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2014第一次模拟考试数学(理)试题


2014 年高考数学模拟考试试卷(一)
姓名: 得分:
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. ) 1. 设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x | x2 ≤1} ,则 A B ? ( ) A. (?1,1] C. [?1, 2) B. ( ?1,1) D.

( ?1, 2) )
正视图 左视图

2. “ x ? 3 ”是“ x ? 3 ? 0 ”的(

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 3. 如图是某几何体的三视图,其中正视图是边长为 2 的等边三角形,俯 视图是半圆,则该几何体的体积是( A. )
3? D. 6

俯视图

(第 3 题图)

? 3
?

B.

2? 3

2? C. 6

4. ? 04 cos 2 xdx =( A.

) C.2 D.

2 5.甲、乙两人在淘宝网各开一家网店,直销同一厂家的同一种产品,厂家为 5 7 3 考察两人的销售业绩,随机选了 10 天,统计两店销售量,得到如图所示的茎叶 1 8 1 图,由图中数据可知( )

1 2

B.1

3 2

6 1 2

乙 0 5 7 1 3 3 3 2 2 3 4 4 2 2 5 8

A.甲网店的极差大于乙网店的极差 C.乙网店的众数是 42

B.甲网店的中位数是 46 D.甲网店的销售业绩好

(第 5 题图)

6.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S9 ? ?18 , S13 ? ?52 ,等比数列 {bn } 中, b5 ? a5 , b7 ? a7 , 则 b6 的值( A. 2 2 7.若 sin( A. ?
7 9

) B. 2 C. 2 2 或 ?2 2 D.2 或-2

?

1 ? ? ? ) ? ? ,则 cos( ? 2? ) ? ( ) 3 3 3 1 1 B. ? C. 3 3

D.

7 9

1 8.设函数 f(x)=- ,g(x)=ax2+bx(a,b∈ R,a≠0),若 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且仅有 x 两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 ( ) A.当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2>0 B.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2<0 C.当 a>0 时,x1+x2>0,y1+y2<0 D.当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 二、填空题(本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分,把答案填在答题卡中 对应题号的横线上. ) (一)选做题(请考生在 9、10、11 三题中任选两题作答,如全做则按前两题计分) .

1

9.如图,AB 是⊙ O 的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 与⊙ O 相切于点

? E,∠ C= ,则∠ AED=_____. 6
10.已知 x, y, z∈R,且 x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,则 x ? 2 y ? 3z 的最大 值是 . 11.已知在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 ?
? x ? 2 cos ? (? ? y ? 1 ? 2 sin ?

D A

E O B C

(第 9 题图)

为参数),与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极

? 坐标系,直线 l 的极坐标方程为 2? sin(? ? ) ? 1,则圆 C 截直线 l 所得的弦长为 3 (二)必做题(12~16 题)
12. 二男二女共四个学生站成一排照相,两个女生必须相邻的站法有



种. (用数字

作答)
13.已知 A、B 是圆 C (C 为圆心)上的两点, | AB | =2,则 AB ? AC = .
开始 n=1
1 3 1 3 z0 ? ? ? i, z ? ? ? i 2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是 C 右支上一 9 7 动点,点 Q 的坐标是(1,4) ,则|PF1|+|PQ|的最小值为 .

14.双曲线 C:

15.执行如图所示的程序框图,则输出的复数 z 是 . 16.电脑系统中有个“扫雷”游戏,要求游戏者标出所有的雷,游戏规则: 一个方块下面至多埋一个雷,如果无雷掀开方块下面就标有数字,提醒游 戏者此数字周围的方块(至多八个)中雷的个数(0 常省略不标), 如图甲中的 “3”表示它的周围八个方块中有且仅有 3 个埋有雷.图乙是张三玩游戏中 的局部,图中有 4 个方块已确定是雷(方块上标有旗子),则上方左起八个 方块中(方块正上方对应标有字母), 能够确定一定不是雷的有 , 一 定是雷的有 .(请填入方块上方对应字母)

z ? z0 ? z
n=n+1 否

n>2013?
是 输出 z 结束

ABCDEFG

(第 15 题图)

(甲) (第 16 题图) (乙)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 3, b ? 4,
2 . 3 (1) 求 ?ABC 的面积; (2) 求 sin( B ? C ) 的值. cos C ?

2

18. (本小题满分 12 分)永州市举办科技创新大赛,某县有 20 件科技创新作品参赛,大赛组委会 对这 20 件作品分别从“创新性”和“实用性”两个方面进行评分, 每个方面评分均按等级采用 3 分制(最 低 1 分,最高 3 分),若设“创新性”得分为 x ,“实用性”得分为 y ,得到统计结果如下表,若从这 20 件产品中随机抽取 1 件. (1)求事件 A:“x ≥2 且 y≤2”的概率; (2)设 ξ 为抽中作品的两项得分之和,求 ξ 的数学期望.
作品数

x 1分 2分 3分







y
实 用 性

1分 2 1 2

2分 0 4 2

3分 2 1 6

19. (本小题满分 12 分)如图所示,直角梯形 ABCD 中,∠ A=∠ D=90o,AD=2,AB=3,CD=4, P 在线段 AB 上, BP=1, O 在 CD 上, 且 OP∥ AD, 将图甲沿 OP 折叠使得平面 OCBP⊥ 底面 ADOP, 得到一个多面体(如图乙),M、N 分别是 AC、OP 的中点. (1) 求证:MN⊥ 平面 ACD; (2) 求平面 ABC 与底面 OPAD 所成角(锐角)的余弦值. C
C O D B B P
(甲)

M N P O A D

A

(乙)

(第 19 题图)

20. (本小题满分 13 分)提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.一般情况下,大桥 上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当车流密度不超过 50 辆/ 千米时,车流速度为 30 千米/小时.研究表明:当 50<x≤200 时,车流速度 v 与车流密度 x 满足
v ( x ) ? 40 ? k 250 ? x

,当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0 千米/小

时. (1) 当 0<x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2) 当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数,单位: 辆/小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到个位,参考数据 5 ? 2.236 )

3

21. (本小题满分 13 分)在直角坐标系 xoy 中,椭圆 C1:

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率 e ?

3 2



F 是抛物线 C2:y2=4x 的焦点, C1 与 C2 交于 M,N 两点(M 在第一象限),且|MF|=2. (1) 求点 M 的坐标及椭圆 C1 的方程; (2) 若过点 N 且斜率为 k 的直线 l 交 C1 于另一点 P, y 交 C2 于另一点 Q,且 MP⊥ MQ,求 k 的值.

M l P O F N
(第 21 题图)

x

Q

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? p x . (1) 若函数 f ( x) 在定义域内为减函数,求实数 p 的取值范围; (2) 如果数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an ?1 ? [1 ? 当 n ? 2 时, 4 ? an ? 4e 4 .
3

1 n (n ? 1)
2 2

]an ?

1 4n

,试证明:

4

永州市 2013 年高考第一次模拟考试

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) ACDA DCAB 二、填空题(每小题 5 分,共 35 分) (一)选做题(9-11 题,考生只能从中选做 2 题,如果多做则按前两题计分) 9.

? 3

10. 14

11. 4

(二)必做题(12-16 题) 12. 12 15. 13. 2 14. 11

1 3 16. (1)A,C,E; (2)B,D,F,G ? + i 2 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本题满分 12 分)
2 解:(Ⅰ)在△ ABC 中,∵ cos C ? , 3

∴ sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ?

2 3

5 . 3

………………………2 分

1 ∴ S?ABC ? ab sin C ? 2 5 . ………………………5 分 2 (Ⅱ)由余弦定理可得, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 9 ? 16 ? 16 ? 9 ∴ c ?3. …………………………………………7 分 c b 又由正弦定理得, , ? sin C sin B



b ? sin C sin B ? ? c

4?

5 3 ?4 5 . 3 9

……………………9 分 …………………10 分
4 5 2 1 5 7 5 ? ? ? ? 9 3 9 3 27

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? 2ac 9



sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?



… … … … 1 2



18.(本小题满分 12 分) 解:(1) 从表中可以看出,事件 A:“x ≥2 且 y≤2”的作品数量为 7 件,

7 ? 0.35 . …………5 分 20 (2) 方法一:由表可知“创新性”得分 y 有 1 分、 2 分、 3 分三个等级,每个等级分别有 5 件,6 件, 9 件,“创新性”得分 x 的分布列为:
故“x ≥2 且 y≤2”的概率为

x
则 “ 创 新 性 ” 得 分 的 数 学 期 望 为 Ex =

1 3 9 11 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? 2.2 4 10 20 5

p

…………8 分

1 1 4

2 3 10

3 9 20

5

“实用性”得分 y 有 1 分、2 分、3 分三个等级,每个等级分别 有 4 件,6 件,10 件, “实用性”得分 y 的分布列为: 故“实用性”得分的数学期望为

y p

1 1 5

2 3 10

3 1 2

1 3 1 23 ? 2.3 …………10 分 Ey = 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 5 10 2 10
所以 ξ 数学期望 Eξ=E (x+y)=Ex+Ey=2.2+2.3=4.5 …………12 分 方法二:作品的总得分 ξ 的可能取值为 2 分,3 分,4 分,5 分,6 分, 由表中可知对应的作品数量分别为 2 件,1 件,8 件,3 件,6 件, …………8 分 则作品的总得分 ξ 的分布列为: …………10 分 所以 ξ 数学期望为 1 1 2 3 3 9 Eξ= 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? ? 4.5 10 20 5 20 10 2 …………12 分

ξ

2

3

4

5

6

P 19.(本小题满分 12 分) 证明 : (1)取 CD 的中点为 Q, 连接 MQ, OQ, OQ ? CD, 依题意知:面 OCD⊥底面 OPAD, AD⊥OD,AD⊥平面 OCD, 而 OQ ? 面 OCD,AD⊥OQ, 又 CD AD=D, 所以 OQ ? 面 ACD, 1 1 MQ 是 ? ACD 的中位线,故 MQ AD ,NO AD , 2 2 则 MQ NO ,所以 MN∥OQ, 故 MN⊥平面 ACD; …………5 分

1 10

1 20

2 C 5
M

3 20
Q

3 10

B N P

O A

D

(2) 方法一:如图所示,分别以 OP,OD,OC 为 x 轴,y 轴,z 轴建 立空间直角坐标系. B(2,0,1),A(2,2,0) C(0,0,2), 底面 OPAD 的一个法向量 m ? (0,0,1) , 设平面 ABC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,
AB ? (0, ?2,1), CB ? (2, 0, ?1) ,
B N x P

z C

M O A D y

…………7 分 ,

依题知: ? 即?

? ? n ? AB ? 0 ? x ? 2 ? y ? z ? 0 ? ? n ? CB ? 2 ? x ? 0 ? y ? z ? 0


? ? 2y ? z ? 0 ? 2x ? z ? 0

令 x=1,则 y=1,z=2, n ? (1,1, 2) , cos ? m, n ?? 故平面 ABC 与底面 OPAD 所成角的余弦值为 方法二:延长 CB 交 OP 于 E,连接 AE, 则 AE 是面 ABC 与底面 OPAD 的交线,

2 1? 6

?

6 3

, …………12 分
C

6 3



6

B N E P F O

M D A

过 O 作 OF⊥AE 于 F,连 CF, 则∠CFO 就是二面角 C-AE-O 的平面角, OE ? AP 4 ? 2 OF ? ? ?2 2 , AE 2 2
CF ? OF 2 ? OC 2 ? 2 3 ,
OF 2 2 6 ? ? , CF 2 3 3

∠CFO=

故平面 ABC 与底面 OPAD 所成角的余弦值为 20.(本小题满分 13 分) 解:(1) 由题意:当 0<x≤50 时,v(x)=30; 当 50≤x≤200 时,由于 v ( x) ? 40 ?

6 3



………12 分

k , 250 ? x

再由已知可知,当 x=200 时,v(0)=0,代入解得 k=2000. 故函数 v(x)的表达式为 0 ? x ? 50 ?30

v( x) ? ?

? ?

?40 ?

2000 250 ? x

50 ? x ? 200

…………5 分

?30 x ? (2) 依题意并由(1)可得 f ( x) ? ? 2000 x 40 x ? ? ? 250 ? x

0 ? x ? 50 50 ? x ? 200

当 0≤x≤50 时,f(x)=30x,当 x=50 时取最大值 1500. …………8 分 2000 x 2000(250 ? x) ? 2000 ? 250 f ( x) ? 40 x ? ? ?40(250 ? x) ? 40 ? 250 ? 250 ? x 250 ? x 当 50<x≤200 时, ? 12000 ? [40(250 ? x) ?

500000 250 ? x

] ? 12000 ? 2 40(250 ? x) ?

500000 250 ? x

? 12000 ? 4000 5 ? 12000 ? 4000 ? 2.236 ? 3056
取等号当且仅当 40(250 ? x ) ?
500000 250 ? x

, …….12 分

即 x ? 250 ? 50 5 ? 138 时,f(x)取最大值。 (这里也可利用求导来求最大值) 综上,当车流密度为 138 辆/千米时,车流量可以达到最大, 最大值约为 3056 辆/小时. 21.(本题满分 13 分)

…………….13 分

解:(1) 抛物线 C2:y2=4x,2p=4,p=2,设 M(x0,y0), |MF|=x0+ x0 = 1, y0= 2,椭圆 C1:
e? c 3 ? , a 2

p ? x0 ? 1 ? 2 , 2

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a 2 b2

y M l P O F N Q x

c2 3 b2 1 ? , 2 ? , a ? 2b , 2 4 4 a a 2 2 y x 椭圆 C1: 2 ? 2 ? 1 过点 M(1,2), 4b b



7

求得 b ? 2 , a ? 2 2 , y 2 x2 椭圆 C1 的方程是 ? ? 1 ………6 分 8 2 (2) 点 N(1,-2),直线 l 的方程为 y+2=k(x-1), 与 C1: y 2 ? 4 x 2 ? 8 , 联立消去 y 得:4 x 2 ? (kx ? k ? 2)2 ? 8 , 整理得 (4 ? k 2 ) x 2 ? 2k (k ? 2) x ? k 2 ? 4k ? 4 ? 0 (i) 设 P(x1,y1),易知 1,x1 是方程(i)的两根,x1= 代入直线 l 的方程得 y1 ?
k 2 ? 4k ? 4 , 4 ? k2

2k 2 ? 8k ? 8 , 4 ? k2 y+2=k(x-1)与 y2=4x 联立消去 x 得: ky 2 ? 4 y ? 4k ? 8 ? 0

…………….8 分 (ii)
?4k ? 8 , k

显然 k≠0,设点 Q(x2,y2),易知-2,y2 是方程(i)的两根,-2 ? y2=
(k ? 2)2 2k ? 4 ,代入抛物线得 x2 ? , k k2 k 2 ? 4k ? 4 2k 2 ? 8k ? 8 (k ? 2)2 2k ? 4 故 P( , ), Q ( , ) ,M(1,2) k 4 ? k2 4 ? k2 k2 4k ? 8 ?8k ? 16 4k ? 4 4 MP ? ( , ), MQ ? ( 2 , ) , k 4 ? k2 4 ? k2 k 由 MP⊥MQ 有 MP ? MQ ? 0 ,

得 y2 ?

…………….10 分

………….11 分



(4k ? 8)(4k ? 4) 4( ?8k ? 16) ? ? 0, k 2 (4 ? k 2 ) (4 ? k 2 )

整理得 k 2 ? 5k ? 2 ? 0 ,求得 k ? 22.(本题满分 13 分)

?5 ? 17 . 2

….13 分

解:(1) 函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? p x 的定义域为 [0, ??) .

f ' ( x) ?

1 1? x

?

p 2 x

?

2 x ? p(1 ? x) 2(1 ? x) x
2 x 1? x ) max

.……………2 分

依题意, 2 x ? p(1 ? x) ? 0 恒成立,所以 p ? ( 由 x ? 0 ? 1? x ? 2 x ?

2 x 2 x ? 1 ,知 ( ) ?1, 1? x 1 ? x max ? p ? 1 ,∴p 的取值范围为 [1, ??) .……………5 分 1 1 (2) 首先,由 a1 ? 3 得 a2 ? [1? 2 ]? 3 ? =4 , 2 4 1 ?2 1 1 an ? n ? 0 , ? an?1 ? an , 而当 an ? 0 时有 an ?1 ? an ? 2 n (n ? 1) 2 4 * 所以,对 ?n ? N (n ? 2) ,都有 an ? 4 .(用数学归纳法证明也可) ………8 分 1 1 ]an ? n 及 an ? 4 再由 an ?1 ? [1 ? 2 2 n (n ? 1) 4 1 an 1 1 又得 an?1 ? [1 ? 2 2 ]an ? n ?1 ? [1 ? 2 2 ? n ?1 ]an n (n ? 1) 4 n (n ? 1) 4

8

? ln an?1 ? ln{[1 ?

1 1 1 1 ? n?1 ]an } ? ln[1 ? 2 ? n?1 ] ? ln an 2 2 n (n ? 1) 4 n (n ? 1) 4
2

? ln an ?1 ? ln an ? ln[1 ?

1 1 ? n ?1 ] 2 n (n ? 1) 4
2

…………….10 分

由(1)知当 p ? 1 时 f ( x ) 为减函数,取 p ? 1 ,则 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x , 当 x ? 0 时 f ( x) ? f (0) ? 0 , 故 ln(1 ? x) ?

x ( x ? 0)

? ln an?1 ? ln an ? ln[1 ?

1 1 1 1 ? n?1 ] ? 2 ? n?1 2 2 n (n ? 1) 4 n (n ? 1) 4 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? n(n ? 1) 2n?1 n n ? 1 2n?1
2

? ln a3 ? ln a2 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? 3 , ln a4 ? ln a3 ? ? ? 4 ,…., 2 3 2 3 4 2 1 1 1 ln an ? ln an ?1 ? ? ? n ? 1 n 2n 1 1 1 1 3 将这 n-2 个式子相加得 ln an ? ln a2 ? ? ? (1 ? n ? 2 ) ? 2 n 4 2 4
3 3 an ? e 4 ,将 a2 ? 4 代入得 an ? 4e 4 a2 3

?

故当 n ? 2 时, 4 ? an ? 4e 4

…………….13 分

9


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