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2014高考数学易错点剖析8


2014 高考数学易错点剖析
【易错点 8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使 用,导致错误结论。 例 8、已知函数 f ? x ? ? ax ? 3 x ? x ? 1 上是减函数,求 a 的取值范围。
3 2

【易错点分析】 f ? ? x ? ? 0 x ? ? a, b ? 是 f ? x ? 在

? a, b ? 内单调递减的充分不必要条件,在解
3 2 题过程中易误作是充要条件,如 f ? x ? ? ? x 在 R 上递减,但 f ? ? x ? ? ?3 x ? 0 。

?

?

解 析 : 求 函 数 的 导 数 f ? ? x ? ? 3ax ? 6 x ? 1 ( 1 ) 当 f ? ? x ? ? 0 时 , f ? x ? 是 减 函 数 , 则
2

?a ? 0 f ? ? x ? ? 3ax 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ? x ? R ? 故 ? 解 得 a ? ?3 。( 2 ) 当 a ? ?3 时 , ?? ? 0
1? 8 ? (3) 当 a ? ?3 f ? x ? ? ?3x 3 ? 3x 2 ? x ? 1 ? ?3 ? x ? ? ? 易知此时函数也在 R 上是减函数。 3? 9 ?
时,在 R 上存在一个区间在其上有 f ? ? x ? ? 0 ,所以当 a ? ?3 时,函数 f ? x ? 不是减函数,综 上,所求 a 的取值范围是 ? ??, ?3? 。 【知识归类点拔】若函数 f ? x ? 可导,其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明: ① f ?( x) ? 0 与 f ( x) 为增函数的关系: f ?( x) ? 0 能推出 f ( x) 为增函数,但反之不一定。如函 数 f ( x) ? x 在 (??,??) 上单调递增,但 f ?( x) ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为增函数的充分不
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3

必要条件。② f ?( x) ? 0 时, f ?( x) ? 0 与 f ( x) 为增函数的关系:若将 f ?( x) ? 0 的根作为分界 点,因为规定 f ?( x) ? 0 ,即抠去了分界点,此时 f ( x) 为增函数,就一定有 f ?( x) ? 0 。∴当

f ?( x) ? 0 时, f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为增函数的充分必要条件。③ f ?( x) ? 0 与 f ( x) 为增函数的
关系 : f ( x) 为增函数,一定可以推出 f ?( x) ? 0 ,但反之不一定,因为 f ?( x) ? 0 ,即为

f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 。当函数在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数,函数不具有
单调性。∴ f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性 质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以上三个关系,用导数判断好函数的单调 性。因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区间作为单调区间,避免讨论以上 问题,也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题,要谨慎处理。 因此本题在第一步后再对 a ? ?3 和 a ? ?3 进行了讨论,确保其充要性。在解题中误将必要条
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件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多,这需要同 学们在学习过程中注意思维的严密性。
2 【练 8】 (1)函数 y ? x ? bx ? c x ? ? 0, ?? ? 是是单调函数的充要条件是()

?

?

A、 b ? 0 答案:A

B、 b ? 0 C、 b ? 0 D、 b ? 0

(2)是否存在这样的 K 值,使函数 f ? x ? ? k 2 x 4 ?

2 3 1 x ? kx 2 ? 2 x ? 在 ?1, 2 ? 上递减,在 3 2

? 2, ?? ? 上递增?
答案: k ?

1 。 (提示据题意结合函数的连续性知 f ? ? 2 ? ? 0 ,但 f ? ? 2 ? ? 0 是函数在 ?1, 2 ? 上 2

递减, 在 ? 2, ?? ? 上递增的必要条件, 不一定是充分条件因此由 f ? ? 2 ? ? 0 求出 K 值后要检验。 )

-2-


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