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7-2空间几何体的表面积和体积


高考复习顶层设计 数学·理

配餐作业(四十二)
一、选择题

空间几何体的表面积和体积

1.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为 旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( A.4π C.2π B.3π D.π )

解析: 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱, 底面半径为 1, 高为 1,其侧面积 S=2πrh=2π×1×1=2π。 答案:C 2.一个多面体的三视图如图所示, 则该多面体的表面积为( A.21+ 3 C.21 B.18+ 3 D.18 )

解析: 由三视图可知该几何体是棱长为 2 的正方体从后面右上角 和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分, 其表面积为 S= 1 3 6×4- ×6+2× ×( 2)2=21+ 3。 2 4
1

高考复习顶层设计 数学·理 答案:A 3.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( A.8π+16 C.8π+8 B.8π-16 D.16π-8 )

解析:由三视图可知,该几何体为底面半径 r=2,高 h=4 的半 圆柱挖去一个底面为等腰直角三角形,直角边长为 2 2,高为 4 的直 1 1 三棱柱,故所求几何体的体积为 V=π×22×4× - ×2 2×2 2×4 2 2 =8π-16,故选 B。 答案:B

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高考复习顶层设计 数学·理 4.一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体外接球的表面积为( 16 19 A. π B. π 3 12 19 4 C. π D. π 3 3 )

解析:由三视图可知该几何体是底面边长为 2,高为 1 的正三棱
?2 3? ?1? ? 柱。其外接球的球心为上下底面中心连线的中点。∴R2=?2?2+? ? ? ? 3 ?
2

19 19 = ,S=4πR2= π,故选 C。 12 3 答案:C 5. 如图, 正方体 ABCDA′B′C′D′

的棱长为 4,动点 E,F 在棱 AB 上,且 EF = 2,动点 Q 在棱 D′C′上,则三棱锥 A′EFQ 的体积( 置有关 C.与点 E,F,Q 位置都有关 D.与点 E,F,Q 位置均无关,是定值 ) A.与点 E,F 位置有关 B.与点 Q 位

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? 1 ?1 16 解析:因为 VA′-EFQ=VQ-A′EF= ×?2×2×4?×4= ,故三棱 3 ? 3 ?

锥 A′EFQ 的体积与点 E,F,Q 的位置均无关,是定值。 答案:D 6.(2016· 太原模拟)已知三棱锥 S-ABC 的 所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边 长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径, 且 SC=2,则此棱锥的体积为( A. C. 2 6 2 3 ) B. D. 3 6 2 2

解析:因为△ABC 为边长为 1 的正三角形,且球半径为 1,所以 四面体 O-ABC 为正四面体,所以△ABC 的外接圆的半径为 以点 O 到平面 ABC 的距离 d= SF=2OE= 1-? 3 ,所 3

? 3?2 6 ? = ,所以三棱锥的高 3 ? 3 ?

2 6 1 1 3 2 6 2 ,所以三棱锥的体积为 × ×1× × = 。 3 3 2 2 3 6

答案:A 二、填空题

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高考复习顶层设计 数学·理 7.三棱锥 P-ABC 中,D,E 分 别为 PB,PC 的中点,记三棱锥 D-ABE 的体积为 V1, P-ABC 的体 V1 积为 V2,则 =__________。 V2

解析:如图,设点 C 到平面 PAB 的距离为 h,三角形 PAB 的面 1 1 1 1 1 V1 1 积为 S,则 V2= Sh,V1=VE-ADB= × S× h= Sh,所以 = 。 3 3 2 2 12 V2 4 1 4

答案:

8.某几何体的三视图如图所示, 则其体积为__________。

5

高考复习顶层设计 数学·理

1 1 解析:该几何体为一个半圆锥,故其体积为 V= × ×π×12×2 3 2 π = 。 3 答案: π 3

9.(2016· 河南八市质检)正方形 ABCD 的边 长为 4,点 E,F 分别是边 BC,CD 的中点, 沿 AE,EF,FA 折成一个三棱锥 B-AEF(使 点 B,C,D 重合于点 B),则三棱锥 B-AEF 的 外接球的表面积为________。

解析:沿 AE,EF,FA 折成一个三棱锥 B-AEF,则三棱锥的 三条侧棱两两垂直, 故四面体 B-AEF 的外接球的直径为以 BA, BE, BF 为 棱 的 长 方 体 的 体 对 角 线 , 则 长 方 体 的 体 对 角 线 2R = BA2+BE2+BF2= 42+22+22=2 6,所以 R= 6,故四面体 B- AEF 的外接球的表面积为 S=4π×( 6)2=24π。 答案:24π 三、解答题
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10. (2016· 安徽六校联考改编)如图所示, 在多面体 ABCDEF 中, 已知 ABCD 是边长为 1 的正方形, 且△ADE, △BCF 均为正三角形, EF∥AB,EF=2,求该多面体的体积。

解析:方法一:如图所示,分别过 A,B 作 EF 的垂线,垂足分 别为 G,H,连接 DG,CH,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直 三棱柱,

1 ∵三棱锥高为 ,直三棱柱柱高为 1,AG= 2

?1? 3 12-?2?2= ,取 2 ? ?

7

高考复习顶层设计 数学·理 AD 中点 M,则 MG= 1 2 1 2 +2× × × = 。 3 4 2 3 方法二:如图所示,取 EF 的中点 P,则原几何体分割为两个三 棱锥和一个四棱锥,易知三棱锥 P-AED 和三棱锥 P-BCF 都是棱 长为 1 的正四面体,四棱锥 P-ABCD 为棱长为 1 的正四棱锥。 2 1 2 2 2 ,∴S△AGD= ×1× = ,∴V= ×1 2 2 2 4 4

1 2 1 3 6 2 ∴V= ×12× +2× × × = 。 3 2 3 4 3 3

11.(2016· 绍兴模拟)用一块钢锭浇铸一个厚度均 匀,且全面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容 器(如图),设容器的高为 h 米,盖子边长为 a 米。 (1)求 a 关于 h 的函数解析式; (2)设容器的容积为 V 立方米,则当 h 为何值时, V 最大?求出 V 的最大值。(求解本题时,不计容器的厚度)
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解析:(1)设 h′为正四棱锥的斜高。 1 2 ? a + 4· h′a=2, ? 2 由已知? 1 2 2 2 ? h + a = h ′ , ? 4 1 (h>0)。 h2+1

解得 a=

1 1 h (2)V= ha2= 2 (h>0),易得 V= , ? 3 1? 3?h +1? 3?h+h? ? ? 1 因为 h+h≥2 时取等号。 1 故当 h=1 米时,V 有最大值,V 的最大值为 立方米。 6 1 1 1 h· = 2 ,所以 V ≤ ,当且仅当 h = h h,即 h=1 6

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