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江苏省如东中学2013届高三数学复习最后阶段精华知识点积[1] 2


江 苏 省 如 东 中 学 高 三 数 学 复 习 最 后 阶 段 精 华 知 识 点 积
1、 含 n 个元素的有限集合其子集共有 2n 个, 非空子集有 2n—1 个, 非空真子集有 2n—2 个。 2、 集合中,Cu(A∩B)= (C uA)U(C u B), 交之补等于补之并。C u(AU B) = (C uA) ∩(C u B),并之补 等于补之交。 3、 a

x2+bx+c<0 的解集为{x|m<x<n}(0 <m <n),则 cx2+bx+a <0 的解集为{x|
1

1 n 1

<x< >x

或 x< 1

m

};ax +bx+c>0 的解集为{x| n > x 或 x< m },cx +bx+a >0 的解集为{x|
1 n
2 2

2

2

};ax —bx+c<0 的解集为{x| - n <x<- m },cx —bx+a> 0 的解集为{x|
1 n

m

m

> x 或 x< -

}。

4、 原命题与其逆否命题是等价命题。原命题的逆命题与原命题的否命题也是等价命题。 5、 函数是一种特殊的映射,函数与映射都可用:f:A→B 表示。A 表示原像,B 表示像。 当 f:A→B 表示函数时,A 表示定义域,B 大于或等于其值域范围。只有一一映射的函 ........ 数才具有反函数。 ........ 6、 原函数与反函数的单调性一致, 且都为奇函数。 ............. 若 f(x) 偶函数和周期函数没有反函数。 与 g(x)关于点(a,b)对称,则 g(x)=2b- f(2a-x). 7、 若 f(-x)= f(x), f(x)为偶函数, f(-x)= f(x), f(x)为奇函数; 则 若 则 偶函数关于 y 轴对称, 且对称轴两边的单调性相反; 奇函数关于原点对称, 且在整个定义域上的单调性一致。 反之亦然。若奇函数在 x=0 处有意义,则 f(0)=0。函数的单调性可用定义法和导数法 ....... 求出。偶函数的导函数是奇函数,奇函数的导函数是偶函数。对于任意常数 T(T≠0) , ....................... 在定义域范围内, 都有 f (x+T)= f (x), 则称 f (x)是周期为 T 的周期函数, f (x+kT)= 且 f (x),k≠0. 8、 周期函数的特征性:①f (x+a)= -f (x),是 T=2a 的函数,②若 f (x+a)+f (x+b)=0,即 f (x +a)= -f (x+b), T=2(b-a)的函数,③若 f (x)既 x=a 关对称,又关于 x=b 对称,则 f (x)是 T=2(b-a)的函数④若 f (x +a)·f (x+b)=± 1,即 f (x+a) = ± ±

1 ? f ( x ? b) , 则 f (x) 1 ? f ( x ? b)

1 ,则 f (x)是 T=2(b-a)的函数⑤f (x+a)= f ( x ? b)

是 T=4(b-a)的函数 9、 复合函数的单调性满足“同增异减”原理。定义域都是指函数中自变量的取值范围。 10、 11、 12、 抽象函数主要有 f (xy)= f (x) + f (y) (对数型) (x+y)= f (x)? f (y)(指数型) ,f ,f 指数函数图像的规律是:底数按逆时针增大。对数函数与之相反. ........ r s r+s r s r—s r s a ?a = a , a ÷ = a ,(a ) = ars ,(ab) r= arbr。在解可化为 a2x +Bax+C=0 或 a2x +Bax a (x+y)= f (x)+ f (y) 直线型) 解此类抽象函数比较实用的方法是特殊值法和周期法。 ( 。

+C≥0(≤0)的指数方程或不等式时,常借助于换元法,应特别注意换元后新变元的 取值范围。 13、 log10N=lgN;logeN=lnN(e=2.718???); 对数的性质:如果 a>0, a≠0, M>0 N>0, 那么 loga(MN)= logaM + logaN,;loga(
logaN

=N.

M )= logaM — logaN;logaMn= nlogaM;a N

换底公式:logaN= logb k . 14、 函数图像的变换:

log bN ;loga m logb n logc k = logb m logc n loga k = logc m loga n log ba

(1) 水平平移:y= f (x± a> 0)的图像可由 y= f (x)向左或向右平移 a 个单位得到; a)( (2) 竖直平移:y= f (x) ± b> 0)图像,可由 y= f (x)向上或向下平移 b 个单位得到; b( (3) 对称: 若对于定义域内的一切 x 均有 f (x+m)= f (x—m),则 y=f (x)的图像关于直 线 x= m 对称;y=f (x)关于(a,b)对称的函数为 y!=2b— f (2a—x) . (4) 翻折:①y=|f (x)|是将 y=f (x)位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴将期翻折 到 x 轴上方的图像。②y=f (|x|)是将 y=f (x)位于 y 轴左方的图像翻折到 y 轴 的右方而成的图像。 (5) 有关结论:①若 f (a+x)= f (b—x),在 x 为一切实数上成立,则 y=f (x)的图像关 于 x= 称。

a?b a?b 对称。②函数 y=f (a+x)与函数 y= f (b—x)的图像有关于直线 x= 对 2 2

a n ? a1 n( n ? 1) d = na1+ 2 2 16、 若 n+m=p+q,则 am+an= ap+aq;sk,s2k—k,s3k—2k 成以 k2d 为公差的等差数列。 an } { 是等差数列,若 ap =q, aq =p,则 ap+q =0; 若 sp =q, sq =p,则 sp+q =—(p+q);若已 知 sk,sn,sn—k, sn=(sk+sn+sn—k)/2k; 若{ an }是等差数列,则可设前 n 项和为 sn=an2+bn(注:没有常数项),用方程的思想求解 a,b。在等差数列中,若将 其脚码成等差数列的项取出组成数列,则新的数列仍旧是等差数列。
15、 等差数列中,an=a1+(n—1)d = am+(n—m) d;sn= n 17、 等比数列中,an= a1? qn-1=am?qn-m,若 n+m=p+q,则 am?an= ap?aq; sn=n a1(q=1), sn=

a ? an ?1 a ? an ?1 a1 (1 ? q n ) ,( q≠1);若 q≠1,则有 n ? 2 = q,若 q≠—1, n ? 2 = q; 1? q an ?1 ? an an ?1 ? an
a2+ a3, a2+ a3+ a4 , a3+ a4+ a5 也成等比数

sk,s2k—k,s3k—2k 也是等比数列。a1 +
列。裂项公式:

列。在等比数列中,若将其脚码成等差数列的项取出组成数列,则新的数列仍旧是等比数

1 1 1 1 1 1 1 = — , = ?( — ),常用数列递推形式:叠加,叠乘, n n ? 1 n( n ? k ) k n n ?1 n(n ? 1)
18、 弧长公式:l = | α | ? r 。 s (为 L 时) ,


=

1 1 1 I2 ?lr= ?|α|r2= ? ;当一个扇形的周长一定时 2 2 2 ?

其面积最大为

L2 ,其圆心角为 2 弧度。 16

19、 Sina(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ ;Sina(α —β )=sinα cosβ —cosα sinβ ; Cos(α +β )= cosα cosβ —sinα sinβ ;cos(α —β )= cosα cosβ +sinα sinβ

20、 cos2α=

? 1 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? 2 ? , tan = , tan = = 。 2 2 1 ? cos ? 2 1 ? cos ? sin ? 1 ? tan ?
? (1+tanB)=2; 三角形中, A>B ? a>b ? sinA>sinB. ?(1+tanA) 4

21、 若 A+B+C=nπ,则一定有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;若 A、B 均为锐角, A+B=

22、 三角函数图像的平移有两种方式: (1)先扩大周期再进行平移,这时要记住在平移 时提出系数后,按“左加右减”进行平移; (2)先平移再扩大周期,注意扩大周期 时,函数初相不变。 对称轴:使三角函数取得最大值或是最小值时 x 的值所在的垂直于 x 轴的直线。正 . 弦函数和余 ..... 弦函数都有无数条对称轴。对相邻两条对称轴之间的水平距离为 ,对称中心亦如 ............................2 ....... 此。 .. 23、 长度为 0 的向量叫做零向量。其方向是任意的,故零向量与任一向量平行。共线向 ... 量(又叫平行向量) .... .. :方向相同或相反的向量。相等向量:长度相等且方向相同的向 量。相反向量: 长度相等且方向相反的向量。任一向量(a,b)的方向向量是 (1, ),法向量是(1,—

T

b a

a ) b

24、 两个向量共线的充要条件是:有唯一的实数λ 使 b=λ a(a≠0) 。向量的夹角а 范围 为 0≤а ≤π ,是指组成角时两向量起点相同或终点相同,否则是其夹角的补角。 .................. 25、 平面向量的坐标运算: (1) 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+ b =(x1+x2,y1+y2);a— b =(x1—x2,y1 —y2)
2 2 (2) 若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB=( x2—x1,y2—y1),|AB|= ( x 2 ? x1) ? ( y1 ? y 2)

(3) 若 a=(x,y),则λ a= (λ x, λ y),当λ =

1

?

时,

? 表示 a 方向的单位向量。 ?

(4) 如果 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件是 x1 y2— x2y1 =0; (5) 如果 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b ? a?b=0 ? x1 x2+y1 y2 =0; 26、 平面向量的数量积: (λ a)?b=λ (a?b);a?b = b?a;(a+b) ?c=a?c +b?c; a?b= | a |?| b |cos< a,b >=x1 x2+y1 y2; 27、 线段的定比分点 P:λ = 同时为正, (a?b) ?c≠a?(c ?b);

p1 p ,即“起点到分点比上分点到终点” p1p, pp2 方向相 ............ , pp2
x1 ? ? x 2 y1 ? ? y 2 , y= 。 1? ? 1? ?

方向相反时为负。若 p1(x1,y1),p(x,y) 2(x2,y2) ,p ,则 x= 此也可

用于证明三点共线。平移公式:p(x,y)为图形 F 上一点,它按向量 a=(h,k)平移 后对应的点为 p"(x",y"),则有 x"= x+ h,y"= y+ k。 28、 正弦定理、余弦定理:

a b c ? ? =2R(R 为三角形外接圆半径); sin A sin B sin C

a =b +c —2bc?cosA; b = a +c —2ac?cosB; c = a +b —2ab?cosC 在解三角形的求值 ........ 或证明过程中,可将相应的边(正弦)换成对应的正弦(边)进行解题(边角互化,但要注 ........................................ 意能否将 2R 约掉) ..... .. 。 . . 30 、 a > 0,b > 0,则 n
n

2

2

2

2

2

2

2

2

2

n

a1 a2 ??????an ;

a?b ≥ ab , a + b + c ≥ 3 3 abc ; a1 + a2 + a3 + ? ? + an ≥ 2

2ab a?b a 2 ? b2 ;|a|— |b| ≤ |a ±b| ≤|a|+|b| ? ab ? ? a?b 2 2
31、在证明不等式或求最值时,可设参数方程(三角代换)求解: (1)若 x2 + y2 = a 时,可设 x= acosа ,y= asinа , а ∈[0,2π ) ;
2

x2 y2 (2)若 2 + 2 =1,可设 x= acosа ,y= bsinа , b a
а ∈[0,2π ) ; (3)若 x2 + y2 ≤1 时,可设 x= rcosа ,y= rsin а , (4)对于 1 ? x2 ,可设 x= cosа 或 x= sinа 。 甲 乙 丙
第一次提价 第二次提价

p% q%
(p+ q)/2 %

q% p%
(p+ q)/2 %

32、将商品做以下提价方案,其提价幅度为:甲=乙<丙(如右图) 33、直线的方程(1)直线在坐标系中的倾斜角的取值范围是: 0 ≤а <180 ; (2)直线倾斜角的正切即为直线的斜率(k=tanа ) ........... .... ;直线的斜率按逆时针增大(在第一象 o 限内由 0 到+∞,在第二象限内由—∞到 0) ...................;当倾斜角等于 90 时,直线的倾率不存 在; (3)当直线斜率存在时,其方向向量为(1,k),其法向量为(1,—1/k) ; 34、两条直线的位置关系: (1)两条直线的位置关系: 斜截式 方程 相交 垂直 平行 重合 y =k1x + b1 y =k2x + b2 k1 ≠k2 k1 k2= —1 k1 =k2,b1 ≠b2 k1 =k2,b1 =b2 一 般 式 A1x + B1y + C1=0 A2x + B2y + C2=0 A1 B2 — B1 A2 ≠0 A1 A2 + B1B2=0 A1 B2 — B1 A2=0 B2 C1 — B1 C2≠0 A1 B2 — B1 A2=0 A1 C2 — A2C1 ≠0
o o

A1 B2 — B1 A2= B2 C1 — B1 C2= A1 C2 — A2C1=0

(2)两条直线的夹角: ①L1 到 L2 的角:直线 L1 与 L2 相交,L1 依逆时针方向旋转到与 L2 重合时所转的角,叫做 L1 到 L2 的角,记为θ 1。计算公式:tanθ 1= (k2 — k1 )/(1+ k1k2), 1+ k1k2≠0; ②L2 到 L1 的角:直线 L2 与 L1 相交,L2 依逆时针方向旋转到与 L1 重合时所转的角,叫做 L2 到 L1 的 角,记为θ 2。计算公式:tanθ 2=

k2 ? k1 ,其中θ 1 +θ 2=π ; 1 ? k1k2

③L1 与 L2 的夹角:直线 L1 与 L2 相交所成的锐角,叫做 L1 与 L2 的夹角,记为θ 。 计算公式:tanθ =

k2 ? k1 1 ? k1 k2

, 1+ k1k2≠0;

④点与直线的位置关系: 点到直线的距离: d=

Ax? ? By? ? C A2 ? B 2

; ;注:在用此

两平行线 Ax + By + C1=0 与 Ax + By + C2=0 的距离为 d= 公式时, 必须把 x 或 y 项的系数化成相等。

C1 ? C2 A2 ? B 2

⑤与直线 Ax + By + C=0 平行的直线可设为 Ax + By + λ =0;与这条直线垂直的直线可 设为 Bx — A y + λ =0, 再根据已知条件求出λ 即可; (xo, 过点 且与直线 Ax + By + C=0 平行、垂直的直线可直接写成:A(x— xo)+ B(y— yo)=0 和 B(x— xo)— A(y— yo) =0; 过直线 L1 : 1x + B1y + C1=0 与 L2:A2x + B2y + C2=0 交点的直线系方程为: 1x + A A B1y + C1+λ (A2x + B2y + C2)=0。 35、圆的定义及方程: 定义 基 本 量
平面内与定 点的距离等 于定长的点 的集合(轨 迹)

标准方程
2 (x—a) +(y—b)2=r2

一般方程 X2+y2+Dx+Ey+F=0

参数方程

x=a+rcosθ y=b+rsinθ
圆心(a,b) 半径 r

圆心(a,b)

圆心(-

D E D2 ? E 2 ? 4F ,- )半径 2 2 2

注:当 D +E — 4f<0 时无轨迹。 36、圆的切线及切线长: (1)过圆(x—a)2+(y—b)2=r2 上一点(x0,y0)的切线方程为: 0—a) (x (x—a)+( y0—b) (y—b) = r2; (2)从圆外一点(x0,y0)做圆的两条切线,过两切点的直线方程为: 0—a) (x (x—a)+( y0—b) (y —b)=r2; (3) 从 圆 外 一 点 ( x0,y0 ) 做 圆 的 切 线 长 为 d =

2

2

( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2

=

x0 2 ? y0 2 ? Dx0 ? Ey0 ? F ;
(4)直线被圆所截得的弦长: ①几何法:运用弦心距、半径及弦的一半构成直角三角形,计算弦长|AB|= 2 r 2 ? d 2 ②代数法:|AB|=|x1—x2| 1 ? k 2 = 1 ? k 2 ·

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2
2

=|y1—y2| 1 ?

锥曲线)

1 1 = 1? 2 · 2 k k

? y1 ? y2 ?

(同样适用圆 ? 4 y1 y2 ;

37、圆系: (1)设圆 C 的方程为 X2+y2+Dx+Ey+F=0,与 C 同圆心的圆系方程为:X2+y2+Dx+ Ey+λ =0; (2)过两个已知圆 X2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 X2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的圆系方 程为: X2+y2+D1x+E1y+F1+λ (X2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ ≠—1) ;当λ = -1 时,即 为两圆相交时公共弦所在的直线;若两圆相切,当λ =-1 时则是它们的公切线。 38、解析几何中的对称问题: (1)点关于直线对称问题 ①点(a,b)关于点(x,y)的对称点的坐标为(2x—a,2y—b); ②点(a,b)关于 x 轴的对称点为(a,—b) ;关于 y 轴对称的点为(—a,b) ;关于原点对称 的点为(—a,—b) ;关于直线 y=x 的对称点为(b,a) ;关于直线 y=— x 的对称点为(— b,—a) ; ③点(a,b)关于直线 y+x + c=0 的对称点为(—b—c,—a—c) ; 曲线 f(x,y)=0 关于直线 y+x + c=0 的对称曲线为:f(—y—c,—x—c)=0. (2)曲线 C:f(x,y)=0 与曲线 Cˊ:g(x,y)=0 关于点 P(a,b)对称,则曲线 Cˊ上任一点 M ˊ(x,y)关于 P 的对称点 M(2a—x,2b—y)在曲线 C 上,即 g(x,y)= f(2a—x,2b—y) =0。 即曲线的对称关系可转化成点与点的对称关系。 39、椭圆的相关知识: 定义: (1)到两定点的距离的和是定值(和大于两点间的距离)的点的集合(轨迹) (2) 平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是定值 (小于 1) 的点的集合 (轨 迹)

x2 y2 (1)标准方程(焦点在 x 轴上) 2 + 2 = 1;参数方程:x=acosθ ,y=bsinθ . : b a 2 2 x y x2 y2 标准方程 + 2 = 1(a ? b ? 0) + 2 = 1(a ? b ? 0) a a2 b b2
y y b B2 a c F2 B1 A2 x B1 b F2 c a B2 x F1 A1

图 形 e→0

A1 F1

则椭圆越趋近于圆

A2

e→1 则椭圆越扁 焦点 焦距 准线 F1 (-c,0), F2 (c,0) |F1 F2|=2C 准线方程: x ? ? F1 (0, -c), F2 (0, c) |F1 F2|=2C

a2 c

准线方程: y ? ?

a2 c

|PF1|=a+ex0 |PF2|= a-ex0 焦半径 (记忆方法:左加右减 ) .... |AB|=2a + e(xA+ xB) (过左焦点) 焦点弦 |AB|=2a - e(xA+ xB) (过右焦点)

|PF1|=a+ey0 |PF2|= a-ey0 (记忆方法:上加下减 ) .... |AB|=2a+e(yA+yB) (过上焦点) |AB|=2a-e(yA+yB) (过下焦点)
2 2

(2)当在已知条件中不知道焦点位置时,可设椭圆方程为:A x +By = 1,再根据已知条 件求解; (3)b 和 c 的几何意义:当 b > c 时,椭圆上所有的点与两焦点连线所成的角均为锐角,当 b = c,则除了两短轴项点与两焦点连线为直角外,其余也均为锐角,当 c > b 时,则以原点 为圆心,c 为半径的圆与椭圆有四个交点,这四个交点与焦点的连线成 90 的角,在圆内部 成钝角,在圆外部的成锐角。 (4)椭圆“焦点三角形的面积” :S= b tan
2 〇

成的角)

? .( θ 是椭圆上与焦点相连的两直线所 2

(5)中点弦:若 M(x0,y0)在椭圆内,若焦点在 x 轴上,则以点 M 为中点的弦所在直线的斜 .............. 率为: . k= —

b2 x0 a2 x ? 。若焦点在 y 轴上,k= — 2 ? 0 。 b y0 a 2 y0

40、双曲线定义: (1)到两个定点的距离的差的绝对值是定值的点的集合(轨迹) 。 ........ (2)到定点的距离与到定直线的距离的比是定值(大于 1)的点的集合(轨迹) 。 双曲线的统一形式:A x + By = 1,其中 AB<1,A 为正,则焦点在 x 轴上,B 为正,则 焦点在 y 轴. 标准方程
2 2

x2 y2 = 1(a ? 0,b ? 0) a2 b2
B1

y2 x2 - 2 = 1(a ? 0,b ? 0) a2 b
A1 F1

图 形

F1 A1 O B2

F2 A2 B1

O B2 A2 F2

焦点 轴

F1 (-c,0), F2 (c,0)

F1 (0, -c), F2 (0, c)

实轴 A1A2,虚轴 B1B2,实轴长 2a,虚轴长 2b

焦距 准线

|F1 F2|=2C

|F1 F2|=2C

渐近线

a2 c x y b ? ? 0或 y ? ? x a b a
准线方程: x ? ? 与渐过线平行的直线和 双曲线只有一个交点 双曲线: ex0 ? a 点 P 在双曲线右半支上:|PF1|=a + ex0, |PF2|=-a +ex0(记忆方法:左 ....... 加右减 )点 P 在双曲线左半支上: ... . |PF1|=a + ex0, |PF2|=a - ex0(记忆 方法:左加右减 ) ....

a2 c x y a ? ?0或 y ? ? x b a b
准线方程: y ? ? 与渐过线平行的直线和 双曲线只有一个交点 双曲线: ey0 ? a P 在上半支:|PF1|=ey0+a |PF2|= ey0-a P 在下半支:|PF1|=a + ey0, |PF2|=a - ey(记忆方法:.... ) 上加下减 0 |AB|=2a+e(yA+yB) (过上焦点) |AB|=2a-e(yA+yB) (过下焦点)

焦半径

焦点弦

|AB|=2a + e(xA+ xB) (过左焦点) |AB|=2a - e(xA+ xB) (过右焦点)

以y = ±

b x2 y 2 x 为渐近线的双曲线系可设为: 2 - 2 =λ ,当λ >0 时,表示焦点在 x 轴上, a a b

当λ <0 时,表示焦点在 y 轴上。 中点弦:若 M(x0,y0)在双曲内, 当焦点在 x 轴上时,则以点 M 为中点的弦所在直线的斜率为:k= ................. 当焦点在 y 轴上时,则以点 M 为中点的弦所在直线的斜率为:k=
2 双曲线“焦点三角形的面积” S= b cot :

b2 x0 ? a 2 y0 a 2 x0 ? b2 y0

? .( 2

θ 是双曲线上与焦点相连的两直线所成的

角)

41、抛物线 定义:到定点的距离与到定直线距离相等的点的集合(轨迹) 。 方程:y = 2px (p>0)焦点(
2 2

P P P ,0)准线:x= — 。焦半径|MF|= x0 + 2 2 2

性质:过抛物线 y = 2px (p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,有如 下性质: (1) y1?y2= — p , x1? x2=
2

P2 4

(2) |AB|= x1 + x2 + p = |AB|= y1 + y2 + p = (3)S?AOB= (4)

2P sin 2 ?

(θ 为直线 AB 的倾斜角,焦点在 x 轴上)

2P cos 2 ?

(θ 为直线 AB 的倾斜角,焦点在 x 轴上)

P2 (同上) 2 sin ?

1 1 2 ? ? AF BF P

(5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 (6)以 AF(或 BF)为直径的圆与 y 轴相切。 (7)过抛物线 x = 2py 的焦点作倾斜角为 30 度的直线与抛物线交于 A、 A 在右) ( B 则
2

AF 1 ? FB 3

中点弦:焦点在 y 轴。若 M(x0,y0)在抛物线内,则以点 M 为中点的弦所在直线的斜率为: k= 4 px0 。

焦点在 x 轴。若 M(x0,y0)在抛物线内,则以点 M 为中点的弦所在直线的斜率为:k=

4 py0
42、空间向量:空间向量的坐标运算:设 a=(a1,a2,a3) ,b=(b1,b2,b3,) 则 a + b=(a1 + b1,a2 + b2,a3 + b3) — b=(a1 — b1,a2 — b2,a3 — b3) ;a ; a · b = a1b1+ a2b2+a3b3;a ∥ b ? a =λ b ?

a1 a2 a3 ? ? , b1 b2 b3
a12 ? a2 2 ? a32

a ⊥ b ? a · b =0 ? a1b1+ a2b2+a3b3 = 0 ;| a |=

? ? a?b cos<a,b>= . A=(a1,a2,a3) ,B=(b1,b2,b3,), a?b
则 dA,B=|AB|= (a1 ? b1 ) ? (a2 ? b2 ) ? ( a3 ? b3 )
2 2 2

几类问题的解决方法: (1) 平面向量的法向量的求法:设 n=(x,y,z),利用 n 与平面内的两个不共线向量 a,b 垂直,其数量积为 0,列出两个三元一次方程, 联立后取其一组解; (2)线面角的求法:设 n 是平面α 的法向量,AB 是直 线 L 的方向向量,则直线 L 与平面α 所成的角θ 的正

a

b n

B A D A B C

??? ? ? AB ? n 弦为:sinθ = ??? ? ? .. .. AB ? n

n1

(3)二面角的求法: ① AB,CD 分别是二面角α —L—β 的两个半平面内与棱 L 垂直的异面直线,则二面角的大小为<AB,CD>; ② n1,n2 是二面角α —L—β 的两个面α ,β 的法向量,则

?? ?? ? ? n1 ? n2 < n1,n2>=arccos ?? ?? 就是平面角的二面角或补角。 ? ? n1 ? n2
(4)异面直线的距离的求法:L1L2 是两条异面直线,n 是 L1L2 的公垂线段 AB 的方向向量,又 C,D 分别是 L1L2 上

??? ? ? CD ? n 的任意两点,则|AB|= ?? ; ? n

(5)点面距离的求法:设 n 是平面α 的法向量,AB 是平面α 的一条斜线,点 A 在平面α 内,则点 B 到平面α 的距离

??? ? ? AB ? n 为 ?? ? ; n
(6)线面距离、面面距离均可转化为点面距离再用(5)中方法求解。 43、n 边形的内角和为(n—2)180 ,外角和为 360 (定值) ;对角线为 线互相垂直 的等腰梯形,高与中位线相等。边长为 a 的等边三角形的面积为
0 0

n( n ? 3) 条。对角 2

3 2 a 4

44、 从一个顶点出发有三条棱互相垂直的三棱锥的外接球直径的平方, 等于这互相垂直的三 D 2 2 2 2 条棱的平方的和。即 AB⊥AD,AB⊥AC,AC⊥AD,则该三棱锥的外接球有:(2R) =AB + AD + AC 45、棱长为 a 的正四面体任意一顶点到对面的距离为: 45、正三棱锥对棱互相垂直。 C 46、导函数公式(已包括复合函数):特点:在书本公式的基础上乘以 x'即变成复合函数型 ①(x )'=m x

6 a 3

B A

·x' ②(sinx)'=cosx·x' ③ (cosx)' =-sinx·x' x x ④(e ) '= e ·x' x x ⑤(a ) '=a ·lna·x'

m

m-1

1 ·x' x 1 ⑦(logax) '= ·logae·x' x

⑥ (lnx) '=


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