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2015秋北师大版数学必修五第3章不等式《第5课时:基本不等式》导学案(含答案)


第 5 课时 基本不等式 1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义. 2.能够利用基本不等式求最大(小)值. 3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”. 如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的 弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形 ABCD 中 有 4 个全等的直角三角

形 ,设直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,那么正方形的边长为 . 问 题 1: 上 述 情 境 中 , 正 方 形 的 面 积 为 和 等式: 当且仅当 ,4 个 直 角 三 角 形 的 面 积 的 ,由于 4 个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不 , 我 们 称 之 为 重 要 不 等 式 , 即 对 于 任 意 实 数 a,b, 都 有 时,等号成立. 我们也可以通过作差法来证明: - =(a-b)2≥0, 所以 问题 2:基本不等式 若 a,b∈(0,+∞),则 ,当且仅当 a=b 时取等号. ,当且仅当 时,等号成立. 问题 3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释. (1)基本不等式的几何解释: 在直角三角形中,直角三角形斜边上的 小于半弦长. (2)如果把 看作正数 a、b 的 , 看作正数 a、b 的 ,那么该 斜边上 .在圆中,半径不 定理可以叙述为:两个正数的 (3)在数学中,我们称 两个正数的 为 a、b 的 不小于它们的 不小于它们的 ,称 . 为 a、b 的 .因此, . 问题 4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论: (1)已知 x,y∈(0,+∞),若积 x· y=p(定值),则和 x+y 有最 值 ,当且仅当 x=y 时,取“=”. (2)已知 x,y∈(0,+∞),若和 x+y=s(定值),则积 x· y 有最 值 ,当且仅当 x=y 时,取“=”. 即“积为常数, ;和为常数, ”. 概括为:一正二定三相等四最值. 1.在下列不等式的证明过程中,正确的是( A.若 a,b∈R,则 + ≥2 ). =2 B.若 a,b∈R+,则 lg a+lg b≥2 C.若 x 为负实数,则 x+ ≥-2 D.若 x 为负实数,则 3x+3-x≥2 2.下列不等式一定成立的是( A.lg(x2+ )>lg x(x>0) ). ≥2(x≠kπ,k∈Z) =-2 =2 B.sin x+ C. > (b>a>0) D. >1(x∈R) 3.已知 x>0,y>0,4x+9y=1,则 + 的最小值为 . 4.已知 a>0,b>0,c>0,d>0,求证: + ≥4. 基本不等式求最值 (1)已知 x> ,求函数 y=4x-2+ 的最小值. (2)已知正数 a,b 满足 ab=a+b+3,求 ab 的取值范围. 利用基本不等式证明不等式 已知 x、y 都是正数,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3. 单调性与基本不等式 设函数 f(x)=x+ ,x∈[0,+∞). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的最小值;(2)当 0<a<1 时,求函数 f(x)的最小值. (1)设 0<x< ,求函数 y=4x(3-2x)的最大值. (2)若-4<x<1,求 的最值. 设 a,b,c 都是正数,求证: + + ≥a+b+c. 求函数 y= 的值域. 1.下列不等式中恒成立的是( A. ). ≥ B.x+

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