tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

二项式定理


一、(赋值法) 若 ( x ? 1)5 ? a0 ? a1( x ? 1) ? a2 ( x ? 1)2 ? ... ? a5 ( x ? 1)5 ,则 a 0 = A.32 答案 B.1 A ) C.-1 D.-32 ( )

若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+?+a6x6 且 a1+a2+?+a6=63,则实数 m 的值为( A. 1 答案 B.

-1 D C. -3 D. 1 或-3

16.设 (1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? ? ? (1 ? x) n ? a0 ? a1 x ? ? ? an?1 x n?1 ? an x n , an?1 ? 2009,

a0 ? a1 ? ? ? an?1 ? an ?
答案

(表示为 ?

?

? ? 的形式).

2 2009 ? 2
.

(2009 湖北卷文)已知(1+ax)3,=1+10x+bx3+…+a3x3,则 b= 答案 解析 40
r 1 因为 Tr ?1 ? C5 ? (ax )r ∴ C5 ? a1 ? 10

2 C3 ? a2 ? b .解得 a ? 2, b ? 40

(2007 江西文)设 ( x2 ? 1)(2x ? 1)9 ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ? ?? a11 ( x ? 2)11 , 则 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a11 的值为( A. ?2 答案 A
n

) C. 1 D. 2

B. ?1

2009 江西卷理) (1 ? ax ? by) 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243 ,不含 y 的项 的系数绝对值的和为 32 ,则 a, b, n 的值可能为 A. a ? 2, b ? ?1, n ? 5 C. a ? ?1, b ? 2, n ? 6 答案 解析 D B. a ? ?2, b ? ?1, n ? 6 D. a ? 1, b ? 2, n ? 5

(1 ? b)n ? 243 ? 35 , (1 ? a)n ? 32 ? 25 ,则可取 a ? 1, b ? 2, n ? 5 ,选 D

(2009 湖南卷理)在 (1 ? x)3 ? (1 ? x )2 ? (1 ? 3 x ) 的展开式中, x 的系数为___7__(用数 字作答) 答案 解析 7 由条件易知 (1 ? x)3 ,(1 ? x )3 ,(1 ? 3 x )3 展开式中 x 项的系数分别是 C3 ,C3 ,C3 ,
1 2 3

即所求系数是 3 ? 3 ? 1? ? 7

若对任意实数 x, y 都有 ?x ? 2 y?5 ? a0 ?x ? 2 y?5 ? a1 ?x ? 2 y?4 y ? a2 ?x ? 2 y?3 y 2 ? a3 ?x ? 2 y?2 y 3 ?

[来源:学科网]

? a4 ?x ? 2 y ?y 4 ? a5 y 5 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?
已知 (2 ?



x 5 0 ? a ? a x ? 2a 2 ? 3 ) 0 x? 1

0 是 ? ?5 a 5 其 中 a0 , a1, a2 , a5 0 常 数 , 计 算 x , 0

(a0 ? a2 ? a4 ? ?? a50 )2 ? (a1 ? a3 ? a5 ? ?? a49 )2

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

(2007 安徽文)已知 (1 ? x) 2 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 , 则( a0 ? a2 ? a4 )(a1 ? a3 ? a5 ) 的值等于 答案 -256 19.设 x10-3=Q(x)(x-1) 2+ax+b,其中 Q(x)为关于 x 的多项式,a,b∈R. (1)求 a,b 的值; (2)若 ax+b=28,求 x10-3 除以 81 所得的余数。
9 10 (1) ax ? b ? C10 ( x ? 1) ? C10 ? 3 ? 10x ? 12 ,a=10,b=-12; (2)x=4

.

余数为 28.

(浙江卷)若多项式 x 2 ? x10 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? a9 ( x ? 1) 2 ? a10 ( x ? 1)10 , 则a9 ? (A)9 (B)10 (C)-9 (D)-10 ) 若对于任意实数 x ,有 x3 ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ? a3 ( x ? 2)3 ,则 a2 的值为( A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

若 (1 ? 2x) 2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? a2004 x 2004 ( x ? R) ,则

(a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ... ? (a0 ? a2004 ) ?

。 (用数字作答)

3、 (四川省成都市新都一中高 2008 级 12 月月考)如果 x+x2+x3+……+x9+x10=a0+a1(1+ x)+a2(1+x)2+……+a9(1+x)9+a10(1+x)10,则 a9=_______ 本题主要考查二项式定理,以及代数式变形,灵活处理问题的能力. 解析 令 1+x=y,则 x=y-1 原式变为(y-1)+(y-1)2+……+(y-1)9+(y-1)10=a0+a1y+a2y2+……+a9y9+ a10y10, 可知 a9=1+C109(-1)=-9 答案 -9 二、二项式定理的本质理解 (2007 江苏)若对于任意实数 x ,有 x ? a0 ? a1 (x ? 2) ? a 2 (x ? 2) ? a 3(x ? 2) ,则 a2 的
3 2 3

值为( ) A. 3 B. 6
?

C. 9

D. 12

1 2 3 n 设 n ? N ,则 Cn ? Cn 6 ? Cn 6 2 ? ? ? Cn 6 n?1 ?

(| x | ?

1 ? 2) 6 展开式中系数最大的项的系数为_________. |x|
1 8 ) 2b 2 展开式的所有项系数总和是 ( 1 8 B. 2

(a 3 ?
1.



A.2

8

C.0

D.1 )

在(x2+3x+2)5的展开式中,x的系数为 ( A.160 B.240 C.360 D.800

在(1+2x-x2)4的展开式中,x7的系数是 ( A.-8 B.12
2



C.6

D.以上都不对 )

14. (1 ? x ? x

? x 3 ) 4 的展开式中奇次项系数和是 (
C.128 D.25 6

A.64

B.120

1 2 10 20.(1+x+ x ) 的展开式里的常数项为 (
A.4351
1



[来源:Zxxk.Com]

B .4352
1

C.4353

D.435

3 n 2 36.设 (5x ? x ) 的展开式的各项系数之和为M,而二项式系数之和为N,且M-N=992.则展

开式中x2项的系数为( A.250 B.-250

) C.150 D.-150 )

37.n∈N*,(x+1)(2x+1)(3x+1)……(nx+1)的展开式中含有x项的系数是(

A. C n


n?1

B. C n

n?2

C. C n?1

1

D. C n?1

2

(2006 江西)在(x- 2 ) S 等于( ) 3008 A.2 答案 B 解:设(x- 2 ) B.-2

2006

的二项展开式中,含 x 的奇次幂的项之和为 S,当 x= 2 C.2
3009

3008

D.-2

3009

2006

=a0x

2006

+a1x
2006

2005

+?+a2005x+a2006
2005

则当 x= 2 时,有 a0( 2 ) 当 x=- 2 时,有 a0( 2 ) (1)-(2)有 a1( 2 )
2005

+a1( 2 ) -a1( 2 )

+?+a2005( 2 )+a2006=0 (1) +?-a2005( 2 )+a2006=2
3009 3009

2006

2005

(2)

+?+a2005( 2 )=-2

?2=-2

3008,

故选 B

(a+b+c)10 展开式中的项数为. (1-3a+2b)5展开式中不含b的项系数之和是
.

.

?1 ? x??1 ? x?2 ?1 ? x?3 ??1 ? x?44 的展开式中x的系数是______.
1995

求 (a ? b ? c ? d )
:

展开式中 a
n

200

b 800 c 900 d 95 项的系数

已知 (1 ? x ? x 2 ) ? x ? 答案 5

? ?

1? 的展开式中没有常数项, n ? N* ,且 2≤n≤8,则 n=______. .. 3 ? x ?

33. (2007 全国Ⅱ理) (1 ? 2 x 2 ) ? x ? 1 ? 的展开式中常数项为 ? ? x? ? 答案 -42

8

. (用数字作答)

1 34. (2007 全国Ⅱ文) (1 ? 2 x ) ?1 ? ? 的展开式中常数项为 ? ? ? x?
2

8

. (用数字作答)

答案

57
n ?1

2、(广东省汕头市潮阳一中 2008 年高三模拟)令 an为(1 ? x) n?1 的展开式中含 x 则数列 {

项的系数, ( )

1 } 的前 n 项和为 an n( n ? 3) n( n ? 1) A. B. 2 2
答案 D
3

C.

n n ?1

D.

2n n ?1

3、由 ( 3x ? 2 )100 展开所得 x 多项式中,系数为有理项的共有 A、50 项 B、17 项
lg x

C、16 项

D、15 项

21、 (本题满分 12 分).已知 ( 2x ? x
x 的值

)8 的展开式中,二项式系数最大的项等于 1120,求

16、若 ( 1 ? 2 )4 ? a ? b 2 ( a , b 为有理数,则 a ? b 等于__.

11、 (

x?

1 10 ) 的展开式中,含 x 的正整数指数幂的项数有( 3x
B.2 项 C.4 项 D.6 项



A.0 项

18. (本小题满分 12 分) 在二项式(axm+bxn)12(a>0,b>0,m、n≠0)中有 2m+n=0,如果它的展开式里最大系 数项恰是常数项. (1)求它是第几项;

(2)求

a 的范围. b
- - (12-r)+nr

r r (1)设 T r ?1 =C 12 (axm)12 r· n)r=C 12 a12 rbrxm (bx

为常数项,

则有 m(12-r)+nr=0,即 m(12-r)-2mr=0,∴ r=4,它是第 5 项. ┅ ┅ ┅ 5 分 ┅ ┅ ┅ (2)∵ 5 项又是系数最大的项, 第
3 ∴ C 12 a8b4≥C 12 a9b3 有 4



4 5 C 12 a8b4≥C 12 a7b5



12 ? 11 ? 10 ? 9 8 4 12 ? 11 ? 10 9 3 a 9 9 ab≥ a b ,∵ a>0,b>0,∴ b≥a,即 ≤ . 4 b 4 4 ? 3? 2 3? 2 a 8 8 a 9 由② 得 ≥ ,∴ ≤ ≤ .┅ ┅ 12 分 5 b 4 b 5
由① 得 10、已知 xy<0,且 x+y=1,而(x+y) 按 x 的降幂排列的展开式中,T2≤T3,则 x 的取值范围 是 A、 (??,
9

1 ) 5

4 B、 [ , ??) 5

C、 (1 , ??)

4 D、 (?? , ? ] 5

21、 已知 f ( x) ? (1 ? x)m ? (1 ? x)n (m,n ?N? ) 的展开式中 x 的系数为 19, f ( x) 的 求 展开式中 x2 的系数的最小值.
11 2n 2 22、( 本 题 满 分 12 分 ) 若 某 一 等 差 数 列 an 的 首 项 为 C5n? 2n ? C11??3n , 公 差 为

? ?

(

5 23 2 m ? x ) 的常数项,其中 m 是 77 77 ? 15 除以 19 的余数,则此数列的前多少项的 2x 5
1 2

和最大?并求出这个最大值. 18.在二项式 ( ? 2 x) n 的展开式中, (1)若第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的 项; (2)若前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.

4 6 5 18. (1) Cn ? Cn ? 2Cn

∴n=7 或 n=14,

当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5,
3 且 T4 ? C7 ( ) 4 (2x) 3 ?

1 2

35 3 4 1 x , T5 ? C7 ( ) 3 (2x) 4 ? 70x 4 ; 2 2

当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8,,
7 且 T8 ? C14 ( ) 7 (2x) 7 ? 3432x 7 ;
0 1 2 (2) Cn ? Cn ? Cn ? 79

1 2

∴n=12

设 Tk+1 项系数最大, ( ? 2 x)12 ? ( )12 (1 ? 4 x)12 ∴?
k k ?C12 4 k ? C12?1 4 k ?1 k k k ?1 k ?1 ?C12 4 ? C12 4

1 2

1 2

∴9.4<k<10.4

∴k=10

12、从集合 ?1,2,3,??? ,11? 中任意取两个元素作为椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 中的 m 和 n,则 m 2 n2


能组成落在矩形区域 B ? ( x , y ) x ? 11, y ? 9 内的椭圆的个数是( A.43 B.72 C.86 D.90
8

?

?

(2008 广东理)已知 (1 ? kx 2 ) 6 (k 是正整数)的展开式中, x 的系数小于 120,则 k=_____. 12、设集合 I ? ?1,2,3,4,5? 。选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最 大的数,则不同的选择方法共有 A. 50种 B. 49种 C. 48种 D. 47种

16.将正整数 n 表示成 k 个正整数的和(不计较各数的次序) ,称为将正整数 n 分成 k 个部 分的一个划分,一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同,则称为不同的划分, 将正整数 n 划分成 k 个部分的不同划分的个数记为 P(n,k) ,则 P(10,3)=_________. 一、随机事件的概率。 例题 1、设有关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 . 1 3 , 1 , (Ⅰ)若 a 是从 0,2,四个数中任取的一个数, b 是从 0,2 三个数中任取的一个数,求上 述方程有实根的概率. 3] 2] (Ⅱ)若 a 是从区间 [0, 任取的一个数, b 是从区间 [0, 任取的一个数,求上述方程有实 根的概率.
2 2

解:设事件 A 为“方程 a ? 2ax ? b ? 0 有实根” .
2 2

当 a ? 0 , b ? 0 时,方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的充要条件为 a ≥ b . (Ⅰ)基本事件共 12 个: (0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, .其中第一个数表示 a 的 0) (0 1) (0 2) (1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (31) (3 2)
2 2

取值,第二个数表示 b 的取值.事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为

P( A) ?

9 3 ? . 12 4
D

( Ⅱ ) 试 验 的 全 部 结 束 所 构 成 的 区 域 为

0 ?(a,b) | 0 ≤ a ≤ 3,≤ b ≤ 2? . 0 构成事件 A 的区域为 ?(a,b) | 0 ≤ a ≤ 3,≤ b ≤ 2,a ≥ b? .

C

1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 所以所求的概率为 ? ? . 3? 2 3
A

M

B


推荐相关:

二项式定理十大典型例题配套练习

二项式定理十大典型例题配套练习_数学_高中教育_教育专区。中国领先的个性化教育品牌 精锐教育学科教师辅导讲义学员编号: 学员姓名: 年级:高二 辅导科目:数学 课时数:...


二项式定理解题技巧

二项式定理解题技巧_理学_高等教育_教育专区。二项式定理 1.二项式定理: 0 1 r n (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n ?1b ? ? ? Cn a n ?r b r...


二项式定理高考试题及其答案总

二项式定理复习一,学习目标: 学习目标: 1,能用计数原理证明. ,能用计数原理证明. 2,会用二项式定理解决系数和,常数项,最大值等与二项展开式有关的简单问题. ...


二项式定理知识归纳与总结

二项式定理重点、难点解析: 重点、难点解析: 1.熟练掌握二项式定理和通项公式,掌握杨辉三角的结构规律: 二项式定理: 0 1 2 r n (a + b) n = C n a n...


二项式定理__习题精选

(两次利用二项式定理): 设展开式中第 r+1 项为含有 x 的项, 又∴ 要使 x 的幂指数为 1,必须且只需 r=1 即而 展开式中的常数项为 ,故得 原展开式...


二项式定理练习题

二项式定理练习题_IT认证_资格考试/认证_教育专区。10.3 二项式定理【考纲要求】 1、能用计数原理证明二项式定理. 2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单...


关于二项式定理的高考题1

关于二项式定理的高考题1_数学_高中教育_教育专区。类型一:利用通项公式求展开式中某项的系数的问题 2 1、 (2006 年北京理 10)在 ( x ? ) 的展开式中, ...


二项式定理及典型试题

二项式定理及典型试题知识点一:二项式定理二项式定理: ①公式右边的多项式叫做 ②展开式中各项的系数 的二项展开式; 叫做二项式系数; 表示;二项展开式的通项公式为...


二项式定理典型例题

? 4 ? 7? x x 8x 32x10 说明:记准、记熟二项式 (a ? b)n 的展开式,是解答好与二项式定理有关问题的前提条 件.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会...


题目3fc8f980d4d8d15abe234ecf

二项式的展开式中,仅有第5项的二项式系数最大,则其常数项是 ._答案解析_2016年数学_一模/二模/三模/联考_图文_百度高考

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com