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直线与方程补充教师版


直线中的几类对称问题
对称问题,是解析几何中比较典型,高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题,我们可以分为:点 关于点的对称;点关于直线的对称;直线关于点的对称,直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题,来介 绍这几类对称问题的求解策略. 一、点关于点的对称问题 点关于点的对称问题,是对称问题中最基础最重要的一类,其余几类对称问题均可以化归为点关于点的 对称进行

求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例 1 求点 A(2,4)关于点 B(3,5)对称的点 C 的坐标. 分析 易知 B 是线段 AC 的中点,由此我们可以由中点坐标公式,构造方程求解.



2? x ? 3? ? ? 2 ,解得 ? x ? 4 , 由题意知,B 是线段 AC 的中点,设点 C(x,y) ,由中点坐标公式有 ? ? ?y ? 6 ?5 ? 4 ? x ? ? 2

故 C(4,6). 点评 解决点关于点的对称问题,我们借助中点坐标公式进行求解 . 另外此题有可以利用中点的性质 AB=BC,以及 A,B,C 三点共线的性质去列方程来求解. 二、点关于直线的对称问题 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸,处理这类问题主要抓住两个方面:①两点连线与 已知直线斜率乘积等于-1,②两点的中点在已知直线上. 例 2 求点 A(1,3)关于直线 l:x+2y-3=0 的对称点 A′的坐标. 分析 因为 A,A′关于直线对称,所以直线 l 是线段 AA′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口. 解 据分析,直线 l 与直线 AA′垂直,并且平分线段 AA′,设 A′的坐标为(x,y) ,则 AA′的中 点 B 的坐标为 ?

?1? x 3 ? y ? ? ,? ,k ? ?? 2 ? ? 2

AA?

?

y ?3 ?. x ?1

3? y ?1 ? x ? 2 ? ?3? 0 ? 2 ? 2 由题意可知, ? , y ? 3 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? x ?1 ? 2 ?

3 ? x ? ? ? 1? ? 5 . 故所求点 A′的坐标为 ? 3 解得 ? , ? ? ? ?. ?? ? 5? ? 5 ?y ? ? 1 ? 5 ?
三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题,可转化为直线上的点关于某点对称的问题,这里需要注意到的是两对称直线是 平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例 3 求直线 2x+11y+16=0 关于点 P(0,1)对称的直线方程. 分析 本题可以利用两直线平行,以及点 P 到两直线的距离相等求解,也可以先在已知直线上取一点, 再求该点关于点 P 的对称点,代入对称直线方程待定相关常数. 解法一 由中心对称性质知,所求对称直线与已知直线平行,故可设对称直线方程为 2x+11y+c=0. 由点
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到直线距离公式,得

| 11 ? 16 | 2 2 ? 112

?

| 11 ? c | 2 2 ? 112



即|11+c|=27,得 c=16(即为已知直线,舍去)或 c= -38. 故所求对称直线方程为 2x+11y-38=0. 解法二 在直线 2x+11y+16=0 上取两点 A(-8,0) ,则点 A(-8,0)关于 P(0,1)的对称点的 B(8, 2). 由中心对称性质知,所求对称直线与已知直线平行,故可设对称直线方程为 2x+11y+c=0. 将 B(8,2)代入,解得 c=-38. 故所求对称直线方程为 2x+11y-38=0. 点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行,再由点(对称中心)到此两直线距离相等,而 求出 c,使问题解决,而解法二是转化为点关于点对称问题,利用中点坐标公式,求出对称点坐标,再利用直 线系方程,写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性. 四、直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称问题,包含有两种情形:①两直线平行,②两直线相交. 对于①,我们可转化为点关于 直线的对称问题去求解;对于②,其一般解法为先求交点,再用“到角” ,或是转化为点关于直线对称问题. 例 4 求直线 l1:x-y-1=0 关于直线 l2:x-y+1=0 对称的直线 l 的方程. 分析 由题意,所给的两直线 l1,l2 为平行直线,求解这类对称总是,我们可以转化为点关于直线的对 称问题,再利用平行直线系去求解,或者利用距离相等寻求解答. 解 根据分析,可设直线 l 的方程为 x-y+c=0,在直线 l1:x-y-1=0 上取点 M(1,0) ,则易求得 M 关于 直线 l2:x-y+1=0 的对称点 N(-1,2) , 将 N 的坐标代入方程 x-y+c=0,解得 c=3, 故所求直线 l 的方程为 x-y+3=0. 点评 将对称问题进行转化,是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行 直线系方程写出直线 l 的形式, 然后再在直线 l2 上的任取一点, 在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去 待定相关常数. 例 5 试求直线 l1:x-y-2=0 关于直线 l2:3x-y+3=0 对称的直线 l 的方程. 分析 两直线相交,可先求其交点,再利用到角公式求直线斜率. 解 由?

?x ? y ? 2 ? 0 9? ? 5 解得 l1,l2 的交点 A? ? ? ,? ? ?, 2? ? 2 ?3 x ? y ? 3 ? 0

设所求直线 l 的斜率为 k, 由到角公式得,

3 ?1 k ?3 ? ,所以 k=-7. 1 ? 3 ? 1 1 ? 3k

由点斜式,得直线 l 的方程为 7x+y+22=0. 点评 本题亦可以先求 l1,l2 的交点 A,再在直线 l1 上取异于点 A 的任意点 B,再求点 B 关于点 A 的对 称点 B′,最后由 A,B′两点写出直线 l 的方程. 总结: (1)一般的,求与直线 ax+by+c=0 关于 x=a0 对称的直线方程,先写成 a(x-a0)+by+c+aa0=0 的形式, 再写成 a(a0-x)+by+c+aa0=0 形式,化简后即是所求值. (2)一般的,求与直线 ax+by+c=0 关于 y=b0 对称的直线方程,先写成 ax+b(y-b0)+c+bb0=0 的形式,再写 ax+b(b0-y)+c+bb0=0 成形式,化简后即是的求值. (3)一般的,求与直线 ax+by+c=0 关于原点对称的直线方程,只需把 x 换成-x,把 y 换成-y,化简后即 为所求. (4)一般地直(曲)线 f(x,y)=0 关于直线 y=x+c 的对称直(曲)线为 f(y-c,x+c)=0. 即把 f(x,y)=0 中 的 x 换成 y-c、y 换成 x+c 即可. (5)一般地直(曲)线 f(x,y)=0 关于直线 y= -x+c 的对称直(曲)线为 f(-y+c,-x+c). 即把 f(x,y)=0 中的 x 换成-y+c,y 换成-x+c.
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直线方程易错题
一 定点问题 1.若 k ? R 时,直线 y-2=k(x-1)总通过一个定点,这个定点是( ) A(1,-2) B(-1,2) C(-2,1) D(1,2) 2.方程 y=k(x-2) ,x ? R 表示( ) A 通过点(-2,0)的一切直线 B 通过点(2,0)的一切直线 C 通过点(2,0)且不垂直 x 轴的一切直线 D 通过点(2,0)且除去 x 轴的一切直线 3.已知直线 l 的方程为: (2m-3)x+y-m+6=0,则对于任意的 m ? R,直线 l 恒过定点_____ 二 截距问题 1.直线 mx+ny=1(mn≠0)与两坐标轴围成的面积是( A



1 mn 2

B

1 | mn | 2

C

1 2 mn

D

1 2 | mn |

2.过点 P(2,3)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程是:________ 3.过点(5,2)且在 x 轴上截距是 y 轴上截距两倍的直线方程是:__________ 4.过点(5,2) ,且在坐标轴上截距互为相反数的直线方程为( ) A x-y-3=0 B x-y+3=0 或 2x-5y=0 C x-y+3=0 D x-y-3=0 或 2x-5y=0 5.已知直线 L 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,且此三角形的面积为 18,求直线 L 的方程。

三 最值问题 1.过点 P(2,1)作直线 l 分别交 x 轴、y 轴的正半轴于点 A、B.求 ?AOB 的面积最小时直线 l 的方程;

2. 若直线 l 过点(1,1) ,且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2,则这样的直线 l 有( )条 A 1 B 2 C 3 D 4 (变式题:若面积为 5 呢,面积为 1 呢?)

3.过点 P(2,1) 作直线 l 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B,求|PA|·|PB|取最小值时直线 l 的方程.

4.位于第一象限的点 A 在直线 y=3x 上,直线 AB 交 x 轴的正半轴于点 C,已知点 B(3,2) ,求△OAC 面积的最 小值,并求此时 A 点坐标

5.已知点 M(1,3),N(5,-2),在 x 轴上取一点 P,使得||PM|-|PN||最大,则 P 点坐标是( ) A (5,0) B (13,0) C (0,13) D (3.4,0) 变式:若使||PM|+|PN||最小呢?

6.求函数 f ( x) ? 解: f ( x) ?

x2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值。

( x ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2 可看作点 ( x, 0)

2 2 到点 (1,1) 和点 (2, 2) 的距离之和,作点 (1,1) 关于 x 轴对称的点 (1, ?1) ? f ( x) min ? 1 ? 3 ? 10

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