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2015全国高中数学联赛复习资料02


2014 年全国高中数学联合竞赛试题(B 卷) (一试)
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1:若函数 f ( x) 的图像是由依次连接 (0,0), (1,1) 和 (2,3) 的折线,则 f
?1

(2) ?
(用反

2:在如下图所示的正方体 ABCD ? A' B

' C ' D' 中,二面角 A'? BD ? C ' 等于 三角函数表示)

3:对于实数集 R 的任意子集 U ,我们在 R 上定义函数 fU ( x) ? ? 集 R 的两个子集,则 f A ( x) ? f B ( x) ? 1 的充分必要条件是

?1, x ?U ,如果 A, B 是实数 ?0, x ?U

4:如果三角形 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的余切 cot A, cot B, cot C 依次成等差数列,则角

B 的最大值是
5:实数列 ?an ? 满足条件:a1 ? 项公式 an ?

2 n ? 1, a2 ? 2 ? 1, an?1 ? an?1 ? ? 2(n ? 2) ,则通 2 an ? an?1

(n ? 1)

x2 y2 ? ? (a ? b ? 0) 的两个焦点, P 为椭圆上任意一点,如果 ?PF1 F2 的 a 2 b2 1 面积为 1, tan ?PF1 F2 ? , tan ?PF2 F1 ? ?2, 则 a ? 2
6: F1 , F2 是椭圆 7:将一副扑克牌中的大小王去掉,在剩下的 52 张牌中随机地抽取 5 张,其中至少有两张牌 上的数字(或者字母 K , Q, J , A )相同的概率是

8:设 g ( x) ?

x(1? x) 是定义在区间 ?0,1? 上的函数,则函数 y ? xg( x) 的图像与 x 轴所围

成图形的面积是

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9: (本小题满分 16 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 组成的数列满足:

Sn ? Sn?1 ? Sn?2 ? 6n2 ? 9n ? 7(n ? 1) ,已知 a1 ? 1, a2 ? 5, 求数列 ?an ? 的通项公式。

10: (本小题满分 20 分)设 x1, x2, x3, 是多项式方程 x ? 10x ? 11 ? 0 的三个根
3

(1)已知 x1 , x2 , x3 都落在区间 (?5,5) 之中,求这三个根的整数部分; (2)证明: arctan x1 ? arctan x2 ? arctan x3 ?

?
4

x2 ? y 2 ? 1, A(?2,0), B(0,?1) 是椭圆 ? 上的两点, 11: (本小题满分 20 分) 如下图, 椭圆 ? : 4 直线 l1 : x ? ?2, l2 : y ? ?1.P( x0 , y0 )(x0 ? 0, y0 ? 0) 是 ? 上的一个动点,l3 是过点 P 且与 ? 相切的直线, C, D, E 分别是直线 l1 与 l 2 , l 2 与 l3 , l1 与 l3 的交点 求证:三条直线 AD, BE 和 CP 共点。

(二试)
1: (本题满分 40 分)如图, H 是三个半径同为 r 的圆的共同交点, A, B, C 三点则是另外 三个交点。 (1)证明: H 是三角形 ABC 的垂心; (2)证明:三角形 ABC 的外接圆的半径等于 r

2: (本题满分 40 分) 在同一直角坐标系中, 函数 f ( x) ? ax ? 4 (a ? 0) 与其反函数 f 的图像恰有三个不同的交点,求实数 a 的取值范围,并证明你的结论。

?1

( x)

3: (本题满分 50 分)给定正整数 k ? 2, a, b 是非零整数,而且 a ? b 是一个奇数。假定方程

a k x ? bk y ? a ? b 有整数解 x, y ,其中 0 ?| x ? y |? 2 。证明:| a ? b | 是某个整数的 k 次幂。

4: (本题满分 50 分)设 ?ABC 是一个边长为 2 3 的等边三角形,在三角形 ?ABC 的内部 和边界上任取 11 个点 (1)证明:一定存在两个点,他们之间的距离小于或等于 1; (2)证明:一定存在两个点,他们之间的距离严格小于 1


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