?

?x ? y ? 2 x ?1 y ? 2

上一动点,

??? ??? ? ? 则 OA ? OB 的取值范围是______________. 11、设 f ? x ? 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x ? (0,1) , f ? x ? ? log 1 ?1 ? x ? ,则
函数 f ? x ? 在 (1, 2) 上的解析式是 则 a1 ? d ?
2

12、设正项数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n ,若 ?an ? 和{ S n }都是等差数列,且公差相等,

13、 (文) 已知函数 f(x)=6x-4(x=1,2,3,4,5,6)的值域为集合 A, 函数 g(x)=2x 1(x=1,2,3,4,5,6) 的值域为集合 B,任意 a ∈A∪B,则 a ∈A∩ 的概率是_______ B



x2 y 2 ? ? 1(0 ? b ? 3) 9 b2 14、 (文)已知椭圆: ,左右焦点分别为 F1,F2 ,过 F1 的直线 l 交 ???? ? ???? ? 椭圆于 A B 两点,则 | BF2 | ? | AF2 | 的最大值为 , 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否

则一律得零分.
15、下列命题中正确的是( ) (A)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 互为反函数 (B)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是增函数 (C)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是奇函数 (D)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是周期函数 16、 (文)条件“ abc ? 0 ”是曲线“ ax2 ? by2 ? c ”为双曲线的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 )

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 S 17、 (文)已知各项均为正数的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 lim n ?1 ?1 , 则公比 q 的 n ??? S n 取值范围是 (A) 0 ? q ? 1 18、直线 x ? 2 与双曲线 C : ( (B) 0 ? q ? 1
2

) (C) q ? 1

(D) q ? 1

x ? y 2 ? 1 的渐近线交于 A, B 两点,设 P 为双曲线 C 上的任 4 意一点,若 OP ? aOA ? bOB ( a, b ? R, O 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是
( )
2 2

1 2 1 2 2 2 2 (C) a ? b ? 2 (D) a ? b ? 2 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸 相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
(A) a ? b ? 2 (B) a ? b ?
2 2

19、 (文)在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E , G 分别为棱 DD1 和 CC1 的中点. 1 (1)求异面直线 AE 与 DG 所成的角; (1)求三棱锥 B ? CC1 E 的体积;
D1
B



C1 B1
C

A1

E

G
A

θ

D A B

C
E

第 19(文)题

第 20 题

20、 位于 A 处的雷达观测站,发现其北偏东 45°,与 A 相距 20 2 海里的 B 处有一货船正 以匀速直线行驶, 分钟后又测得该船只位于观测站 A 北偏东 45? ? ? 0 ? ? ? 45 的 20
0 0

?

?

C 处, AC ? 5 13 .在离观测站 A 的正南方某处 E, cos?EAC ? ? (1)求 cos ? ; (2)求该船的行驶速度 v(海里/小时) ;

2 13 13

2 x 0 5x ? 2
21 、 三 阶 行 列 式 D ? 0

1

b 3

3 x

,元素 b

?b ? R ? 的 代 数 余 子 式 为 H ?x ? ,

P ? ?x H ?x? ? 0?,
(1) 求集合 P ; (2) (文)函数 f ? x ? ? log 2 ax ? 2 x ? 2 的定义域为 Q, 若 P ? Q, 求实数 a 的取值范围;
2

?

?

22、 (文)已知数列 {an } 对任意的 n ? 2, n ? N * 满足: an?1 ? an ?1 ? 2an ,则称 {an } 为 “Z 数列” 。 (1)求证:任何的等差数列不可能是“Z 数列” ; (2)若正数列 ?bn ? 数列 ?lg bn ? 是“Z 数列” ,数列 ?bn ? 是否可能是等比数列,说明理 , 由,构造一个数列 ?cn ? ,使得 ?cn ? 是“Z 数列” ; (3)若数列 {an } 是“Z 数列” ,设 s, t , m ? N , 且s ? t , 求证 at ?m ? as ?m ? at ? as .
*

23、 (文)动圆 C 过定点 ?1,0? ,且与直线 x ? ?1 相切. 设圆心 C 的轨迹 ? 方程为 F ?x, y ? ? 0 (1)求 F ?x, y ? ? 0 ; (2)曲线 ? 上一定点 P?x0 ,2? ,方向向量 d ? ?1,?1? 的直线 l (不过 P 点)与曲线 ? 交与 A、 B 两点,设直线 PA、PB 斜率分别为 k PA , k PB ,计算 k PA ? k PB ; 曲线 ? 交于 M , N 两点,求证直线 MN 的斜率为定值; (3)曲线 ? 上的一个定点 P0 ?x0 , y 0 ? ,过点 P0 作倾斜角互补的两条直线 P0 M , P0 N 分别与

2013 年 4 月奉贤区高三数学调研测试参考答案 一、填空题 1. ? ; 2. 70 ; 3. 4 ; 4.62; 5. log3 4 ; 6. 100 2? ; 2 7. (文) ; 8. (文) ? 1 ; 9. (文) y ? 2 x ? 1 3 3 10. (文) ?0,2? ; 11. y ? log1 ?x ? 1? 12. 4 2
1 13. (文) 3 二、选择题 15. C 16. 文D 三、解答题

36 ? 2b 2 14. (文) 3

18.

17. B

文 B

19、 (文)解: (1)由题意得 AE ‖ BG , ?DGB (或其补角)就是所求的异面直线所成的角 计算 DG ? 5 , BG ? 5 , DB ? 2 2 2

2分 4分

1 1 所以所求的异面直线的角大小 arccos 6分 5 5 (2) ABCD ? A B1C1D1 中,有 BC ⊥面 EGC 1 所以 BC 是三棱锥 B ? C1CE 的高, 9分 1 1 1 1 V B1 ?C1CE ? ? S C1CE ? BC ? ? ?1?1?1 ? . 12 分 3 3 2 6 2 13 3 13 20、 (1)? cos?EAC ? ? 2分 ,? sin ?EAC ? 1 ? cos2 ?EAC ? 13 13 3? 3? ? 3? ? cos? ? cos? ? ?EAC? ? cos ? cos?EAC ? sin ? sin ?EAC 4 4 ? 4 ? cos ?DGB ?

2 2 13 2 3 13 5 26 ? (? )? ? ? 2 13 2 13 26 2 2 2 (2)利用余弦定理 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos? ? 125? BC ? 5 5 ,

??

6分 10

分 该船以匀速直线行驶了 20 分钟的路程为 5 5 海里, 该船的行驶速度 v ?

5 5 ? 15 5 (海里/小时) 1 3
3分 7分

14 分

21、解: (1) H ?x ? ? ? 、

2 x 5x ? 2 2 = 2 x ? 5x ? 2 1 x

? 1 ? P ? ? x ? x ? 2? ? 2 ?

(2)(文) 若 P ? Q, ,则说明不等式 ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 x ? ? , 2 ? 上恒成立, 8 分 2
2

?1 ?

? ?

即不等式 a ? 令u ? 又u ?

2 2 ?1 ? ? 2 在 x ? ? , 2 ? 上恒成立, x x ?2 ?

9分 11 分

2 2 ? , 则只需 a ? umax 即可。 x x2
2

2 2 ?1 1? 1 ? 2 ? ?2 ? ? ? ? . x x ? x 2? 2 1 ?1 ? 1 ? 1? ?1 ? 当 x ? ? , 2 ? 时, ? ? , 2 ? , 从而 u ? ? ?4, ? , umax ? , x ?2 ? 2? 2 ? ?2 ? 1 ?a ? . 2
22、 (文) 解: (1)设等差数列 ?an ? 的首项 a1 ,公差 d , an ? a1 ? (n ? 1)d

13 分 14 分

an?1 ? an ?1 ? 2an ? a1 ? nd ? a1 ? (n ? 2)d ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 0
所以任何的等差数列不可能是“Z 数列” 或者根据等差数列的性质: an?1 ? an ?1 ? 2an 所以任何的等差数列不可能是“Z 数列” (2)假设 ?lg an ?是等比数列,则 ,所以 lg an?1 ? lg an?1 ? 2 lg an ? an 是“Z 数列”
2

3分 4分 3分 4分 6分 7分 11 分 11 分

? an??1 ? an?1 ? an ,所以 ?an ? 不可能是等比数列,
等比数列 cn ? c1 ? q
n?1

?c1 ? 0, q ? 1? 只要首项 c1 ? 0 公比 q ? 1 其他的也可以: cn ? an2 ? bn ? c?a ? 0?
cn ? an4 (a ? 0)

等比数列 ?cn ? 的首项 c1 ,公比 q ,通项公式 cn ? c1 ? q n?1
2 ? c1 ? q n?2 q 2 ? 2q ? 1 ? c1 ? q n?2 ? ?q ? 1? ? 0 恒成立,?c1 ? 0 a ? an a ? a n ?1 补充说明:分析: an?1 ? an ? an ? an?1 , n ?1 ? n (n ? 1) ? n n ? (n ? 1) 根据几何意义只要 cn ? f ?n? 的一阶导函数单调递减就可以

cn?1 ? cn?1 ? 2cn ? c1 ? q n ? c1 ? q n?2 ? 2c1 ? q n?1

?

?

(3)因为

bs ? as ?1 ? as , bs?1 ? as?2 ? as?1 , bs?2 ? as ?3 ? as?2 ,??, bt ?1 ? at ? at ?1 at ? a s ? at ? at ?1 ? at ?1 ? at ? 2 ? ? ? a s ?1 ? a s ? bt ?1 ? bt ? 2 ? ? ? bs 12 分 ??? ???? ? ?
一共t ? s ?1项

同理: at ? m ? a s ? m ? at ? m ? at ? m ?1 ? a m ?t ?1 ? a m ?t ? 2 ? ? ? a s ? m ?1 ? a s ? m ? bt ? m ?1 ? bt ? m ? 2 ? ? ? bs ? m ???? ????? ? ?
一共t ? s ?1项

13

分 因为数列 {bn } 满足对任意的 n ? N *均有bn?1 ? bn ,

所以 bt ?1 ? bt ?m?1 , bt ?2 ? bt ?m?2 ,?, bs ?m ? bs ,

14 分 16 分

at ? as ? at ?m ? as?m
则 y 0 ? y1 ? 23、 (文) (1)过点 C 作直线 x ? ?1 的垂线,垂足为 N ,由题意知: CF ? CN , 即动点 C 到定点 F 与定直线 x ? ?1 的距离相等, 由抛物线的定义知,点 C 的轨迹为抛物线 (2)证明:设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )

2p k

? y1 ?

2p ? y0 k

14 分

其中 ?1,0? 为焦点, x ? ?1 为准线,所以轨迹方程为 y ? 4 x ;
2

2分 4分 5分 6分

由题得直线的斜率 ? 1 过不过点 P 的直线方程为 y ? ? x ? b 由?

? y 2 ? 4x 得 ?y ? ?x ? b

y 2 ? 4 y ? 4b ? 0

则 y1 ? y2 ? ?4 。

P?1,2?

7分 8分

y1 ? 2 y 2 ? 2 0 y1 ? 2 y 2 ? 2 4 4 = 2 = ? 2 ? ? y ? 2 y2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 y1 y2 ?1 ?1 1 4 4 4( y1 ? y 2 ? 4) = =0. 10 分 ( y1 ? 2)( y 2 ? 2) (3)设 M ?x1 , y1 ? , N ?x2 , y 2 ? y ? y1 y 2 ? y1 4 = 2 = (***) 12 分 k MN ? 2 2 x2 ? x1 y 2 y1 y1 ? y 2 ? 4 4 设 MP 的直线方程为 y ? y0 ? k ?x ? x0 ? k AP ? k BP ?
? y ? y 0 ? k ( x ? x0 ) 4 4 则 y 0 ? y1 ? ? y1 ? ? y 0 k k 2p 4 同理 y 0 ? y 2 ? ? ,得 y 2 ? ? ? y 0 k k 代入(***)计算得: y1 ? y2 ? ?2y0 2 ? k MN ? ? y0
由?

?

y 2 ? 4x

,y ?
2

4y 4 y ? 0 ? 4 x0 ? 0 k k
15 分 16 分 17 分 18 分



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