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2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十二 三视图及空间几何体的计算问题


专题十二 三视图及空间几何体的计算问题

1.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( A.球 C.正方体 答案:D B.三棱锥 D.圆柱

).

[球的三视图都是圆;三棱锥的三视图可以都是全等的三角形;正方体的三

视图都是正方形;圆柱的底面放置在水平面上,则其俯视图是圆

,正视图是矩形,故应选 D.] 2.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( ).

A.28+6 5 C.56+12 5

B.30+6 5 D.60+12 5

答案:B [该三棱锥的直观图,如图所示,

[来源 :学+科+网 Z+X+X+K]

其中侧面 PAC⊥底面 ABC,PD⊥AC,AC⊥BC,可得 BC⊥平面 PAC,从而 BC⊥PC. 1 1 1 故 S△PAC= ×5×4=10;S△ABC= ×5×4=10;PC=5,所以 S△PBC= ×4×5=10;由于 PB 2 2 2 = PD2+BD2= 16+25= 41,而 AB= 52+42= 41,故△BAP 为等腰三角形,取底边 1 AP 的中点 E,连接 BE,则 BE⊥PA,又 AE= PA= 5,所以 BE= 41-5=6,所以 S△PAB 2 1 = ×2 5×6=6 5.所以所求三棱锥的表面积为 10+10+10+6 5=30+6 5.] 2 3.已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( A. C. 2 6 2 3 B. D. 3 6 2 2 ).

答案:A

[在直角三角形 ASC 中,AC=1,∠SAC=90° ,SC=2,∴SA= 4-1= 3;

同理 SB= 3.过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点,连接 DB,因△SAC≌△SBC,故 BD⊥SC, 1 3 故 SC⊥平面 ABD, 且平面 ABD 为等腰三角形, 因∠ASC=30° , 故 AD= SA= , 则△ABD 2 2 1 的面积为 ×1× 2 1?2 2 1 2 2 AD2-? ?2? = 4 ,则三棱锥的体积为3× 4 ×2= 6 .]

4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.

解析 利用三视图得几何体,再求表面积.由三视图可知,该几何体是一个长方体中间 挖去一个圆柱,其中长方体的长、宽、高分别是 4、3、1,中间被挖去的是底面半径为 1, 母线长为 1 的圆柱, 所以几何体的表面积等于长方体的表面积减去圆柱两个底面的面积, 再 加上圆柱的侧面积,即为 2(4×3+4×1+3×1)-2π+2π=38. 答案 38

在空间几何体部分, 主要是以空间几何体的三视图为主展开, 考查空间几何体三视图的 识别判断, 考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题. 试题的题型主 要是选择题或者填空题,在难度上也进行了一定的控制,尽管各地有所不同,但基本上都是 中等难度或者较易的试题.

该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征,通过对各种空间几何体结构特征的了 解,认识各种空间几何体的三视图和直观图,通过三视图和直观图判断空间几何体的结构, 在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法.

必备知识 ?正棱锥的性质 侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形,斜高相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射 影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某 侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个 直角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高 在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形. ?三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察

几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧 一样宽,正侧一样高. (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视 图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样. ?几何体的切接问题 (1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长. (2)柱、锥的内切球找准切点位置,化归为平面几何问题.

必备方法 1.几何体中计算问题的方法与技巧:①在正棱锥中,正棱锥的高、侧面等腰三角形的 斜高与侧棱构成两个直角三角形, 有关计算往往与两者相关; ②正四棱台中要掌握对角面与 侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算,另外,要能将正三棱台、正四棱台的 高与其斜高,侧棱在合适的平面图形中联系起来;③研究圆柱、圆锥、圆台等问题,主要方 法是研究其轴截面,各元素之间的关系,数量都可以在轴截面中得到;④多面体及旋转体的 侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段. 2.求体积常见技巧 当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无法运用,或者虽然几何体并不复杂,但条 件中的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、“补”的技巧,化复杂几何体为简单几何 体(柱、锥、台),或化离散为集中,给解题提供便利. (1)几何体的“分割”:几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求,分割成若干 个易求体积的几何体,进而求之. (2)几何体的“补形”:与分割一样,有时为了计算方便,可将几何体补成易求体积的 几何体,如长方体、正方体等.另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法. (3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算,应以公式为基础,充分利用几何体中的 直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.

三视图的识图与计算 常考查:①三视图的识别与还原问题;②以三视图为载体考查空间几何体的表面积、体 积等问题.主要考查学生的空间想象能力及运算能力,是近几年高考的热点. 【例 1】? 已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个 几何体的体积是( ).

4 000 A. cm3 3 8 000 B. cm3 3 C.2 000 cm3 D.4 000 cm3 [审题视点]

[听课记录] [审题视点] 画出直观图后求解. B [此几何体的图为 SABCD, 且平面 SCD⊥平面 ABCD, ABCD 为正方形, 边长为 20 cm,

1 8 000 S 在底面的射影为 CD 的中点 E,SE=20 cm,VSABCD= S?ABCD· SE= cm3.故选 B.] 3 3

解答此类题目时: (1)可以从熟知的某一视图出发,想象出直观图,再验证其他视图是否正确; (2)视 图中标注的长度在直观图中代表什么,要分辨清楚; (3)视图之间的数量关系:正俯长对正,正侧高平齐,侧俯宽相等. 【突破训练 1】

如图是一个几何体的三视图.若它的体积是 3 3,则 a=________.

解析 由三视图可知几何体为一个直三棱柱,底面三角形中边长为 2 的边上的高 为 a, 1 ? ∴V=3×? ?2×2×a?=3 3?a? 3. 答案 3

几何体的表面积与体积 此类问题常以三视图、空间几何体、组合体为载体,来求解几何体的表面积或体积,试 题以客观题为主,多为容易题. 【例 2】? 如图所示,

[来源:学科网]

四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径,∠ ABD=60° ,∠BDC=45° ,△ADP∽△BAD. (1)求线段 PD 的长; (2)若 PC= 11R,求三棱锥 P ABC 的体积. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] (1)利用 BD 是圆的直径可知∠BAD=90° ,再利用△ADP∽△BAD 求解. 1 (2)先通过计算证明 PD2+CD2=PC2, 则可知 PD⊥面 ABCD, 再由 S△ABC= AB· BCsin ∠ 2 ABC.可求解. 解 (1)∵BD 是圆的直径,∴∠BAD=90° ,

AD DP 又∵△ADP∽△BAD,∴ = , BA AD 3 4R2× 4 AD ?BDsin 60° ? DP= = = =3R. BA BDsin 30° 1 2R× 2
2 2

∴DP 的长为 3R. (2)在 Rt△BCD 中,CD=BDcos 45° = 2R, ∵PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2, ∴PD⊥CD,又∠PDA=90° ,AD∩CD=D, ∴PD⊥底面 ABCD,

1 则 S△ABC= AB· BCsin(60° +45° ) 2 3+1 2 1 3 2 1 2 = R· 2R × + × = R, 2 2 2 2 2 4 所以三棱锥 PABC 的体积为 3+1 3 1 1 3+1 2 VPABC= · S · PD= · R· 3R= R. 3 △ABC 3 4 4 求几何体的体积问题, 可以多角度、 全方位地考虑问题, 常采用的 方法有“换 底法”、“分割法”、“补体法”等,尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视. 【突破训练 2】如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧(左)视图、俯视图.已 知 CF=2AD,侧(左)视图是边长为 2 的等边三角形;俯视图是直角梯形,有关数据如图所 示.求该几何体的体积.



如图,取 CF 的中点 P,过 P 作 PQ∥CB 交 BE 于 Q,连接 PD,QD,AD∥CP,且 AD =CP. 四边形 ACPD 为平行四边形,∴AC∥PD. ∴平面 PDQ∥平面 ABC,该几何体可分割成三棱柱 PDQCAB 和四棱锥 DPQEF, 1 1 ?1+2?×2 ∴V=V 三棱柱 PDQCAB+VDPQEF= ×22sin 60° ×2+ × × 3=3 3. 2 3 2
[来源:学科网 ZXXK]

切接问题 该类问题命题背景宽,常以棱柱、棱锥、圆柱、圆锥与球的内切、外接形式考查,多以 选择、填空题的形式出现,试题较容易. 【例 3】? 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则 该球的表面积为( 7 A.πa2 B. πa2 3 [审题视点] ). 11 C. πa2 3 D.5πa2

[听课记录] [审题视点] 确定球心的位置,寻找直角三角形,通过直角三角形求球的半径. B 2 3 3 [设三棱柱上底面所在圆的半径为 r,球的半径为 R,由已知 r= · a= a. 3 2 3

1 1 1 7 又∵R2=r2+ a2= a2+ a2= a2, 2 3 4 12 7 7 ∴S 球=4πR2=4π· a2= πa2,故选 B.] 12 3 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点或线 作截面,把空间问题化归为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系. 【突破训练 3】 设 OA 是球 O 的半径,M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45° 角的平面 7π 截球 O 的表面得到圆 C,若圆 C 的面积等于 ,则球 O 的表面积等于________. 4 【突破训练 3】 解析

R 如图,设 O′为截面圆的圆心,设球的半径为 R,则 OM= ,又∠O′MO=45° ,∴ 2 OO′= =8π. 答案 8π 2 R2 7 R.在 Rt△O′OB 中,OB2=O′O2+O′B2,∴R2= + ,∴R2=2,∴S 球=4πR2 4 8 4

等价与转化在求几何体体积中的应用 1.求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,若几何体的底不规则,也需采用 同样的方法,将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形, 易于求解.

2.求几何体的体积问题,有时使用转换底面的方法使其高易求. 【示例】?

如图,在三棱锥 P ABC 中,△PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90° . (1)证明:AB⊥PC; (2)若 PC=4,且平面 PAC ⊥平面 PBC,求三棱锥 P ABC 的体积. [满分解答] (1)因为△PAB 是等边三角形, 所以 PB=PA. 因为∠PAC=∠PBC=90° ,
[来源:学 ,科 ,网 Z,X,X,K]

PC=PC, 所以 Rt△PBC≌Rt△PAC, 所以 AC=BC. 如图,取 AB 中点 D,连接 PD、CD, 则 PD⊥AB,CD⊥AB,又 PD∩CD=D, 所以 AB⊥平面 PDC,PC?平面 PDC, 所以 AB⊥PC.(6 分) (2)作 BE⊥PC,垂足为 E,连接 AE. 因为 Rt△PBC≌Rt△PAC,所以 AE⊥PC,AE=BE. 由已知,平面 PAC⊥平面 PBC, 故∠AEB=90° .(8 分) 因为∠AEB=90° ,∠PEB=90° ,AE=BE,AB=PB, 所以 Rt△AEB≌Rt△BEP, 所以△AEB、△PEB、△CEB 都是等腰直角三角形.

由已知 PC=4,得 AE=BE=2,△AEB 的面积 S=2. 因为 PC⊥平面 AEB. 所以三棱锥 P ABC 的体积

1 8 V= · S· PC= .(12 分) 3 3 老师叮咛:本题难度中档,第?1?问要证线线垂直,则需转化为证线面垂直;第?2?问求 三棱锥 P ABC 的体积,可转化为求以△ABE 为底,PC 为高的两个三 棱锥的体积. 【试一试】

[来源:Zxxk.Com]

1 如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD. 2 (1)证明:PQ⊥平面 DCQ; (2)求棱锥 Q ABCD 的体积与棱锥 P DCQ 的体积的比值. (1)证明 由条件知四边形 PDAQ 为直角梯形. 因为 QA⊥平面 ABCD, 所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD, 所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC. 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= 2 PD,则 PQ⊥QD. 2

又 DQ∩DC=D,所以 PQ⊥平面 DCQ. (2)解 设 AB=a. 由题设知 AQ 为棱锥 QABCD 的高, 1 所以棱锥 QABCD 的体积 V1= a3. 3 由(1)知 PQ 为棱锥 PDCQ 的高, 而 PQ= 2a,△DCQ 的面积为 1 所以棱锥 PDCQ 的体积 V2= a3. 3 故棱锥 QABCD 的体积与棱锥 PDCQ 的体积的比值为 1. 2 2 a, 2


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