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简单的线性规划复习学案


简单的线性规划复习学案
一.明确要求
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.

二.命题方向
1.求二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积、求目标函数的最值及简单的线 性规划实际应用问题是

命题的热点. 2.题型多为选择、填空 题,着重考查平面区域的画法及目标函数最值问题,注重 考查等价转化、数形结合思想. 三.规律总结 一种方法 确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的 方法. (1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号, 把直线画成实线. (2 )特殊点定域,即在直线 Ax+By+C=0 的某一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测 试点代入不等式检验,若满足不等式,则表示的就是包 括该点的这一侧,否则 就表示直线的另一侧.特别地,当 C≠0 时,常把原点作为测试点;当 C=0 时, 常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点. 一个步骤 利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域; (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形; (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解; (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
1

两个防范 (1)画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.
(2)求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,注意 b 正负。

考点一:巧用不等式组确定可行域问题的方法
? x?0 ? 例1.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? 3 y ? 4 表示的平面区域的面积为( ?3 x ? y ? 4 ?
A. )

3 2

B.

2 3

C.

4 3

D.

3 4

?| OP ? OM |? 12 ? 练习:1、已知点 P(3,3) ,Q(3,-3) ,O 为坐标原点,动点 M(x, y)满足 ? , ? ?| OQ ? OM |? 12
则点 M 所构成的平面区域的面积是( (A)12 (B)16 ) (C)32 (D)64 )

2、在平面直角坐标系中,若点(-2,t)在直线 x-2y+4=0 的上方,则 t 的取值范围是( A.(-∞,1)
m n

B.(1,+∞) )

C.(-1,+∞)

D.(0,1)

3、若 2 +2 <4,则点(m,n)必在( A.直线 x+y-2=0 的左下方

B.直线 x+y-2=0 的右上方

C.直线 x+2y-2=0 的右上方 D.直线 x+2y-2=0 的左下方 2x-y+1>0, ? ? 4、设关于 x,y 的不等式组?x+m<0, 表示的平面区域内存在点 P(x0,y0),满足 x0 ? ?y-m>0. -2y0=2,则 m 的取值范围是 4 A.(-∞,3) 5 、 已 知 函 数 ( ) 2 C.(-∞,-3) , 点 集 5 D.(-∞,-3) ,

1 B.(-∞,3)

f ( x) ? x 2 ? 2 x

M ? {( x , y ) | f ( x ) ? f ( y ) ? 2}

N ? {( x, y ) | f ( x ) ? f ( y ) ? 0} ,则 M ? N 所构成平面区域的面积为____



? x ? 0 ? 6、已知点 M(a,b)在由不等式组 ? y ? 0 确定的平面区域内,则点 N(a+b,a-b)所在平 ?x ? y ? 2 ?
面区域的面积是 .

考点二:求解目标函数在可行域中最值问题的方法
常见的目标函数有:
[来源:Z_xx_k.Com]

注意转化的等价性及几何意义.
2

(1)截距型:形如 z=ax+by. a z 求这类目标函数的最值常将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式: y=-bx+b, z 通过求直线的截距b的最值间接求出 z 的最值. (2)距离型:形如 z=(x-a)2+(y-b)2.
[来源:学科网]

(3)斜率型:形如 z=

y-b x-a

.

?x ? 2 y ? 2 ? 例 2、 (1) 设变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 , 则目标函数 z=3x-y 的取值范围是 ( ? 4 x ? y ? ?1 ?
(A) [? , 6]



3 2

(B) ? ? , ?1?

? 3 ? 2

? ?

(C)[-1,6]

(D) ? -6, ?

? ?

3? 2?

?x ? 0 ?y ? 0 ? 2 2 (2)设变量 x,y 满足约束条件 ? ,则目标函数 z=x +y 的取值范围是( ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 4 16 4 16 A ( , B ( ,16 ) C ( 1,16 ) D( ,4 ) ) 5 5 5 5
kx-y+1≥0 ? ? + y = 0 对称,点 P(a , b) 为平面区域 ?kx-my≤0 ? ?y≥0 ________.



(3)如果直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my-4=0 相交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线 x b+1 的取值范围是 a-1

内任意一点,则

练习:1、给定区域 D :,令点集 T ? {? x0 , y0 ? ? D | x0 , y0 ? Z , ?x0 , y0 ? 是 z ? x ? y 在 D 上取 得最大值或最小值的点 } ,则 T 中的点共确定______条不同的直线.

? x ? 2y ? 2 ? 2、 变量 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 , 则目标函数 z ? 3 | x | ? | y ? 3 | 的取值范围是 ( ? 4 x ? y ? ?1 ?
A. [ ,9]



3 2

B. [? , 6]

3 2

C. [?2,3]

D. [1, 6]

? y ? x ?1 y ? 3、实数 x, y 满足 ? x ? 1 ,目标函数 z ? x ? y ,则当 z ? 3 时, 的取值范 x ?2 x ? y ? 6 ? 0 ?
围 .
3

考点三、线性规划中参变量问题:
?x ? 1 ? 例 3、 (1)已知 a>0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=( ? y ? a ( x ? 3) ?
A. B. C.1 D.2 )

?x ? y ? 2 ? 0 ? (2) 设 z ? kx ? y , 其中实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , 若 z 的最大值为 12, 则实数 k ? ____. ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
?3x ? y ? 6 ? 0 ? (3)设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by ( a ? 0 , b ? 0 )的 ? x ? 0, y ? 0 ?
最大值为 12,则 ab 的取值范围是( A. (0, ] )

3 2

B. (0, )

3 2

C. [ , ??)

3 2

D. (0, ??)

2x-y+1>0, ? ? 练习:1、设关于 x,y 的不等式组?x+m<0, 表示的平面区域内存在点 P(x0,y0),满 ? ?y-m>0. 足 x0-2y0=2,则 m 的取值范围是 4 A.(-∞,3) 1 B.(-∞,3) ( ) 2 C.(-∞,-3) 5 D.(-∞,-3)

?(2 x ? y ? 2)(4 x ? y ? 2) ? 0 m ? 0? x?2 2、 设实数 x,y 满足 ? ,若目标函数 z ? x ? y, (m ? 0, n ? 0) 的 n ? y?0 ?
最大值为 10,则 2 m ?

1 的最小值为 n

.

? x? y ?3? 0 ? 3、 若函数 y ? log2 x 的图像上存在点 ( x, y ) , 满足约束条件 ?2 x ? y ? 2 ? 0 , 则实数 m 的 ? y?m ?
最大值为( ) A.

1 2

B. 1

C.

3 2

2 D.

?x≤my+n ? 4、若由不等式组?x- 3y≥0 ? ?y≥0

(n>0)确定的平面区域的边界为三角形,且它的外接圆的圆

4

心在 x 轴上,则实数 m=________.

考点四、实际应用问题解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为:
(1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数; (3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关 系; (4)作答——就应用题提出的问题作出回答. 体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性 规划求最值问题.
例 4、 (1)某旅行社租用 A 、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行, A 、 B 两种车辆的载 客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆,旅行社要求租车总数不超 过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆.则租金最少为( A.31200 元 B.36000 元 C.36800 元 ) D.38400 元

(2)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 计,投入资金不超过 54 万元,假设 种植黄瓜和韭菜的产 量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入 总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植 面积(单位:亩)分别为( A.50,0 B.30,20 ) C.20,30 D.0,50

练习: 1、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千 克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元,每
5

桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、 B 原料都 不超过 12 千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得 的最大利润是( A、1800 元 ) B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元

2、 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N (800, 502 ) 的随机变量. 记一天中 从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0 . (Ⅰ)求 p0 的值; (参考数据:若 X ~ N ( ? , ? 2 ) ,有 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 ,
P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 , P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974 .)

(Ⅱ)某客运公司用 A 、 B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天 往返一次. A 、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆. 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 且使公司从甲地去乙地 A 型车 7 辆. 若每天要以不小于 p0 的概率运完从甲地去乙地的旅客, 的营运成本最小,那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆?

3、毕业庆典活动中,某班团支部决定组织班里 48 名同学去水上公园坐船观赏风景,支部先 派一人去了解船只的租金情况,看到的租金价格如下表,那么他们合理设计租船方案后,所 付租金最少为________元.
6

船型 大船 小船

每只船限载人数 5 3

租金(元/只) 12 8

课后作业:
? x ? 2 y ? 0, ? 1、设实数 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 0, ,则目标函数 z ? x ? y 的最 大值 ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0, ?
为 .

?a ? b ? 1 ? 0 ? 2、已知实数 a , b 满足: ? 2a ? b ? 1 ? 0 , z ? a ? b ?1 ,则 z 的取值范围是___________. ? 2a ? 2b ? 1 ? 0 ? y ? ln x ? y?2 ? 3、若实数 x,y 满足不等式组 ? 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,则 z ? 的取值范围是 x ? x ? 2y ? 4 ? 0 ?

.

?x ? 0 ? 4、当实数 x, y 满足不等式 ? y ? 0 时,恒有 ax ? y ? 2 成立,则实数 a 的取值集合是 ?x ? 2 y ? 2 ?
( ) A.(?1,1] B.(1, 2) C.(0,1] D.(??,1]

?x ? y ? 3 ? 0 ? 5、 若直线 y ? 2 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则实数 m 的最大值为 ( ?x ? m ?
x



A.

1 2

B.1

C.

3 2

D.2

6、函数 y ? f ( x) 为定义在 R 上的减函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0)对称,

x, y 满足不等式 f ( x 2 ? 2x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 , M (1, 2), N ( x, y) , O 为坐标原点,则当
1 ? x ? 4 时, OM ? ON 的取值范围为 (
) C. ?3,12? D. ?0,12?

12,??? A. ?

B. ?0,3?

7、三个正数 a,b,c 满足 a ? b ? c ? 2a , b ? a ? c ? 2b ,则
7

b 的取值范围是( a



A. [ , ]

2 3 3 2

B. [ , 2]

2 3

C. [1, ]

3 2

D. [1, 2]

? 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ? k?x?0 8、 设命题 p: ? ( x, y, k ? R, 且k ? 0) 命题 q:( x ? 3)2 ? y 2 ? 25 ( x, y ? R) , ? x ? 3 y ? 12 ?
若 P 是 q 的充分不必要条件,则 k 的取值范围是( A(0,3] B. (0,6] C. (0,5] ) D. [1,6]

9、 已知 log 1 ( x ? y ? 4) ? log 1 (3x ? y ? 2) ,若 x ? y ? ? 恒成立, 则 ? 的取值范围是(
2 2

)

A. ? ??,10

?

B. ? ??,10?

C. 10, ??? .

?

D. ?10, ???

? ? ? 0? x? , z ? x ? 2 y ,则 z 的取值范围是 10、若 ? 2 ? sin x ? y ? cos x , ?

?x ? 1 ? 11、已知不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 ,表示的平面区域为 ? ,其中 k ? 0 ,则当 ? 的面积取得 ? kx ? y ? 0 ?
最小值时的 k 的值为 .

? x ? 0, ? y ? 0, 12、已知 x , y 满足不等式组 ? 当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的 ? x ? y ? s , ? ? ? y ? 2 x ? 4.
变化范围是( ) (A) [6,15] (B) [7,15] (C) [6,8] ( D) [7,8]

? x ? y ? 4, ? 2 2 13、设不等式组 ? y ? x ? 0, 表示的平面区域为 D .若圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? r 2 ?x ? 1 ? 0 ?
不经过区域 D 上的点,则 r 的取值范围是( A. 2 2 ,2 5 )

?r ? 0?

?

?

B. 2 2 ,3 2

?

?

C. 3 2 ,2 5

?

?

D. 0,2 2 ? 2 5 ,??

?

? ?

?

14、已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? b) x 2 ? a(b ? 3) x ? b ? 2 的图像过原点,且在原点处的切线 3

的斜率是 ?3 ,则不等式组 ?

? x ? ay ? 0 2 2 所确定的平面区域在圆 x ? y ? 4 内的面积为 x ? by ? 0 ?
8



)A.

? 3

B.

? 2

C. ?

D. 2?

9


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