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2017届安徽省蚌埠二中、合肥八中、铜陵一中、芜湖一中四校高三10月联考数学(理)试题及答案


2017 届安徽省蚌埠二中、合肥八中、铜陵一中、芜湖一中四校高三 10 月联考数 学(理)试题 " 十月联考数学(理科)试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {x ? R | log 1 ( x ? 2) ? ?1

} , B ? {x ? R |
2

2x ? 6 ? 1} ,则 A ? B ? ( 3? x



A. [?1,3)

B. [?1,3]

C. ?

D. (2,3) )

2.下列有关命题的说法中错误的是(

A.命题: “若 y ? f ( x) 是幂函数,则 y ? f ( x) 的图象不经过第四象限”的否命题是假命题 B.设 a, b ? R ,则“ a ? b ”是“ a | a |? b | b | ”的充要条件 C.命题“ ?n ? N , f (n) ? N 且 f (n) ? n ”的否定形式是“ ?n0 ? N * , f (n0 ) ? N * 且 f (n0 ) ? n0 ”
* *

D.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 3.若函数 f (log 2 x ? 1) ? 2 x ? x ? 9 ,则 f (3) ? ( A.7 B.10 C.11 D.20 )

4.设样本数据 x1 , x2 , ? , x20 的均值和方差分别为 1 和 8, 若 yi ? 2 xi ? 3(i ? 1, 2, ?, 20) , 则 y1 , y2 , ?, y20 的 均值和方差分别是( A.5,32 B.5,19 ) C.1,32 D.4,35

5. 在三次独立重复试验中,事件 A 在每次试验中发生的概率相同,若事件 A 至少发生一次的概率为 则事件 A 恰好发生一次的概率为( A. )

63 , 64

1 4

B.

3 4

C.

9 64

D.

27 64

6. 某品牌牛奶的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:

1页

根据上表可得回归方程 y ? b x ? a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 7 万元时销售额为( A.74.9 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 )

^

^

^

^



7.已知 log 1 a ? log 1 b ,则下列不等式一定成立的是(
2 2

A. ln(a ? b) ? 0

B.

1 1 ? a b

C. ( ) a ? ( )b

1 4

1 3

D. 3a ?b ? 1

8.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意的 x1 , x2 ? (??, 0)( x1 ? x2 ) ,都有 结论正确的是( ) B. f (log 2 5) ? f (20.3 ) ? f (0.32 ) D. f (0.32 ) ? f (log 2 5) ? f (20.3 ) ) C. y ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则下列 x1 ? x2

A. f (0.32 ) ? f (20.3 ) ? f (log 2 5) C. f (log 2 5) ? f (0.32 ) ? f (20.3 ) 9.如图可能是下列哪个函数的图象( A. y ? 2 ? x ? 1
x 2

B. y ?

2 x sin x 4x ?1

x ln x

D. y ? ( x ? 2 x ) e
2

x

10.已知函数 f ( x) ? log 2 ( ax 2 ? 2 x ? 3) ,若对于任意实数 k ,总存在实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? k 成立,则实 数 a 的取值范围是( A. [?1, ) )

1 3

B. [0, ]

1 3

C. [3, ??)

D. (?1, ??)

11.已知函数 f ( x) ? 2016 x ? log 2016 ( x 2 ? 1 ? x) ? 2016 ? x ? 2 ,则关于 x 的不等式 f (3 x ? 1) ? f ( x) ? 4 的解集为( A. (??, ? ) ) B. (?

1 4

1 , ??) 4

C. (0, ??)

D. (??, 0)
' '

12.定义在区间 (0, ??) 上的函数 f ( x) 满足:2 f ( x) ? xf ( x) ? 3 f ( x) 对 x ? (0, ??) 恒成立, 其中 f ( x) 为

f ( x) 的导函数,则(



2页

A.

1 f (1) 1 ? ? 4 f (2) 2

B.

1 f (1) 1 ? ? 16 f (2) 8

C.

1 f (1) 1 ? ? 3 f (2) 2

D.

1 f (1) 1 ? ? 8 f (2) 4

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 已知随机变量 ? 服从正态分布,且方程 x 2 ? 2 x ? ? ? 0 有实数解得概率为

1 ,若 P (? ? 2) ? 0.75 ,则 2

P(0 ? ? ? 2) ?
14.已知 a ?

.

?

?

6 0

cos xdx ,则 x( x ?

1 7 ) 的展开式中的常数项是 ax

.(用数字作答)

15. 甲与其四位朋友各有一辆私家车,车牌尾数分别是 0,0,2,1,5,为遵守当地某月 5 日至 9 日 5 天 的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行) ,五人商议拼车出行,每 天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案总数为 16. 已知函数 f ( x) ? x(e ? e ) ? (2 x ? 1)(e
x ?x 2 x ?1

.

? e1? 2 x ) ,则满足 f ( x) ? 0 的实数 x 的取值范围



.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分 10 分) 已知集合 A ? {x | 3 ? 3 ? 27} , B ? {x | log 2 x ? 1} .
x

(1)分别求 A ? B , (CU B ) ? A ; (2)已知集合 C ? {x |1 ? x ? a} ,若 C ? A ,求实数 a 的取值集合. 18. (本小题满分 12 分) 已知 p : x ? 7 x ? 10 ? 0 , q : x ? 4mx ? 3m ? 0 ,其中 m ? 0 .
2 2 2

(1)若 m ? 4 且 p ? q 为真,求 x 的取值范围; (2)若 ?q 是 ?p 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 对于函数 f ( x) ,若在定义域内存在实数 x ,满足 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 f ( x) 为“局部奇函数”. (1)已知二次函数 f ( x) ? ax ? 2bx ? 4a (a, b ? R ) ,试判断 f ( x) 是否为“局部奇函数”?并说明理由;
2

(2)设 f ( x) ? 2 ? m 是定义在 [?1, 2] 上的“局部奇函数” ,求实数 m 的取值范围;
x

(3)设 f ( x) ? 4 ? m ? 2
x

x ?1

,求实数 m 的取值范围. ? m 2 ? 3 为定义域 R 上的“局部奇函数”
3页

20. (本小题满分 12 分) 为推行“微课、翻转课堂”教学法,某数学老师分别用传统教学和“微课、翻转课堂”两种不同的教学方 式,在甲、乙两个平行班级进行教学实验,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽 取 20 名学生的成绩进行统计,结果如下表: 记成绩不低于 70 分者为“成绩优良”.

(1)由以上统计数据填写下面 2 ? 2 列联表,并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?

附: k ?
2

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

临界值表:

(2)现从上述 40 人中,学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取 8 人进行考核,在这 8 人中,记成 绩不优良的乙班人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 21. (本小题满分 12 分) 定义在 (?1,1) 上的函数 f ( x) 满足下列条件: ①对任意 x, y ? ( ?1,1) ,都有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( ②当 x ? (?1, 0) 时,有 f ( x) ? 0 ,求证: (1) f ( x) 是奇函数; (2) f ( x) 是单调递减函数;
4页

x? y ); 1? x ? y

(3) f (

1 1 1 1 ) ? f ( ) ??? f ( 2 ) ? f ( ) ,其中 n ? N * . 11 19 n ? 5n ? 5 3 x ? a ln(1 ? x) , g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx . 1? x

22.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2)①是否存在实数 b ,使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立?若存在,求出 b 的取值范围; 若不存在,说明理由; ②证明:不等式 ?1 ?

?k
k ?1

n

2

k 1 ? ln n ? (n ? 1, 2, ?) . ?1 2

参考答案 一、选择题 DCCAC ACADB BD

二、填空题 13. 0.5 14. 560 15. 64 16. ( ,1)
5页

1 3

三、解答题 17.解: (1) A ? B ? {x | 2 ? x ? 3} , (CR B ) ? A ? {x | x ? 3} (2) {a | a ? 3}

5 ?m?2 3 17 19.解:①为局部奇函数;② m ? [? , ?1] ;③ 1 ? 3 ? m ? 2 2 . 8
18.解: (1) 4 ? x ? 5 ; (2) 20.解: (1)

X 的可能取值为:0,1,2,3
3 C11 33 P( X ? 0) ? 3 ? C15 91 2 1 C11 C4 44 ? 3 C15 91 1 2 C11 C4 66 ? 3 C15 455

P( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

3 C4 4 P( X ? 3) ? 3 ? C15 455

∴ X 的分布列为:

∴ E( X ) ?

364 . 455
6页

21.证明: (1)令 x ? y ? 0 代入 f ( x) ? f ( y ) ? f (

x? y ) ,得到 f (0) ? 0 . 1 ? xy

令 y ? ? x ,得 f ( x) ? f ( ? x) ? f (0) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) . ∴ f ( x) 在 (?1,1) 上是奇函数. (2)设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( ? x2 ) ? f ( ∵ ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,∴ | x1 x2 |?| x1 || x2 |? 1 , ?1 ? x1 x2 ? 1 . 又 x1 ? x2 ? 0 ,∴

x1 ? x2 ) 1 ? x1 x2

x1 ? x2 x ?x (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 且 1 2 ?1 ? ? 0, 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2

∴ ?1 ?

x1 ? x2 x ?x ? 0 ,∴ f ( 1 2 ) ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2

所以 f ( x) 在 (?1,1) 上是单调递减函数.

1 1 ? (? ) 1 (n ? 3) ? (n ? 2) n?3 ] (3) f ( 2 ) ? f[ ]? f[ n?2 1 1 n ? 5n ? 5 (n ? 2)(n ? 3) ? 1 1? (? ) n?2 n?3 1 1 1 1 ? f( ) ? f (? )? f( )? f ( ) n?2 n?3 n?2 n?3 1 1 1 ∴ f ( ) ? f ( ) ??? f ( 2 ) 11 19 n ? 5n ? 5 1 1 1 1 1 1 ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f ( )? f ( )] 3 4 4 5 n?2 n?3 1 1 1 1 ? f ( )? f ( ) ? f ( ) ? f (? ) 3 n?3 3 n?3 1 1 1 1 1 ∵0 ? ? 1 ,∴ f (? ) ? 0 ,∴ f ( ) ? f (? )? f( ). n?3 n?3 3 n?3 3 1 1 1 1 故 f ( ) ? f ( ) ??? f ( 2 )? f( ). 11 19 n ? 5n ? 5 3
22.解: (1)由已知得: f ( x) ?
'

1 a ,且函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值 ? 2 (1 ? x) 1 ? x

∴ f (0) ?
'

1 a x ? ? 0 ,即 a ? 1 ,∴ f ( x) ? ? ln(1 ? x) 2 1? x (1 ? 0) 1 ? 0 1 1 ?x . ? ? 2 (1 ? x) 1 ? x (1 ? x) 2
'

∴ f ( x) ?
'

当 x ? (?1, 0) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;
7页

当 x ? (0, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, ∴函数 f ( x) 的最大值为 f (0) ? 0 . (2)①由已知得: g ' ( x) ?

1 ?b 1? x 1 ?b ? 0 1? x

(ⅰ)若 b ? 1 ,则 x ? [0, ??) 时, g ' ( x) ?

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 [0, ??) 上为减函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立; (ⅱ)若 b ? 0 ,则 x ? [0, ??) 时, g ' ( x) ?

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 [0, ??) 上为增函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立; (ⅲ)若 0 ? b ? 1 ,则 g ' ( x) ? 当 x ? [0,

1 1 ? b ? 0 时, x ? ? 1 , 1? x b

1 1 ? 1) 时, g ' ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 [0, ? 1) 上为增函数, b b

此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,∴不能使 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立; 综上所述, b 的取值范围是 x ? [1, ??) . ②由以上得: 取x?

x ? ln(1 ? x) ? x( x ? 0) 1? x

n 1 1 1 1 k 得: ? ln(1 ? ) ? ,令 xn ? ? 2 ? ln n , n 1? n n n k ?1 k ? 1

则 x1 ?

n 1 n 1 1 1 , xn ? xn ?1 ? 2 ? ln(1 ? )? 2 ? ?? 2 ?0. 2 n ?1 n ?1 n ?1 n (n ? 1)n
1 2
n ?1

因此 xn ? xn ?1 ? ? ? x1 ? 又 ln n ?
n

? [ln k ? ln(k ? 1)] ? ln1 ? ? ln(1 ? k )
k ?2 k ?1 n

1

故 xn ?
n ?1

n ?1 n ?1 k 1 k 1 n ? ln(1 ? ) ? [ 2 ? ln(1 ? )] ? 2 ? ? ? 2 k k n ?1 k ?1 k ? 1 k ?1 k ?1 k ? 1

? ?(
k ?1

n ?1 n ?1 k 1 1 1 1 ? ) ? ? ? ? ?1 ? ? ? 1 . ? ? 2 2 k ?1 k n k ?1 ( k ? 1) k k ?1 ( k ? 1) k

8页

9页


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