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2014届高三数学(人教理科A版)课时训练卷《第29讲 等差数列及其前n项和(精细解析)


[第 29 讲 等差数列及其前 n 项和] (时间:45 分钟 分值:100 分) 基础热身 1.已知 a,b,c 三个数成等差数列,其中 a=5+2 6,c=5-2 6,则 b 的值为( A.2 6 B. 6 )

C.5 D.10 2.在等差数列{an}中,已知 a1=1,a2+a4=10,an=39,则 n=( A.19 B.20 C.21 D.22 3

.[2013· 昆明质检] 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=5,S11=22,则数列{an} 的公差 d 为( ) )

1 A.-1 B.- 3 1 C. 3 D.1

4.[2013· 湖南卷] 设 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5= ________.

能力提升 5.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8-S3=10,则 S11 的值为( A.12 B.18 C.22 D.44 6.[2013· 包头一模] 已知数列{an}是等差数列,若 a1+a5+a9=2π ,则 cos(a2+a8)= ( ) 1 A.- 2 B.- 3 2
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)

1 C. 2

D.

3 2 )

7.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S8=30,S4=7,则 a4 的值等于( 1 A. 4 13 C. 4 9 B. 4 17 D. 4 )

8.等差数列{an}中,若 a5+a6=4,则 log2(2a1·2a2·…·2a10)=( A.10 B.20 C.40 D.2+log25

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9.已知数列{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点 P(3,a3),Q(4,a4)的直线的斜 率是( )

1 A.4 B. 4 C.-4 D.-143 1 10.[2013· 北京卷] 已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1= ,S2=a3,则 a2= 2 ________. 11.[2013· 长春一调] 若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a4=________. 12.设等差数列{an}的公差为正数,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13 =________. 13.设数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对 任意 n∈N*,都有 Sn≤Sk 成立,则 k 的值为________. 14.(10 分)[2013· 福建卷] 已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

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15.(13 分)[2013· 吉林摸底] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=10n-n2(n∈N*). (1)求 a1 和 an; (2)记 bn=|an|,求数列{bn}的前 n 项和.

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难点突破 16.(12 分)[2013· 丰台二模] 已知数列{an}满足 a1=4,an+1=an+p· 3n+1(n∈N*,p 为常 数),a1,a2+6,a3 成等差数列. (1)求 p 的值及数列{an}的通项公式;

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n2 4 (2)设数列{bn}满足 bn= ,证明:bn≤ . 9 an-n 课时作业(二十九) 【基础热身】
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1.C [解析] 由 a,b,c 成等差数列,得 2b=a+c, 1 则 b= (a+c)=5,故选 C. 2 2.B [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,由 a2+a4=10,得 a1+d+a1+3d=10,即 d

1 = (10-2a1)=2, 4 由 an=39,得 1+2(n-1)=39,n=20,故选 B. 3.A [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,则

a +2d=5, ? ? 1 解得 a1=7,d=-1, ? 11×10 ? ?11a1+ 2 d=22, ∴数列{an}的公差 d=-1,故选 A. 4.25 [解析] 设数列{an}的公差为 d,因为 a1=1,a4=7,所以 a4=a1+3d?d=2, 故 S5=5a1+10d=25. 【能力提升】 5.C [解析] 由 S8-S3=10,得 a4+a5+a6+a7+a8=10, 因为 a4+a8=a5+a7=2a6,则 5a6=10,即 a6=2, 11(a1+a11) 11·2a6 ∴S11= = =22,故选 C. 2 2 6.A [解析] 由已知得 a5= 2π 4π 1 ,而 a2+a8=2a5= ,则 cos(a2+a8)=- ,故选 A. 3 3 2

7.C

7 1 d=30, ? ?8a +8× ? 2 ?a =4, ?4a +14d=15, ? [解析] 由已知,得,? 即 解得? ?4a +6d=7, 4×3 ? ?d=1, ? ?4a + 2 d=7,
1 1 1 1 1

13 则 a4=a1+3d= ,故选 C. 4
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8.B [解析] 因为 a1+a10=a2+a9=…=a5+a6=4,则 log2(2a1·2a2·…·2a10)=log22a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10=5(a5+a6)=20,故 选 B. 9.A [解析] 因为{an}是等差数列,a4=15,S5=55,所以 S5= a4-a3 =4.故选 A. 4-3 5(a1+a5) =55,得 2

a1+a5=22,所以 2a3=22,a3=11,所以 kPQ=

10.1

1 [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,由 S2=a3 可得,a1=a3-a2=d= ,所以 a2 2

1 =2d=2× =1. 2 5×4 ? ?5a1+ d=25, 2 11.7 [解析] 依题意,得? 解得 d=2,∴a4=a2+2d=7. ?a1+d=3, ?
?a1+a1+d+a1+2d=15, ? 12.105 [解析] 由已知,得? ? ?a1(a1+d)(a1+2d)=80, ? ?d=5-a1, 即? 消去 d,得 ?a1(a1+2d)=16, ?

a2 1-10a1+16=0,解得 a1=2 或 a1=8. 当 a1=2 时,d=3,a11+a12+a13=a1+10d+a1+11d+a1+12d=3a1+33d=105; 当 a1=8 时,d=-3,不符合题意,舍去. 13.20 [解析] 方法一:由对任意 n∈N*,都有 Sn≤Sk 成立,知 Sk 是 Sn 的最大值. 由等差数列的性质,得 a1+a7=2a4,a2+a8=2a5,代入已知条件,得 a4=33,a5=31,则公差 d=a5-a4=-2,a1=33-3d=39, n(n-1) ∴Sn=39n+ ×(-2)=-n2+40n=-(n-20)2+400, 2 则当 n=20 时,Sn 有最大值,故 k 的值为 20. 方法二:由题设对任意 n∈N*,都有 Sn≤Sk 成立,知求 k 的值即求 Sn 最大时的项数 n. 由等差数列的性质,有 a1+a7=2a4, a2+a8=2a5,代入已知条件,得 a4=33,a5=31,则公差 d=a5-a4=-2,a1=33-3d=39,
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∴an=39-2(n-1)=41-2n.
?an≥0, ?41-2n≥0, ? ? 由? 即? 解得 19.5<n≤20.5, ? ?an+1<0, ? ?41-2(n+1)<0,

∴当 n=20 时,Sn 取得最大值,故 k=n=20. 14.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d=-3. 解得 d=-2. 从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n. n[1+(3-2n)] 所以 Sn= =2n-n2. 2 进而由 Sk=-35 可得 2k-k2=-35. 即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7 为所求. 15.解:(1)∵Sn=10n-n2,∴a1=S1=10-1=9. ∵Sn=10n-n2,当 n≥2,n∈N*时, Sn-1=10(n-1)-(n-1)2=10n-n2+2n-11, ∴an=Sn-Sn-1=(10n-n2)-(10n-n2+2n-11) =-2n+11. 又 n=1 时,a1=9=-2×1+11,符合上式. 则数列{an}的通项公式为 an=-2n+11(n∈N*).
? ?-2n+11(n≤5), (2)∵an=-2n+11,∴bn=|an|=? ?2n-11(n>5), ?

设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, n(9-2n+11) 当 n≤5 时,Tn= =10n-n2; 2 当 n>5 时,Tn=T5+ (n-5)(b6+bn) (n-5)(1+2n-11) =25+ =25+(n-5)2 2 2
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=n2-10n+50,
?10n-n2(n≤5,n∈N*), ? ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=? 2 * ? ?n -10n+50(n>5,n∈N ).

【难点突破】 16.解:(1)因为 a1=4,an+1=an+p· 3n+1, 所以 a2=a1+p· 31+1=3p+5;a3=a2+p· 32+1=12p+6. 因为 a1,a2+6,a3 成等差数列, 所以 2(a2+6)=a1+a3, 即 6p+10+12=4+12p+6, 所以 p=2. 依题意,an+1=an+2· 3n+1, 所以当 n≥2 时,a2-a1=2· 31+1, a3-a2=2· 32+1, … an-1-an-2=2· 3n 2+1,


an-an-1=2· 3n 1+1.


相加得 an-a1=2(3n 1+3n 2+…+32+3)+n-1,
- -

3(1-3n 1) 所以 an-a1=2× +(n-1), 1-3


所以 an=3n+n. 当 n=1 时,a1=31+1=4 成立, 所以 an=3n+n. (2)证明:因为 an=3n+n, n2 n2 所以 bn= n = n. (3 +n)-n 3 (n+1)2 n2 -2n2+2n+1 因为 bn+1-bn= - n= (n∈N*). + + 3 3n 1 3n 1

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1+ 3 若-2n2+2n+1<0,则 n> ,即 n≥2 时 bn+1<bn. 2 1 4 4 又因为 b1= ,b2= ,所以 bn≤ . 3 9 9

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