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2017版高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.1 几何证明选讲 课时1 相似三角形的进一步认识 理


课时 1

相似三角形的进一步认识

1.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上 截得的线段也相等. 推论 1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰. 推论 2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边. 2.平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相

交,它们被这组平行线截得的对应线段成比例. 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 3.相似三角形的判定及性质 (1)判定定理: 内容 判定定理 1 判定定理 2 判定定理 3 两角对应相等的两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似

(2)性质定理:相似三角形的对应线段的比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 4.直角三角形的射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积,斜边上的高的平 方等于两条直角边在斜边上射影的乘积.

1.如图,在四边形 ABCD 中,△ABC≌△BAD.求证:AB∥CD. 证明 由△ABC≌△BAD 得∠ACB=∠BDA, 故 A,B,C,D 四点共圆,从而∠CAB=∠CDB. 由△ABC≌△BAD 得∠CAB=∠DBA, 因此∠DBA=∠CDB,所以 AB∥CD. 2.如图,BD⊥AE,∠C=90°,AB=4,BC=2,AD=3,求 EC 的长度.

1

解 在 Rt△ADB 中,DB= AB -AD = 7, 依题意得,△ADB∽△ACE, ∴ = ,可得 EC=

2

2

DB AD EC AC

DB·AC =2 7. AD

3.如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点,AE 交 BC 于点 F, 求 的值. 解 如图,过点 D 作 DG∥AF,交 BC 于点 G,易得 FG=GC,又在△BDG 中,

BF FC

BF 1 BE=DE,即 EF 为△BDG 的中位线,故 BF=FG,因此 = . FC 2

题型一 平行截割定理的应用 例 1 如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 交于点 O,过点 O 作 AB 的平行线,与

AD,BC 分别交于点 E,F,与 CD 的延长线交于点 K.求证:KO2=KE·KF.
证明 延长 CK,BA,设它们交于点 H, 因为 KO∥HB, 所以 = 因此 =

KO DK KE DK , = . HB DH HA DH KO KE KO HB ,即 = . HB HA KE HA

因为 KF∥HB, 同理可得 =
2

KF HB KO KF .故 = , KO HA KE KO

即 KO =KE·KF. 思维升华 当条件中给出平行线时,应优先考虑平行线分线段成比例定理,在有关比例的计 算与证明题中,常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题.作平行线常用的方法有利 用中点作中位线,利用比例线段作平行线等.

2

(1)如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,BD 与 AC 相交于点 O, 过点 O 的直线分别交 AB,CD 于 E,F,且 EF∥BC,若 AD=12,BC=20, 求 EF 的长度. (2)如图所示,在△ABC 中,DE∥BC,EF∥CD,若 BC=3,DE=2,DF= 1,求 AB 的长. 解 (1)∵AD∥BC, ∴ = =

OB BC 20 5 = , OD AD 12 3

OB 5 ∴ = . BD 8
∵OE∥AD,∴ =

OE OB 5 = . AD BD 8

5 5 15 ∴OE= AD= ×12= , 8 8 2 3 3 15 同理可求得 OF= BC= ×20= , 8 8 2 ∴EF=OE+OF=15. (2)∵DE∥BC, ∴ = =

AD AE DE 2 EC 1 = , = . AB AC BC 3 AC 3

DF EC 1 又∵EF∥CD,∴ = = . AD AC 3
3 9 ∴AD=3.∴AB= AD= . 2 2 题型二 相似三角形的判定与性质 例 2 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,E 为 AC 的中点,

ED、CB 延长线交于一点 F.
求证:FD =FB·FC. 证明 ∵E 是 Rt△ACD 斜边上的中点, ∴ED=EA,∴∠A=∠1,∵∠1=∠2,∴∠2=∠A, ∵∠FDC=∠CDB+∠2=90°+∠2,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A,∴∠FBD=∠FDC, ∵∠F 是公共角,∴△FBD∽△FDC, ∴ = ,∴FD =FB·FC. 思维升华 (1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点, 灵活选择判定定理. 在一个 题目中, 相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到. (2)相似三角形的性质可用来证明
2

FB FD FD FC

2

3

线段成比例、角相等,也可间接证明线段相等. (1)如图,AB 与 CD 相交于点 E,过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已知∠A=∠C,PD=2DA=2,求 PE 的长.

(2)如图,四边形 ABCD 中,DF⊥AB,垂足为 F,DF=3,AF=2FB=2,延长

FB 到 E,使 BE=FB,连结 BD,EC.若 BD∥EC,求四边形 ABCD 的面积.
解 (1)∵BC∥PE, ∴∠PED=∠C=∠A, ∴△PDE∽△PEA, ∴ = ,则 PE =PA·PD, 又∵PD=2DA=2,∴PA=PD+DA=3. ∴PE= PA·PD= 6. (2)如图,过点 E 作 EN⊥DB 交 DB 的延长线于点 N,在 Rt△DFB 中,DF=3,

PE PD PA PE

2

FB=1,则 BD= 10,
由 Rt△DFB∽Rt△ENB, 知 = , 3 10 1 所以 EN= , 又 BD∥EC, 所以 EN 为△BCD 底边 BD 上的高, 故 S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BCD= AB·DF 10 2 1 1 1 3 10 + BD·EN= ×3×3+ × 10× =6. 2 2 2 10 题型三 射影定理的应用 例 3 如图,在△ABC 中,D、F 分别在 AC、BC 上,且 AB⊥AC,AF⊥BC,

EN BE DF BD

BD=DC=FC=1,求 AC 的长.
解 在△ABC 中,设 AC 为 x, ∵AB⊥AC,AF⊥BC. 又 FC=1,根据射影定理, 得 AC =FC·BC, 即 BC=x . 再由射影定理,得 AF =BF·FC=(BC-FC)·FC, 即 AF =x -1,∴AF= x -1. 在△BDC 中,过 D 作 DE⊥BC 于 E.
4
2 2 2 2 2 2

1 2 ∵BD=DC=1,∴BE=EC= x . 2 又∵AF⊥BC,∴DE∥AF,∴ ∴DE=

DE DC = , AF AC

DC·AF x2-1 = . AC x
2 2 2

在 Rt△DEC 中,∵DE +EC =DC , 即(

x2-1 2 1 2 2 2 x2-1 x4 ) +( x ) =1 ,∴ 2 + =1. x 2 x 4

3 3 6 整理得 x =4,∴x= 2,即 AC= 2. 思维升华 (1)在使用直角三角形射影定理时,要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的

“比例式”.(2)证题时,作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法. (1)如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D, 且 AD∶BD=9∶4,求 AC∶BC. (2)已知圆的直径 AB=13,C 为圆上一点,过 C 作 CD⊥AB 于 D(AD>BD), 若 CD=6,求 AD 的长. 解 (1)∵AC =AD·AB,BC =BD·AB, ∴AC ∶BC =AD∶BD=9∶4, ∴AC∶BC=3∶2. (2)如图,连结 AC,CB,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°. 设 AD=x,∵CD⊥AB 于 D, ∴由射影定理得 CD =AD·DB, 即 6 =x(13-x), ∴x -13x+36=0,解得 x1=4,x2=9. ∵AD>BD,∴AD=9.
2 2 2 2 2 2 2

1.判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等; (2)若只能找到一对对应角相等,则判断相等的角的两夹边是否对应成比例; (3)若找不到角相等, 就判断三边是否对应成比例, 否则考虑平行线分线段成比例定理及相似 三角形的“传递性”. 2.直角三角形中常用的四个结论 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB(如图):

5

(1)∠A=∠BCD,∠B=∠ACD. (2)△ABC∽△ACD∽△CBD. (3)a =pc,b =qc,h =pq,ab=ch(其中 c=p+q). (4)在 a、b、p、q、h 五个量中,知道两个量的值,就能求出其他三个量的值.
2 2 2

A 组 专项基础训练 (时间:50 分钟) 1.如图,△OAB 是等腰三角形,P 是底边 AB 延长线上一点,且 PO=3,PA·PB=4,求腰长

OA 的长度.

解 如图,作 OD⊥AP,垂足为 D, 则 PO -PD =OB -BD , 所以 PO -OB =PD -BD , 因为 AD=BD,所以 PD -BD =PD -AD =(PD+AD)(PD-AD)=PA·PB=4, 所以 PO -OB =4, 所以 OB =9-4=5, 所以 OB= 5,所以 OA= 5. 2.如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且 AB=6,AC=4,AD=12, 求 AE 的长. 解 由于∠ACD=∠AEB=90°, ∠B=∠D,∴△ABE∽△ADC, ∴ = .又 AC=4,AD=12,AB=6, ∴AE=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

AB AE AD AC

AB·AC 6×4 = =2. AD 12

3.如图,Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边 BC 上的高,若 AB∶AC=2∶1,求

AD∶BC.

6

解 设 AC=k,则 AB=2k,BC= 5k, ∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴AC =CD·BC, ∴k =CD· 5k,∴CD= 4 5 又 BD=BC-CD= k, 5 ∴AD =CD·BD=
2 2 2

5 k, 5

5 4 5 4 k· k= k2, 5 5 5

2 5 ∴AD= k,∴AD∶BC=2∶5. 5 4. 在△ABC 中, ∠ACB=90°, CD⊥AB 于 D, AD∶BD=2∶3, 求△ACD 与△CBD 的相似比. 解 如图所示,在 Rt△ACB 中,CD⊥AB,由射影定理得:

CD2=AD·BD,
又∵AD∶BD=2∶3, 令 AD=2x.则 BD=3x(x>0), ∴CD =6x ,∴CD= 6x. 又∵∠ADC=∠BDC=90°,∴△ACD∽△CBD. 易知△ACD 与△CBD 的相似比为 = 即相似比为 6∶3. 5.如图所示,在△ABC 中,∠CAB=90°,AD⊥BC 于点 D,BE 是∠ABC 的角平分线,交 AD 于点 F,求证: = 证明 ∵BE 是∠ABC 的角平分线, ∴ = ,①
2 2

AD CD

2x 6x



6 . 3

DF AE . AF EC

DF BD AF AB

AE AB = .② EC BC
在 Rt△ABC 中,由射影定理知,

BD AB AB2=BD·BC,即 = .③ AB BC
由①③得 = 由②④得 =

DF AB ,④ AF BC DF AE . AF EC

7

6.如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,M 是 BC 的中点,CN⊥AM,垂 足是 N,求证:AB·BM=AM·BN. 证明 ∵CM =MN·AM, 又∵M 是 BC 的中点, ∴BM =MN·AM,∴ = , 又∵∠BMN=∠AMB,∴△AMB∽△BMN, ∴ = ,∴AB·BM=AM·BN. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 7.如图所示,平行四边形 ABCD 中,E 是 CD 延长线上的一点,BE 与 AD 1 交于点 F,DE= CD. 2 (1)求证:△ABF∽△CEB; (2)若△DEF 的面积为 2,求平行四边形 ABCD 的面积. (1)证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠A=∠C,AB∥CD.∴∠ABF=∠CEB. ∴△ABF∽△CEB. (2)解 ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF. 1 ∵DE= CD, 2 ∴
2 2

BM MN AM BM

AB AM BN BM

S△DEF DE 2 1 S△DEF DE 2 1 =( ) = , =( ) = . S△CEB CE 9 S△ABF AB 4

∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8. ∴S 四边形 BCDF=S△CEB-S△DEF=16. ∴S 四边形 ABCD=S 四边形 BCDF+S△ABF=16+8=24. 8.如图, 在平行四边形 ABCD 中,过点 B 作 BE⊥CD, 垂足为 E, 连结 AE,

F 为 AE 上一点,且∠BFE=∠C.
(1)求证:△ABF∽△EAD. (2)若∠BAE=30°,AD=3,求 BF 的长. (1)证明 ∵AB∥CD,∴∠BAF=∠AED. 又∵∠BFE=∠C,∠BFE+∠BFA=∠C+∠ADE,

8

∴∠BFA=∠ADE.∴△ABF∽△EAD. (2)解 ∵∠BAE=30°,∴∠AEB=60°, ∴ =sin 60°=

AB AE

3 , 2

又△ABF∽△EAD,∴ = ,

BF AB AD AE

AB 3 3 ∴BF= ·AD= . AE 2
9.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2CD,E、F 分别是 AB、BC 的 中点,EF 与 BD 相交于点 M. (1)求证:△EDM∽△FBM; (2)若 DB=9,求 BM. (1)证明 ∵E 是 AB 的中点,∴AB=2EB. ∵AB=2CD,∴CD=EB. 又∵AB∥CD, ∴四边形 CBED 是平行四边形. ∴CB∥DE,
?∠DEM=∠BFM, ? ∴? ? ?∠EDM=∠FBM,

∴△EDM∽△FBM. (2)解 ∵△EDM∽△FBM,∴ ∵F 是 BC 的中点, ∴DE=2BF.∴DM=2BM, 1 ∴BM= DB=3. 3 10.如图,在梯形 ABCD 中,点 E,F 分别在 AB,CD 上,EF∥AD,假 设 EF 做上下平行移动.

DM DE = . BM BF

AE 1 (1)若 = ,求证:3EF=BC+2AD; EB 2 AE 2 (2)若 = ,试判断 EF 与 BC,AD 之间的关系,并说明理由; EB 3
(3)请你探究一般结论,即若

AE m = ,那么你可以得到什么结论? EB n

(1)证明 过点 A 作 AH∥CD 分别交 EF,BC 于点 G,H.

9

AE 1 AE 1 因为 = ,所以 = , EB 2 AB 3
又 EG∥BH,所以 =

EG AE 1 = ,即 3EG=BH. BH AB 3

又 EG+GF=EG+AD=EF, 1 从而 EF= (BC-HC)+AD, 3 1 2 所以 EF= BC+ AD, 3 3 即 3EF=BC+2AD. (2)解 EF 与 BC,AD 的关系式为 5EF=2BC+3AD,理由和(1)类似. (3)解 因为 = ,所以 = 又 EG∥BH,所以 =

AE m EB n

AE m . AB n+m

EG AE m ,即 EG= BH. BH AB m+n

所以 EF=EG+GF=EG+AD =

m

m+n

(BC-AD)+AD,

所以 EF=

m n BC+ AD, m+n m+n

即(m+n)EF=mBC+nAD.

10


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