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【高考复习方案】(新课标)2015届高三数学二轮限时训练 第2讲 平面向量与复数


[第 2 讲 基础演练

平面向量与复数]

(时间:5 分钟+30 分钟 ) → → → 1.若向量AB=(1,2),BC=(3,4),则AC=( ) A.(4,6) B.(-4,-6) C.(-2,-2) D.(2,2) (2-i)2 2.复数 z= (i 为虚数单位),则|z|=( ) i A.25 B. 41 C .5 D. 5 3.已知 a,b∈R,则“a=0”是“a+bi 为纯虚数”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.向量 a=(0,1),b=(3,-4),则 a 在 b 方向上的投影等于________. 5.已知向量 a=(1, n),b=(-1, n), 若 2a-b 与 b 垂直,则正数 n=________.

提升训练
|z| 6.若复数 z=3+4i,则 =( ) z 3 4 3 4 A. - i B.- - i 5 5 5 5 3 4 3 4 C. + i D.- + i 5 5 5 5 7.向量 a=(3,-4),|b|=2,若 a· b=-5,则向量 a 与 b 的夹角为( ) π π A. B. 3 6 2π 3π C. D. 3 4 2+4i 8.复数 z= (i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( ) 1-i A.(3,3) B.(-1,3) C.(3,-1) D.(2,4) 9.已知向量 p=(cos A,sin A),q=(-cos B,sin B),若 A,B,C 是锐角三角形 ABC 的 三个内 角,则 p 与 q 的夹角为( ) A.锐角 B.直角 C.钝角 D.以上都不对 10.已知向量 a=(1,λ),b=(2,2),且 a+b 与 a 共线,则 a·b 的值为( ) A.1 B.2 C .3 D.4 → → 11. 如图 21 所示, 在复平面内, 复数 z1, z2 对应的向量分别是OA, OB, 则|z1+z2|=( )

图 21

A.2 C .2

2

B.3 D.3

3 2 3 3 |a|, 则向量 a+b 与 a-b 的夹角为( )

12. 若两个非零向量 a, b 满足|a+b|=|a-b|= π A. 6 2π C. 3 π B. 3 5π D. 6

(1+ai)(1-i) =2-i,则 a+bi=________. b+i → → 14.已知四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形,若 DE=2EC,CF=2FB,则AE·AF的值 为________. → → 15. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A 的坐标为(3, a), a∈R, 点 P 满足OP=λOA, λ∈R, → → |OA||OP|=72,则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为________. 13.己知 a,b∈R,i 是虚数单位,若

专题限时集训(二)
【基础演练】
→ → → AC=AB+BC=(4,6). (2-i)2 3-4i 2.C [解析] z= = =-4-3i,所以|z|=5. i i 3.C [解析] 当 a=0 时,bi 不一定是纯虚数,如 b=0 时,bi 就不是纯虚数;反之,若 a+bi 为纯虚数,则 a=0,b≠0.故选 C. (3,-4) 4 a· b (0,1)· 4 4.- [解析] 向量 a 在向量 b 方向上的投影为 = =- . 5 |b| 5 5 2 5. 3 [解析] ∵2a-b=(3,n),2a-b 与 b 垂直,所以有 n -3=0.又 n 为正数,所以 n = 3. 1.A [解析]

【提升训练】
5(3-4i) |z| 5 3 4 [解析] 由题知|z|=5,所以 = = = - i. z 3+4i (3+4i)(3-4i) 5 5 a·b -5 2π 1 7.C [解析] 易知|a|=5,∴cos〈a,b〉= = =- ,故向量 a 与 b 的夹角为 . |a||b| 5×2 2 3 2+4i (2+4i)(1+i) 8. B [解析] z= = =-1+3i, 其在复平面内对应的点为(-1, 3). 1-i (1-i)(1+i) 9.A [解析] 设两个向量的夹角为 θ,则 cos θ =-cos Acos B+sinA sinB=-cos(A+B) =cos C>0,故 θ 为锐角. 10.D [解析] a+b=(3,λ+2),由 a+b 与 a 共线,得 3λ-λ -2=0,解得 λ=1,所以 a· b=(1,1)· (2,2)=4. → → 11.A [解析] 根据复平面上对应点的坐标,可知向量OA=(-2,-1),OB=(0,1),故 z1=(-2,-1),z2=(0,1),所以 z1+z2=(-2,0),所以|z1+z2|=2. 2 3 12.B [解析] 由|a+b|=|a-b|得 a· b=0,所以可由|a+b|= |a|得|a|2=3|b|2,所以 cos 3 (a+b)· (a-b) a2-b2 1 π 〈a+b,a-b〉= = = ,所以向量 a+b 与 a-b 的夹角为 . 4 2 2 3 |a+b||a-b| |a| 3 (1+ai)(1-i) 13.2+i [解析] =2-i?(1+ai)(1-i)=(2-i)(b+i)?1+a+(a-1)i b+i ?1+a=2b+1, ?a=2, ? ? =2b+1+(2-b)i,即? 解得? 故 a+bi=2+i. ?a-1=2-b, ?b=1, ? ? 14.9 [解析] 方法一:以点 A 为坐标原点,AB,AD 所在的直线分别为 x 轴、y 轴建立 → → → → 平面直角坐标系, 则 A(0,0), E(2,3), F(3,1), 所以AE=(2,3), AF=(3,1), 因此AE· AF =2×3+3×1=9. → → → → 2 → → 2→ → → 1→ → 1 → 方法二:如图所示,AE=AD+DE=AD+ DC=AD+ AB,AF=AB+ BC=AB+ AD, 3 3 3 3 2 2 1 11 1 → → ? 2 → 2 11 → → 1 → 2 2 → → → ? → →? ?→ 所以AE· AF=?3AB+AD?· AD+ AD = · AB + ×0+ · AD ?AB+3AD?=3AB + 9 AB· 3 3 9 3 2 2 2 11 1 = ×3 + ×0+ ×32=9. 3 9 3 6.A

| |

| |

→ → → 15.24 [解析] 点 A 的坐标为(3,a),则|OA|≥3.因为OP=λOA,所以 O,P,A 三点共线. 72 → → → → 由|OA||OP|=72, 得|OP|= , 设 OP 与 x 轴的夹角为 θ, 则 OP 在 x 轴上的投影长度为|OP → |OA| 216 → 3 |cos θ =|OP| = ≤24,即线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 24. → → |OA| |OA|2


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