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第二节空间几何体的表面积与体积


第二节 空间几何体的表 面积与体积

简单多面体的表面积
一个三棱台的上、下底面均为正三角形,边长分别是3 cm
3 2

和6 cm.上、下底面中心的连线为三棱台的高,长度为
求三棱台的侧面积和表面积.

cm.

分析 该三棱台的三个侧面为全等

/>的等腰梯形,欲求三棱台的侧面积,
只需求梯形的高.

解 设

o1 , o

分别为三棱台ABC-3 1B1C1的上、下底面正三 A

角形的中心,如图所示,则O1O= 2 ,过O1作O1D1⊥B1C1,过

O作OD⊥BC,则D1D为三棱台侧面梯形的高.

过D1作D1E⊥AD于E,则D1E=O1O=3/2, ∵O1D1=1/3A1D1=1/3× 3 3 / 2 ? 3 / 2

OD=1/3AD=1/3×3 3 ? 3
则DE=OD-O1D1= 3 ? 3 / 2 ? 3 / 2

在Rt?D1 ED中, D1 D ? D1 E 2 ? ED2 ? ?3? ? 3 ? ? ? 3. ? ? ?? ?2? ? 2 ? ? ?
2 2

1 27 3 S侧 ? 3S BB1C1C ? 3 ? ? ?3 ? 6 ?? 3 ? . 2 2 27 3 3 2 3 2 99 3 S 表 ? S 侧 ? S 上 ? S下 ? ? ?3 ? ?6 ? . 2 4 4 4 27 3 2 99 3 2 故三棱台的侧面积为 cm , 表面积为 cm . 2 4

规律总结

求简单多面体的表面积,首先要弄清

多面体的几何特征,特别是侧面和底面的联系,恰

当应用平面几何图形的性质和相应面积公式.

变式训练1 一个长方体表面积

cm2,所有棱长的和是24 是20
cm,求长方体的对角线长.

【解析】

设长方体的长、宽、高、对角线长分别为x cm、

l

y cm、z cm、 cm.

?2( xy ? yz ? xz) ? 20 依题意得:?4( x ? y ? z ) ? 24 ?

②式化简后两边平方得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36, 2
l
l

代换得x2+y2+z2=16,即 =16,所以

=4(cm).

简单旋转体的表面积

如图所示,在四边形ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC =135°,AB=5,CD=2,

AD=2,
若四边形ABCD绕AD所在直 线旋转一周成为几何体.求 出该几何体的表面积.

分析 先判断旋转体的形状,并 求出底面半径及母线长,以公式

求面积.

解 由题意知,所得旋转体是:一个圆台挖去一个以圆台上 2 底为底面的圆锥.如图所示, 过C作CE⊥AD,交AD延长线于E. 如图所示,∠DAB=90°,∠ADC=135°,

AB=5,CD=2

,AD=2,得到

2

2

CE=DE=2,BC=5.
因此该旋转体的表面积为圆台的下底面积和侧面积以及圆锥 的侧面积之和,

规律总结 求简单旋转体的表面积,首 先要准确把握该旋转体的几何特征,特

别是一些简单组合体表面积问题,它可
能是由几个不同几何体的不同部分组成, 需要分别求值,再求和.

变式训练2 如图,已知过球面上A,B,C三点的截面 和球心的距离为球半径的一半,且AB=BC=CA=2, 求球的表面积.

【解析】 如图,设截面圆心为O′,连接O′A,

2 3 2 3 ? ?2 ? 3 2 3

设球半径为R,在正三角形ABC中,O′A= 在Rt△OO′A中,



OA2=O′A2+O′O2,
∴R=4/3
∴S=4π R2=64/9π .

简单多面体、旋转体的体积

如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直 线为轴,旋转一周成为几何体,且∠BAC=30°,求该几何 体的体积.

如图所示,过C作CO1 ? AB于O1 , ? ?BCA ? 90? , ?BAC ? 30? , AB ? 2 R, 3 ? AC ? 3R, BC ? R, CO1 ? R, 2 3 1 ? AO1 ? R, BO1 ? R, 2 2 4 3 ?V球 ? ?R , 3 1 3 2 V圆锥AO1 ? AO1 ? ? ? CO1 ? ?R 3 , 3 8 1 1 2 V圆锥BO1 ? BO1 ? ? ? CO1 ? ?R 3 , 3 8 ?V几何体 ? V球 - V圆锥AO1 ? V圆锥BO1



?

?

4 1 5 ? ?R 3 - ?R 3 ? ?R 3 . 3 2 6

规律总结 简单多面体和旋转体的体积计算,

往往需要采取割补的办法,把一个不规则几何
体的体积问题,转化为一个或几个规则几何体 的体积问题.通过分别求这些规则几何体的体 积,得到该简单几何体的体积.

变式训练3

如图所示,三棱柱

ABC? A1B1C1

中,
1 1

若E、F分别为AB、AC的中点,平面 EB C F 将三棱柱分成体积为
V1 ,V2

的两部分,求V1 :V2

【解析】 设三棱柱的高为 , 上下底的面积为 , h S

体积为V , 则V ? V1 ? V2 ? Sh, ? E , F分别为AB, AC的中点, 1 ? S AEF ? S , 4 1 ? 1 1 ? 7 ?V1 ? h? S ? S ? S ? S ? ? Sh, 3 ? 4 4 ? 12 ? ? 5 V2 ? Sh ? V1 ? Sh,?V1 : V2 ? 7 : 5. 12

简单几何体表面积和体积的应用
(12分)如图所示,一个直三棱柱形容器中盛有

水,且侧棱AA′=8,若侧面AA′B′B水平放置时, 液面恰好过AC,BC,A′C′,B′C′的中点,当底 面ABC水平放置时,液面高为多少?

分析 不论如何放置该三棱柱型容器,该容器内
水的体积不变,但水形成的几何体的形状不同.

解 ?VABC? A?B?C ? ? S ?ABC ? AA? ? 8S ?ABC , VCDE ?C ?D?E ? ? 8S ?CDE ,

?V水 ? VABC? A?B?C ? ? VCDE ?C ?D?E ? ? 8S ?ABC ? 8S ?CDE . ? D, E分别为CA, CB的中点, 1 ? S ?CDE ? S ?ABC , 4 3 ?V水 ? 8 ? S ?ABC ? 6 S ?ABC . 4 当底面ABC水平放置时,设液面高 度为h,则 V水 ? S ?ABC ? h ? 6S ?ABC ,? 液面高度为 . 6

变式训练4 如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,

AB=a,BC=b,BB1=c,并且a>b>c>0.
求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长.

【解析】将长方体相邻两个面展开有下列三种可能,如图所 示.

三个图形甲、乙、丙中AC1的长分 别为:

?a ? b?2 ? c 2 2 a 2 ? ?b ? c ? ?a ? c ?2 ? b 2

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab, ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc, ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ac,

∵a>b>c>0,∴ab>ac>bc>0, 故最短线路的长为 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc .

1.求几何体的表面积 要充分利用几何体的特征,把空间几何图形转化为平面几 何图形.把几何体的表面展开,是空间几何体的一种重要变 换.它在求几何体的表面积和表面上最短距离等方面有很好 的应用. 2.计算柱、锥、台体的体积 关键是依据条件找到底面积和高.需要充分利用几何体的 相关截面,特别是旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面 问题. 3.与球有关的组合体问题 要仔细分析图形,明确切点和接点的位置,确定相关元素 间的数量关系,并作出需要的截面图.

4.割补法是求简单几何体体积的常用方法 对于不规则的简单几何体的体积问题,往往通过分割或补形 把不规则几何体化归为规则几何体,即转化为易求体积的柱体、 锥体和台体的问题,这充分体现了化繁为简、化难为易、化生

为熟的化归思想.
5.平行截面中的比例问题 面积之比等于相似比的平方,体积之比等于相似比的立 方.在由平行于锥体底面的平面截得的锥体和原锥体中,对应 的底边长、棱长、高等长度之比,叫相似比.面积之比指的是

两个锥体对应位置的面积之比.

6.球的截面及其性质

(1)用一个平面去截一个球,截面是圆面.
(2)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆,不经过 球心的截面截得的圆叫做球的小圆. (3)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面. (4)球心和截面距离d,球半径R,截面半径r有关 系:r ? R2 ? d 2 .

已知球的内接正方体的体积为V,求球的表面积.

错解 如图所示,作圆的内接正方形表示正方体的截 面,设正方体的棱长为x,球半径为R,则有

错解分析 过球内接正方体的一个对角面作球的大圆截面,
得到一个矩形,矩形的对角线长为x,不是x.

正解 如图所示,过正方体的对角面作球的大圆截面, 设正方体的棱长为x,球半径为R,则有

详 见 Word 文 档 “课时作业”


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