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山东省淄博七中2014-2015学年高二上学期10月段考数学试卷


2014-2015 学年山东省淄博七中高二(上)10 月段考数学试卷

一、选择题: (每题 3 分共 60 分) 1.数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是( A. an=n ﹣(n﹣1) B. an=n ﹣1 C. an=
2 2

) D.

2.等比数列{an}中,a4=4,则 a2?a6 等于(

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32



3.已知等差数列{an}中,a7+a9=12,a5=1,则 a11 的值是( A. 15 B. 11 C. 20 D. 64



4.等差数列{an}中,已知

,a2+a5=4,an=33,则 n 为(



A. 48 B. 49 C. 50 D. 51

5.已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=( A. 138 B. 135 C. 95 D. 23



6.在△ABC 中,若 b=2asinB,则 A 等于(



A. 30°或 60° B. 45°或 60° C. 120°或 60° D. 30°或 150°

7.在△ABC 中,若(a+b+c) (b+c﹣a)=3bc,则 A=( A. 90° B. 60° C. 135° D. 150°



8. △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 A. B. 2 C. D.

, 则 a 等于 (



9.若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数 列有( )

A. 13 项 B. 12 项 C. 11 项 D. 10 项

10.在△ABC 中,若 A:B:C=1:2:3,则 a:b:c 等于( A. 1:2:3 B. 3:2:1 C. 2: :1 D. 1: :2



11.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣4n,第 m 项满足 5<an<8,则 m=( A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

2



12.在数列{an}中,a1=1,对任意 n∈N ,有 an+1=

*

,则 a10=(



A. 10 B.

C. 5 D.

13.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若

= ,则

=(



A. 1 B. ﹣1 C. 2 D.

14.在等差数列{an}中,若 S4=1,S8=4,则 a17+a18+a19+a20 的值为( A. 9 B. 12 C. 16 D. 17



15.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 A. .1+ B. .1﹣ C. .3+2 D. 3﹣ 2

=(



16. 已知等差数列{an}中, Sn 是前 n 项和, 若 S16>0 且 S17<0, 则当 Sn 最大时, n 的值为 ( A. 16 B. 9 C. 8 D. 10



17.两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km) ,灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C 南偏 东 60°,则 A,B 之间相距( A. a(km) B. ) a(km) D. 2a(km)

a(km) C.

18.两等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,

,则

的值是(



A.

B.

C.

D.

19.已知﹣9,a1,a2,﹣1 四个实数成等差数列,﹣9,b1,b2,b3,﹣1 五个实数成等比数列, 则 b2(a2﹣a1)=( )

A. 8 B. ﹣8 C. ±8 D.

20.在△ABC 中,若 b =ac,c=2a,则 cosB 等于( A. B. C. D.

2



二、填空题: (每题 4 分共 16 分) 21.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2= .

22.在数列{an}中,2an=an﹣1+an+1(n ≥2) ,且 a2=10,a5=﹣5,求{an}前 n 项和 Sn 的最大值 为 .

23.在等差数列{an}中,S10=120,则 a3+a8=



24.在等差数列{an}中,公差 d= ,前 100 项的和 S100=45,则 a1+a3+a5+…+a99=



三、解答题

25.已知 A、B、C 为△ABC 的三内角,且其对边分别为 a、b、c,若 cosBcosC﹣sinBsinC= . (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2 ,b+c=4,求△ABC 的面积.

26.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= ,sinB= (1)求 tanC 的值; (2)若 a= ,求△ABC 的面积.

C.

27. (1)已知数列{an}满足 a1=1,an=2an﹣1+1, (n≥2) ,证明数列{an+1}为等比数列,并数列{an} 的通项公式. (2)若数列{an}的前 n 项的和 Sn= an﹣3,求 an.

28.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cosA+sinC 的取值范围.

29.已知等比数列{an}中,a2,a3,a4 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项,且 a1=64, 公比 q≠1. (Ⅰ)求 an; (Ⅱ)设 bn=log2an,求数列{|bn|}的前 n 项和 Tn.

2014-2015 学年山东省淄博七中高二(上)10 月段考数学试卷 参考答案与试题解析

一、选择题: (每题 3 分共 60 分) 1.数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是( A. an=n ﹣(n﹣1) B. an=n ﹣1 C. an=
2 2

) D.

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 仔细观察数列 1,3,6,10,15…,便可发现其中的规律:第 n 项应该为 1+2+3+4+… +n= ,便可求出数列的通项公式.

解答: 解:设此数列为{ an},则由题意可得 a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,… 仔细观察数列 1,3,6,10,15,…可以发现: 1=1, 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4, … ∴第 n 项为 1+2+3+4+…+n= , ,

∴数列 1,3,6,10,15…的通项公式为 an= 故选 C.

点评: 本题考查了数列的基本知识,考查了学生的计算能力和观察能力,解题时要认真审题, 仔细解答,避免错误,属于基础题.

2.等比数列{an}中,a4=4,则 a2?a6 等于( A. 4 B. 8 C. 16 D. 32



考点: 等比数列. 分析: 由 a4=4 是 a2、a6 的等比中项,求得 a2?a6 解答: 解:a2?a6=a4 =16 故选 C. 点评: 本题主要考查等比中项.
2

3.已知等差数列{an}中,a7+a9=12,a5=1,则 a11 的值是( A. 15 B. 11 C. 20 D. 64



考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由 a7+a9=12,a5=1,得 a1+10d=11,即可求出 a11 的值. 解答: 解: 设等差数列{an}的公差为 d, 由 a7+a9=12, a5=1, 得 ∴a11=a1+10d=11. 故选 B. 点评: 本题考查等差数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础. , 解得 a1+10d=11.

4.等差数列{an}中,已知

,a2+a5=4,an=33,则 n 为(



A. 48 B. 49 C. 50 D. 51

考点: 等差数列. 专题: 计算题;方程思想. 分析: 先由等差数列的通项公式和已知条件解出 d,进而写出 an 的表达式,然后令 an=33,解 方程即可. 解答: 解:设{an}的公差为 d, ∵ ,a2+a5=4,

∴ +d+ +4d=4,即 +5d=4,

解得 d= . ∴an= + (n﹣1)= 令 an=33, 即 =33, ,

解得 n=50. 故选 C. 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式 an=a1+(n﹣1)d,注意方程思想的应用.

5.已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=( A. 138 B. 135 C. 95 D. 23



考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是等差数列的性质,及等差数列前 n 项和,根据 a2+a4=4,a3+a5=10 我们构造关于基本量(首项及公差)的方程组,解方程组求出基本量(首项及公差) ,进而代 入前 n 项和公式,即可求解. 解答: 解:∵(a3+a5)﹣(a2+a4)=2d=6, ∴d=3,a1=﹣4, ∴S10=10a1+ 故选 C 点评: 在求一个数列的通项公式或前 n 项和时,如果可以证明这个数列为等差数列,或等比 数列,则可以求出其基本项(首项与公差或公比)进而根据等差或等比数列的通项公式,写 出该数列的通项公式,如果未知这个数列的类型,则可以判断它是否与某个等差或等比数列 有关,间接求其通项公式. =95.

6.在△ABC 中,若 b=2asinB,则 A 等于(



A. 30°或 60° B. 45°或 60° C. 120°或 60° D. 30°或 150°

考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 结合已知及正弦定理可求 sinA,进而可根据特殊角的三角形函数值可求 A 解答: 解:∵b=2asinB, 由正弦定理可得,sinB=2sinAsinB ∵sinB≠0 ∴sinA= ∴A=30°或 150° 故选 D 点评: 本题 主要考查了正弦定理及特殊角的三角函数值的简单应用,属于基础试题

7.在△ABC 中,若(a+b+c) (b+c﹣a)=3bc,则 A=( A. 90° B. 60° C. 135° D. 150°



考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 把已知条件的左边利用平方差公式化简后,与右边合并即可得到 b +c ﹣a =bc,然后 利用余弦定理表示出 cosA 的式子,把化简得到的 b +c ﹣a =bc 代入即可求出 cosA 的值,然后 根据 A 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数. 解答: 解:由(a+b+c) (b+c﹣a)=(b+c) ﹣a =b +2bc+c ﹣a =3bc, 化简得:b +c ﹣a =bc, 则根据余弦定理得:cosA= 又 A∈(0,180°) ,所以 A=60°. 故选 B 点评: 此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值,考查了整体代换的数学思想,是一道综合 题. = = ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

8. △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若

, 则 a 等于 (



A.

B. 2 C.

D.

考点: 正弦定理的应用. 分析:先根据正弦定理求出角 C 的正弦值, 进而得到角 C 的值, 再根据三角形三内角和为 180° 确定角 A=角 C,所以根据正弦定理可得 a=c. 解答: 解:由正弦定理 ∴ 故选 D. 点评: 本题主要考查正弦定理的应用.属基础题. ,

9.若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数 列有( )

A. 13 项 B. 12 项 C. 11 项 D. 10 项

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据题意求出 a1+an 的值,再把这个值代入求和公式,进而求出数列的项数 n. 解答: 解:依题意 a1+a2+a3=34,an+an﹣1+an﹣2=146 ∴a1+a2+a3+an+an﹣1+an﹣2=34+146=180 又∵a1+an=a2+an﹣1=a3+an﹣2 ∴a1+an= =60

∴Sn= ∴n=13 故选 A

=

=390

点评: 本题主要考查了等差数列中的求和公式的应用.注意对 Sn═

和 Sn=a1

?n+

这两个公式的灵活运用.

10.在△ABC 中,若 A:B:C=1:2:3,则 a:b:c 等于( A. 1:2:3 B. 3:2:1 C. 2: :1 D. 1: :2



考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 根据三角形内角和定理,结合 A:B:C=1:2:3,算出 A= ,B= 且 C= ,从而得

出△ABC 是直角 三角形. 由三角函数在直角三角形中的定义算出 c=2a 且 b= b:c 的值. 解答: 解:∵在△ABC 中,A:B:C=1:2:3, ∴设 A=x,则 B=2x,C=3x, 由 A+B+C=π ,可得 x+2x+3x=π ,解之得 x= ∴A= ,B= 且 C= ,可得△ABC 是直角三角形 =

, 即可得到 a:

∵sinA= = ,∴c=2a,得 b= 因此,a:b:c=1: 故选:D :2

点评: 本题给出三角形三个角的比值,求它的三条边之比.着重考查了三角形内角和定理、 三角函数在直角三角形中的定义等知识,属于基础题.

11.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣4n,第 m 项满足 5<an<8,则 m=( A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

2



考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由数列的前 n 项和求出数列的通项公式,代入 5<an<8 求解不等式组得答案. 解答: 解:∵数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣4n, ∴a1=S1=﹣3, =2n﹣5(n≥2) . 已知 n=1 上式成立,
2

∴an=2n﹣5. 由 5<2m﹣5<8,解得: ∵m∈N , ∴m=6. 故选:D. 点评: 本题考查了等差数列的前 n 项和,考查了等差数列通项公式的求法,训练了不等式组 的解法,是基础题.
*



12.在数列{an}中,a1=1,对任意 n∈N ,有 an+1=

*

,则 a10=(



A. 10 B.

C. 5 D.

考点: 等差关系的确定. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 数列{an}中,a1=1,对任意 n∈N ,有 an+1=
*

,两边取倒数可得

,可

得数列

是等差数列,利用等差数列的通项公式即可得出.

解答: 解:∵数列{an}中,a1=1,对任意 n∈N ,有 an+1=

*



∴ ∴数列 ∴ ∴ ∴ 故选:B. . .

, 是等差数列 , =n,

点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了转化能力,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

13.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若

= ,则

=(



A. 1 B. ﹣1 C. 2 D.

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列{an}, = ,求出 a1=﹣ d,再利用求和公式,即可得出结论.

解答: 解:∵等差数列{an},

= ,



= ,

∴a1=﹣

d,



=

=



故选:D. 点评: 本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础题.

14.在等差数列{an}中,若 S4=1,S8=4,则 a17+a18+a19+a20 的值为( A. 9 B. 12 C. 16 D. 17



考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设出等差数列的首项和公差,得到前 n 项和,由已知列式求得首项和公差,把 a17+a18+a19+a20 转化为含首项和公差的表达式得答案. 解答: 解:设首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4a1+6d=1, ,得

S8=8a1+28d=4, 解得: ,d= .

∴a17+a18+a19+a20=S20﹣S16=4a1+70d =4× +70× =9.

故选 A. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前 n 项和,是基础的计算题.

15.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 A. .1+ B. .1﹣ C. .3+2 D. 3﹣ 2

=(



考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由条件可得 a3=a1+2a2 ,即 a1q =a1+2a1q,解得 q=1+ 果. 解答: 解:∵等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,故公比 q 不等 于 1. ∴a3=a1+2a2 ,即 a1q =a1+2a1q,解得 q=1+ ∴ 故选 D. 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,等比数列的通项公式,属于基础题. = =3﹣2 ,
2 2

.再由

=

,运算求得结



16. (3 分) (2011 春?新都区校级期中)已知等差数列{an}中,Sn 是前 n 项和,若 S16>0 且 S17 <0,则当 Sn 最大时,n 的值为( A. 16 B. 9 C. 8 D. 10 )

考点: 等差数列的性质.

专题: 计算题. 分析: 根据所给的等差数列的 S16>0 且 S17<0,根据等差数列的前 n 项和公式,看出第九项 小于 0,第八项和第九项的和大于 0,得到第八项大于 0,这样前 8 项的和最大. 解答: 解:∵等差数列{an}中,S16>0 且 S17<0 ∴a8+a9>0, a9<0, ∴a8>0, ∴数列的前 8 项和最大 故选 C. 点评: 本题考查等差数列的性质和前 n 项和, 本题解题的关键是看出所给的数列的项的正负, 本题是一个基础题.

17.两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km) ,灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C 南偏 东 60°,则 A,B 之间相距( A. a(km) B. ) a(km) D. 2a(km)

a(km) C.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 由两个方位角的度数得出∠ACB=90°,又知 AC=BC=5,△ACB 为等腰直角三角形,有 勾股定理可得边 AB 的长度. 解答: 解:由图知:∠ACB=90°,在 Rt△ACB 中, AB =AC +BC =a +a =2a ∴AB= a
2 2 2 2 2 2

故答案为 C.

点评: 本题考查解三角形的实际应用,关键是如何把实际问题转化为数学问题,然后套用题 目提供的对应关系解决问题,画出简图,一目了然.

18.两等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,

,则

的值是(



A.

B.

C.

D.

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列的性质知,求两个数列的第五项之比,可以先写出两个数列的前 9 项之 和之比,代入数据做出比值. 解答: 解:∵等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn, ,

= 故选 B.

=

=

点评: 本题考查等差数列的性质,是一个基础题,题目只要看出数列的基本量的运算,这种 题目一般是一个送分题目.

19.已知﹣9,a1,a2,﹣1 四个实数成等差数列,﹣9,b1,b2,b3,﹣1 五个实数成等比数列, 则 b2(a2﹣a1)=( )

A. 8 B. ﹣8 C. ±8 D.

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题. 分析: 先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得 再利用等比数列中的第三项与第一项同号即可求出答案. ,

解答: 解:由题得



又因为 b2 是等比数列中的第三项,所以与第一项同号,即 b2=﹣3 ∴b2(a2﹣a1)=﹣8. 故选 B. 点评: 本题是对等差数列以及等比数列性质的综合考查.在做关于等差数列以及等比数列的 题目时,其常用性质一定要熟练掌握.

20.在△ABC 中,若 b =ac,c=2a,则 cosB 等于( A. B. C. D.

2



考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 在△ABC 中,由 b =ac,c=2a,故有 b =2a ,cosB= 算求得结果. 解答: 解:在△ABC 中,∵b =ac,c=2a,∴b =2a ,cosB= 故选 B. 点评: 本题主要考查余弦定理的应用,属于中档题.
2 2 2 2 2 2

=

,运

=

= ,

二、填空题: (每题 4 分共 16 分) 21.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2= ﹣6 .

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由公差 d 的值为 2,根据等差数列的通项公式分别表示出 a3 和 a4,由 a1,a3,a4 成等 比数列,利用等比数列的性质列出关于首项 a1 的值,再由公差 d 的值,利用等差数列的通项 公式即可求出 a2 的值. 解答: 解:由等差数 列{an}的公差为 2,得到 a3=a1+4,a4=a1+6,

又 a1,a3,a4 成等比数列, ∴(a1+4) =a1? (a1+6) , 解得:a1=﹣8, 则 a2=a1+d=﹣8+2=﹣6. 故答案为:﹣6 点评: 此题考查了等差数列的通项公式,以及等比数列的性质,熟练掌握通项公式及性质是 解本题的关键.
2

22. 在数列{an}中, 2an=an﹣1+an+1 (n≥2) , 且 a2=10, a5=﹣5, 求{an}前 n 项和 Sn 的最大值为 30 .

考点: 等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 在数列{an}中,2an=an﹣1+an+1(n≥2) ,可得数列{an}是等差数列,利用等差数列的通项 公式即可得出. 解答: 解:∵在数列{an}中,2an=an﹣1+an+1(n≥2) , ∴数列{an}是等差数列, 设公差为 d.∵a2=10,a5=﹣5, ∴ ,解得 .

∴an=15﹣5(n﹣1)=20﹣5n. 由 an≥0,解得 n≤4. ∴当 n=3 或 4 时,{an}前 n 项和 Sn 取得最大值 15+10+5,即 30, 故答案为:30. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式及其性质,属于基础题.

23.在等差数列{an}中,S10=120,则 a3+a8= 24 .

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列.

分析: 由等差数列的性质 a1+a10=a3+a8,结合已知 S10=120,然后直接代入等差数列的前 n 项和 求得答案. 解答: 解:在等差数列{an}中, ∵a1+a10=a3+a8, ∴S10=5(a1+a10)=5(a3+a8)=120, ∴a3+a8=24 故答案为:24. 点评: 本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础题.

24.在等差数列{an}中,公差 d= ,前 100 项的和 S100=45,则 a1+a3+a5+…+a99= 10 .

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质,当 n 为偶数时,所有的偶数项和减所有的奇数项和,等于 ,故

a2+a4+a6+…+a100 可用 a1+a3+a5+…+a99 表示,再根据前 100 项是由奇数项和偶数项构成,可得关 于要求式子的方程,解之可得. 解答: 解:∵等差数列中(a2+a4+a6+…+a100)﹣(a1+a3+a5+…+a99)=50d=25 又∵S100=(a2+a4+a6+…+a100)+(a1+a3+a5+…+a99) =25+2(a1+a3+a5+…+a99)=45 ∴a1+a3+a5+…+a99=10 故答案为:10 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和的性质的应用,整体法是解决问题的关键,属基础题.

三、解答题 25.已知 A、B、C 为△ABC 的三内角,且其对边分别为 a、b、c,若 cosBcosC﹣sinBsinC= . (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2 ,b+c=4,求△ABC 的面积.

考点: 解三角形;三角函数的恒等变换及化简求值.

专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)根据两角和的余弦函数公式化简已知的等式,得到 cos(B+C)的值,由 B+C 的 范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 B+C 的度数,然后由三角形的内角和定理求出 A 的 度数; (Ⅱ)根据余弦定理表示出 a 的平方,配方变形后,把 a,b+c 及 cosA 的值代入即可求出 bc 的值,然后由 bc 及 sinA 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴ 又∵0<B+C<π ,∴ ∵A+B+C=π ,∴
2 2



, .
2

(Ⅱ)由余弦定理 a =b +c ﹣2bc?cosA 得 即: ∴ ,∴bc=4, .

点评: 此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值,余弦定理及三角形的面积公式,熟练掌 握公式及定理是解本题的关键.

26.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= ,sinB= (1)求 tanC 的值; (2)若 a= ,求△ABC 的面积.

C.

考点: 解三角形;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 解三角形. 分析: (1)由 A 为三角形的内角,及 cosA 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值,再将已知等式的左边 sinB 中的角 B 利用三角形的内角和定理变形为π ﹣(A+C) ,利用 诱导公式得到 sinB=sin(A+C) ,再利用两角和与差的正弦函数公式化简,整理后利用同角三 角函数间的基本关系即可求出 tanC 的值;

(2)由 tanC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosC 的值,再利用同角三角函数间 的基本关系求出 sinC 的值,将 sinC 的值代入 sinB= cosC 中,即可求出 sinB 的值,由 a,

sinA 及 sinC 的值,利用正弦定理求出 c 的值,最后由 a,c 及 sinB 的值,利用三角形的面积 公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解: (1)∵A 为三角形的内角,cosA= , ∴sinA= 又 = , cosC+ sinC,

cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= cosC= sinC, ; 得:cosC= = =

整理得: 则 tanC=

(2)由 tanC=

=



∴sinC= ∴sinB= cosC=

= ,



∵a=

,∴由正弦定理

=

得:c=

=

=



则 S△ABC= acsinB= ×

×

×

=



点评: 此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:正弦定理,三角形的面积公式,两角和与 差的正弦函数公式,诱导公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理及公式是解 本题的关键.

27. (1)已知数列{an}满足 a1=1,an=2an﹣1+1, (n≥2) ,证明数列{an+1}为等比数列,并数列{an} 的通项公式. (2)若数列{an}的前 n 项的和 Sn= an﹣3,求 an.

考点: 数列的求和;等比关系的确定. 专题: 综合题;等差数列与等比数列.

分析: (1)给等式 an=2an﹣1+1 两边都加上 1,右边提取 2 后,变形得到数列{an+1}是等比数 列,数列{an+1}的公比为 2,根据首项为 a1+1 等于 2,写出数列{an+1}的通项公式,变形后即 可得到{an}的通项公式. (2)当 n=1 时,a1=S1= a1﹣3,即可解得 a1.当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 即可得到 an=3an﹣1.因此 数列{an}是等比数列,利用等比数列的通项公式即可得出. 解答: 解: (1)由 an=2an﹣1+1 得 an+1=2(an﹣1+1) , 又 an+1≠0, ∴{an+1}为等比数列; ∵a1=1, ∴an+1=(a1+1)q 即 an=(a1+1)q
n﹣1


n﹣1

n﹣1

﹣1=2?2

﹣1=2 ﹣1.

n

(2)当 n=1 时,a1=S1= a1﹣3,解得 a1=6. 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= an﹣3﹣( an﹣1﹣3)= an﹣ an﹣1,化为 an=3an﹣1. ∴数列{an}是以 6 为首项,3 为公比的等比数列, ∴an=6?3
n﹣1



点评: 此题考查学生掌握等比数列的性质并会确定一个数列为等比数列,灵活运用等比数列 的通项公式化简求值,是一道综合题.

28.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cosA+sinC 的取值范围.

考点: 正弦定理;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: (1)先利用正弦定理求得 sinB 的值,进而求得 B. (2)把(1)中求得 B 代入 cosA+sinC 中利用两角和公式化简整理,进而根据 A 的范围和正 弦函数的性质求得 cosA+sinC 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)由 a=2bsinA,根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA,

所以

, .

由△ABC 为锐角三角形得 (Ⅱ)

= . 由△ABC 为锐角三角形知,0<A< 所以 由此有 . ≤ , , ]. , ,

=

=

所以,cosA+sinC 的取值范围为(

点评: 本题主要考查了正弦定理得应用和 三角函数中两角和公式的运用.涉及了正弦函数的 性质,考查了学生对三角函数知识的把握.

29.已知等比数列{an}中,a2,a3,a4 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项,且 a1=64, 公比 q≠1. (Ⅰ)求 an; (Ⅱ)设 bn=log2an,求数列{|bn|}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1) 设某等差数列为{bn}, 则 b5=a2=a1q=64q, b3=a3=64q , (b3﹣b2) ,解得 q,再利用等比数列的通项公式即可得出. (2)利用对数的运算法则、等差数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)设某等差数列为{bn},则 b5=a2=a1q=64q,b3=a3=64q , ∵b5=b2+3(b3﹣b2) , ∴64q=64q +3(64q ﹣64q ) , 化为 2q ﹣3q+1=0,q≠1,解得 q= .
2 3 2 3 2 2

. 利用 b5=b2+3





=

= =﹣n﹣5.



(2)∵bn=log2an= ∴|bn|=n+5 ∴数列{|bn|}的前 n 项和 Tn=



点评: 本题考查了对数的运算法则、等差数列与等比数列的通项公式及前 n 项和公式,属于 中档题.


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