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江西省吉安市白鹭洲中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理 新人教A版


白鹭洲中学 2013-2014 学年上学期高二年级期中考试 数学试卷(理科)
考生注意: 1、 本试卷设试卷Ⅰ、Ⅱ卷和答题纸三部分,试卷所有答题都必须写在答题纸上。 2、 答题纸与试卷在试题编号上是一 一对应的,答题时应特别注意,不能错位。 3、 考试时间为 120 分钟,试卷满分为 150 分。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、 选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的 ) 1、命题“若 a ? b ,则 ac ? bc ( a、b ? R ) ”与它的逆命题、否命题,逆否命题中,
2 2

真命题的个数为





A、3 B、2 C、1 D、0 2、a = 1 是直线 (3a ? 2)x ? (1 ? 4a) y ? 8 ? 0 和 (5a ? 2)x ? (a ? 4) y ? 7 ? 0 互相垂直的 ( ) B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也非必要条件 A.充分不必要条件

3、 (2, 的直线中, 过点 1) 被圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 截得的弦长为最大的直线方程为 ( ) A. y ? 3(x ? 2) ? 1 C. y ? 3(x ? 1) ? 2 4.在下列命题中,真命题的是( B. y ? ?3(x ? 2) ? 1 D. y ? ?3(x ? 1) ? 2 )

A.若直线 m, n 都平行于平面 ? ,则 m / / n B.若 ? ? l ? ? 是直二面角,若直线 m ? l ,则 m ? ? C.若直线 m, n 在平面 ? 内的射影依次是一个点和一条直线,且

D1 B1 A1 P

C1

m ? n , n 在 ? 内或 n 与 ? 平行
D.设 m, n 是异面直线,若 m / / 平面 ? ,则 n 与 ? 相交 5.如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 是侧面 BB1C1C 内 P 一动点, P 到直线 BC 与直线 C1 D1 的距离相等, 若 则动点 P 的轨迹所在曲线是( A.直线的一部分 C.双曲线的一部分 ) B.圆的一部分 D.抛物线的一部分

D A B

C

1

6.如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的体积为( A.4 B.8 C.16 D.20



7.已知过抛物线 y =6x 焦点的弦长为 12,则此弦所在直线的倾斜角是( A. C. π 5π 或 6 6 π 2π 或 3 3 π 3π B. 或 4 4 π D. 2

2

)

8.若圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方 程为( )
2 2

A.(x+1) +(y-1) =2 C.(x-1) +(y+1) =2
2 2

B.(x-1) +(y-1) =2 D.(x+1) +(y+1) =2
2 2

2

2

9.在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 1, AA1 ?

3 ,E 为 AB 上一个动点,则

D1 E ? CE 的最小值为(
A. 2 2 B.

) C.

10

5 ?1

D. 2 ? 2
2

10、已知圆的方程为 x + y =4,若抛物线过点 A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为 准线,则抛物线的焦点的轨迹方程为( ) x y A、 + =1(y≠0) 3 4 x y C、 - =1(x≠0) 3 4
2 2 2 2

2

2

x y B、 + =1(y≠0) 4 3 x y D、 - =1(x≠0) 4 3
2 2

2

2

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。将答案填在答题卡 的相应位置上) 11 . 不 等 式 组 ? _____________; 12、已知抛物线 y=
? x? y?2?0 所表示的平面区域的面积是 x?0 ? ?3 x ? y ? 6 ? 0 ?

1 2 x 的焦点为 F,定点 A(-1, 8),P 为抛物线上 4

的动点,则|PA|+|PF|的最小值为___________________。 13、将一个半径为 5 的水晶球放在如图所示的工艺架上,支架是由 0 三根金属杆 PA、PB、PC 组成,它们两两成 60 角。则水晶球的球心 到支架顶点 P 的距离是 ___________________。 14.曲线 y=1+ 4 ? x 2 (-2≤x≤2)与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点 时,实数 k 的取值范围是___________________ 15.有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正 方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边中点,已知最底层 正方体的棱长为 2,且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面 积)超过 39,则该塔形中正方体的个数至少是 ________ 三、 解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤 16. (本题满分 12 分)已知直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 截圆心在点 C (1, 1) 的圆 C 所得弦长为

2 3 .(1)求圆 C 的方程; (2)求过点 (?1, 2) 的圆 C 的切线方程.
17. (本题满分 12 分) 在 如 图 的 多 面 体 中 , EF ⊥ 平 面 AEB , AE ? EB , AD // EF , EF // BC , BC ? 2 AD ? 4 , EF ? 3 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ)求点 B 到平面 DEG 的距离。
3

18. (本小题满分 12 分)已知 p : 1 ?

q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) 若 ?p 是 ?q 的必要非充分条件,求实数 m 的取值范围。
19. (本小题满分 12 分)已知直线 l 与抛物线 y 2 ? 8x 交于 A,B 两点,且 l 经过抛物线的 焦点 F, (1)若已知 A 点的坐标为 (8,8) ,求线段 AB 中点到准线的距离. (2)求 ?ABO 面积最小时,求直线 l 的方程。 20(本小题满分 13 分)如图,正四棱锥 S-ABCD 侧棱长是底面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD; (2)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P ? AC ? D 的大小; (3) 在(2)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E, 使得 BE∥平面 PAC.若存在,求 SE : EC 的值;若不存在,试说明理由

x ?1 ?2; 3

x2 y2 2 21.如图,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦 a b 2
点 F1、F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2+1),一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设

P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D.

4

(1)求椭圆和双曲线的标准方程; (2)设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2,证明:k1·k2=1; (3)是否存在常数 λ , 使得|AB|+|CD|=λ |AB|·|CD|恒成立?若存在, λ 的值; 求 若不存在,请说明理由. 高二理科期中考试答案 C B C B B 14. (

1-5 11.2

B A A C D 12. 9 13.

6-10

5 3

16. 解: (1)设圆 C 的半径为 R , 圆心到直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 的距离为 d .

5 3 , ] 12 4

15. 6

则d ?

4 ? 3 - 12 4 ?3
2 2

? 1 , 则R ?
2 2

d2

?2 3 ? ? ? ? ? 2 ? ? ?

2

? 2

故圆 C 的方程为:(x ? 1) ? (y ? 1) ? 4 (2)当所求切线斜率不存在时,即 x ? ?1 满足圆心到直线的距离为 2, 故 x ? ?1 为所求的圆 C 的切线. 当切线的斜率存在时,可设方程为: y - 2 ? k ( x ? 1) 即 kx ? y ? k ? 2 ? 0

k 2 ? (?1) 2 整理得: 3x ? 4y ? 11 ? 0 所以所求圆的切线为: x ? ?1 与 3x ? 4 y ? 11 ? 0 17. 解: (Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD / /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG .

则d ?

k ?1 ? k ? 2

? 2 解得 k ?

3 3 3 故切线为: x ? y ? ? 2 ? 0 4 4 4
A

D

E

H

F

B

G

C

5

(II) h ?

2 3 3
x ?1 ? 2, x ? ?2, 或x ? 10, A ? ?x | x ? ?2, 或x ? 10 ? 3

18 解: ?p : 1 ?

?q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0, x ? 1 ? m, 或x ? 1 ? m, B ? ? x | x ? 1 ? m, 或x ? 1 ? m?

? ?p 是 ?q 的必要非充分条件,? B A ,即 ? ?

1 ? m ? ?2

?1 ? m ? 10

? m ? 9,? m ? 9

19 ( 1 ) 依 题 意 得 F ( 2, 0), ∴ 直 线 AB 方 程 为

y ?0 x?2 ,化简得 ? 8?0 8?2
y A

4 y ? ( x ? 2), 3
代 入 y 2 ? 8x 得 2 x2 ? 17 x ? 8 ? 0 , ∴ 线 段 AB 中 点 横 坐 标 为

17 x1 ? x2 17 , 又 准 线 方 程 为 x ? ?2 , ∴ 中 点 到 准 线 距 离 ? 2 ? 2 2 4
17 25 d ? ? (?2) ? 4 4 (2)面积最小为 8,所求直线方程为: x ? 2 20:

O B

x

6

??? ? ??? ? 2 6 2 6 DS ? ( a, 0, a), CS ? (0, ? a, a) 2 2 2 2 ??? ? ??? ? CE ? tCS , 设
??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? 2 2 6 BE ? BC ? CE ? BC ? tCS ? (? a, a(1 ? t ), at ) 2 2 2





??? ??? ? ? 1 BE ? DS ? 0 ? t ? 3

即当 SE : EC ? 2 :1时, BE ? DS 而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE // 平面PAC

7

21

(1)设椭圆的半焦距为 c,由题意知: =

c a

2 ,2a+2c=4( 2+1), 2

所以 a=2 2,c=2. 又 a =b +c ,因此 b=2, 故椭圆的标准方程为 + =1. 8 4 由题意设等轴双曲线的标准方程为 2- 2=1(m>0),因为等轴双曲线的顶点是椭圆的 焦点,所以 m=2, 因此双曲线的标准方程为 - =1. 4 4 (2)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0, y0),则 k1= 因为点 P 在双曲线 x -y =4 上, 所以 x0-y0=4, 因此 k1·k2= 即 k1·k2=1. (3)由于 PF1 的方程为 y=k1(x+2), 将其代入椭圆方程得(2k1+1)x +8k1x+8k1-8=0, -8k1 8k1-8 由根与系数的关系得 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 2k1+1 2k1+1 所以|AB|= 1+k1 (x1+x2) -4x1x2 = 1+k1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

x2 y2 m m

x2 y2

y0 y0 ,k2= . x0+2 x0-2

· = =1, x0+2 x0-2 x2-4 0

y0

y0

y2 0

? -8k1 ?2-4×8k1-8=4 2 k1+1 . ?2k2+1? 2 2 2k1+1 2k1+1 ? 1 ?
k2+1 2 . 2 2k2+1
2 2

2

2

2

同理可得|CD|=4 2 则 1

1 1 ?2k1+1 2k2+1? + 2 + = ? 2 ?, |AB| |CD| 4 2? k1+1 k2+1 ?

又 k1·k2=1,

8

2 ?2k +1 k +1? 1 1 1 + 所以 + = ? |AB| |CD| 4 2? k +1 1 +1 k ? ?
2 1 2 1 2 1 2 1

2?2k1+1 k1+2? 3 2 + 2 ?= = ? 2 . 8 ? k1+1 k1+1? 8 3 2 故|AB|+|CD|= |AB|·|CD|. 8 3 2 因此存在 λ = ,使|AB|+|CD|=λ |AB|·|CD|恒成立. 8 【答案】 (1)椭圆的标准方程为 + =1,双曲线的标准方程为 - =1 8 4 4 4

2

2

x2 y2

x2 y2

(2)略

3 2 (3)存在.λ = 8

9



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