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2017版高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.1 几何证明选讲 课时1 相似三角形的进一步认识 理


课时 1

相似三角形的进一步认识

1.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上 截得的线段也相等. 推论 1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰. 推论 2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边. 2.平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相

交,它们被这组平行线截得的对应线段成比例. 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 3.相似三角形的判定及性质 (1)判定定理: 内容 判定定理 1 判定定理 2 判定定理 3 两角对应相等的两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似

(2)性质定理:相似三角形的对应线段的比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 4.直角三角形的射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积,斜边上的高的平 方等于两条直角边在斜边上射影的乘积.

1.如图,在四边形 ABCD 中,△ABC≌△BAD.求证:AB∥CD. 证明 由△ABC≌△BAD 得∠ACB=∠BDA, 故 A,B,C,D 四点共圆,从而∠CAB=∠CDB. 由△ABC≌△BAD 得∠CAB=∠DBA, 因此∠DBA=∠CDB,所以 AB∥CD. 2.如图,BD⊥AE,∠C=90°,AB=4,BC=2,AD=3,求 EC 的长度.

1

解 在 Rt△ADB 中,DB= AB -AD = 7, 依题意得,△ADB∽△ACE, ∴ = ,可得 EC=

2

2

DB AD EC AC

DB·AC =2 7. AD

3.如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点,AE 交 BC 于点 F, 求 的值. 解 如图,过点 D 作 DG∥AF,交 BC 于点 G,易得 FG=GC,又在△BDG 中,

BF FC

BF 1 BE=DE,即 EF 为△BDG 的中位线,故 BF=FG,因此 = . FC 2

题型一 平行截割定理的应用 例 1 如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 交于点 O,过点 O