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2010年上海市长宁区二模数学(文)


2010 年长宁区高三数学质量检测试卷 (文)
一、填空题(本大题满分 56 分,本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每
个空格填对得 4 分,否则一律得零分) i ? _________ 1、设 i 为虚数单位,则复数 1? i 2、若函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 的反函数的图像过点 (2,?1) ,则 a ? ____

___ 1? 2 ??? n ? ________ . 3、 lim n ?? 2n 2 ? n ? 1 4、执行右边的程序框图,若 p ? 9 ,则输出的 S ? _______ 学科网

x ?1 2 图像的顶点是 (b, c) ,且 a, b, c, d 成 ? x x?3 等比数列,则 ad ? _______
5、函数 f ( x) ? 6 、 已 知集 合 A ? ? x log 2 x ? 2? , B ? (??, a) , 若 A ? B 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
_________

E 7、已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? 2 AB, 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成的角的余弦值为 ________ 3 8、已知 ( x ? 3 ) n 展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64, x n ? _________ 则

?4 x ? y ? 9 ? 0 ? 9、已知实数 x 、 y 满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0 则 x ? 3 y 的最大值为________.学科网 ?y ? 3 ?

10、投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m, n ,设 a ? (m, n) ,则满足 | a |? 5 的概率为 __________ 11、已知某几何体的三视 图如右,根据图中标出的尺寸学科网 (单位:cm) ,可得这个几何体的体积是 __________ ( cm3 )学科网 12、从抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 引其准线的垂线, 垂足为 M ,设抛物线的焦点为 F ,且 | PF |? 5 , 则 ?MPF 的面积为 ________ 13、棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的 8 个顶点都在 球 O 的表面上,E、F 分别是棱 AA1 、 DD1 的中点,则直 线 EF 被球 O 截得的线段长是__________.学科网 ? 2 ? x ? 1( x ? 0), 14、已知函数 f ( x) ? ? 若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的 ? f ( x ? 1)(x ? 0). 实数根,则实数 a 的取值范围是 _________ 二、选择题(每小题 4 分,计 16 分) 15、不等式 | 2 ? x |? 1 的解集是 ( ) A. [?3, ?1] B. [1,3] C. [ ?3,1] D. [ ?1,3]

16、已知α ,β 表示两个不同的平面,m 为平 面α 内的一条直线,则 "? ? ? " 是 ( ) "m ? ?" 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 x y 17、已知 F1 , F2 是椭圆 ? ? 1 的两个焦点, P 是椭圆上的任意一点,则 25 9 ( ) | PF1 | ? | PF2 | 的最大值是 25 A 、9 B 、16 D、 C 、 25 [来源:学,科,网] 2 18、函数 y ? m | x | 与 y ? x2 ? 1 在同一坐标系的图像有 公共点的充要条件是 ( )学科 A、 m ? 2 B、 m ? 2 C、 m ? 1 D、 m ? 1 学科网 三、解答题(本大题共 5 题,计 78 分) 19、 (本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 设函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 2) x ? 3(a ? 0) ,若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (?1,3) 。 (1)求 a, b 的值; (2)若函数 f (x) 在 x ? [m,1] 上的最小值为 1,求实数 m 的值。

20、 (本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 设 a, b, c 分别为 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边, C C C C ? m ? (cos , sin ), n ? (cos ,? sin ), m 与 n 的夹角为 2 2 2 2 3 (1)求角 C 的大小; 7 3 3 (2)已知 c ? , ?ABC 的面积 S ? ,求 a ? b 的值。 2 2

[来源:学科网 ZXXK] 21、 (本题满分 16 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 设数列 ?an ? 中,若 an?1 ? an ? an?2 , (n ? N ? ) ,则称数列 ?an ? 为“凸数列” 。 (1)设数列 ?an ? 为“凸数列” ,若 a1 ? 1, a2 ? ?2 ,试写出该数列的前 6 项,并求 出该 6 项之和; (2)在“凸数列” ?an ? 中,求证: an?3 ? ?an , n ? N ? ; (3)设 a1 ? a, a2 ? b ,若数列 ?an ? 为“凸数列” ,求数列前 2010 项和 S 2010 。 [来源:学|科|网]

[来源:Z_xx_k.Com]

22、 (本题满分 16 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 在平行四边形 OABC 中,已知过点 C 的直线与线段 OA, OB 分别相交于 点 M , N 。若 OM ? xOA, ON ? yOB 。 x (1)求证: x 与 y 的关系为 y ? ; x ?1 x (2)设 f ( x ) ? ,定义在 R 上的偶函数 F (x) ,当 x ? [0,1] 时 F ( x) ? f ( x) ,且 x ?1 函 数 F (x) 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 求 证 : F ( x ? 2) ? F ( x) , 并 求 x ? [2k ,2k ? 1](k ? N ) 时的解析式; (3)在(2)的条件下,不等式 F ( x) ? ? x ? a 在 x ? [2k ,2k ? 1](k ? N ) 上恒成立, 求实数 a 的取值范围。

23、 (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(2)小题 8 分) x2 y 2 已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一个焦点是 F2 (2,0) ,且 b ? 3a 。 a b (1)求双曲线 C 的方程; (2)设经过焦点 F2 的直线 l 的一个法向量为 (m,1) ,当直线 l 与双曲线 C 的右支 相交于 A, B 不同的两点时,求实数 m 的取值范围;并证明 AB 中点 M 在曲线

3( x ? 1) 2 ? y 2 ? 3 上。 (3)设(2)中直线 l 与双曲线 C 的右支相交于 A, B 两点,问是否存在实数 m , 使得 ?AOB 为锐角?若存在,请求出 m 的范围;若不存在,请说明理由。

2010 年长宁区高三数学模拟卷答案(文) 一、填空题
题号 1[ 来源:学 科网 ZXXK] 1 1 ? ? i 2 2 2 3 4 5 6 7

答案

1 2

1 4

2 5

14

(4,??)

3 10 10

题号

8

答案

6

10[ 来源:学 科网 ZXXK] 13 ?1 36
1 6

9

11

12

13

14

10

2a

(??,1)

二、选择题
题号 答案 15
B

16
B

17
C

18[来源: 学.科.网] D

三、解答题
b?2 ? ?? 1 ? 3 ? ? a 19、解: (1)由条件得 ? ,????????????????4 分 3 ? ? 1? 3 ? a ?
解得: a ? ?1, b ? 4 。
2

??????????????????????6 分

(2) f ( x) ? ? x ? 2x ? 3 ,?????????????????????8 分 对称轴方程为 x ? 1 ,? f (x) 在 x ? [m,1] 上单调 递增,?????????10 分

? x ? m 时 f ( x) min ? ?m 2 ? 2m ? 3 ? 1 ,

????????????12 分

解得 m ? 1? 3 。? m ? 1,? m ? 1 ? 3 。????????????14 分
2 20、解: (1)由条件得 m? n ? cos ? ?

C C ? sin 2 ? cos C ,???????2 分 2 2

3 1 ? ? cos C ? , 0 ? C ? ? ,因此 C ? 。???????????????6 分 2 3
(2) S ? ?

又 m? n ?| m || n | cos

? ?

?

?

?

?

1 ,???????????????????4 分 2

1 3 3 3 ,? ab ? 6 。??????????9 分 ab sin C ? ab ? 2 4 2

由余弦定理得

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? (a ? b) 2 ? 2ab ? 2ab cos

?
3



??????????????????????12 分 得出: ( a ? b) ?
2

121 11 ,? a ? b ? 。????????????????14 分 4 2

21、解: (1) a1 ? 1, a2 ? ?2 , a3 ? ?3, a4 ? ?1, a5 ? 2, a6 ? 3 ,

? S6 ? 0 。
(2)由条件得 ?

??????????????????????4 分

? a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ,??????????????? ??7 分 ?a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ? 3
??????????????????????10 分

? an?3 ? ?an 。

(3)由(2)的结论,? an?6 ? ?an?3 ? an ,即 an?6 ? an 。??????12 分

a1 ? a, a2 ? b, a3 ? b ? a, a4 ? ?a, a5 ? ?b, a6 ? a ? b 。 ? S6 ? 0 。
??????????????????????14 分

由(2)得 S6n?k ? S k , n ? N ? , k ? 1,?,6 。

? S 2010 ? S335?6 ? 0 。 ??????????????????????16 分
? ? ?

22、解: (1)?

OM
?

?

OM
?

?

ON
?

,????????????????2 分

OA
?x ?

CB

NB

x y ,从而 y ? 。???????????????????4 分 1? x 1? y

(2) x ? [0,1] 时,F ( x ) ? 当

x ? ? 。 F (x) 图像关于直线 x ? 1 对称, F (2 ? x) ? F ( x) , x ?1

??????????????????????5 分

? F ( x ? 2) ? F (? x) ,又 F (x) 为偶函数,? F ( x ? 2) ? F ( x) 。
??????????????????????7 分

设 x ? [2k ,2k ? 1] ,则 x ? 2k ? [0,1] ,???????????????8 分

? F ( x ? 2k ) ?

x ? 2k x ? 2k ,即 F ( x ) ? 。 x ? 2k ? 1 x ? 2k ? 1
??????????????????????10 分

x ? 2k ? ? x ? a ,????????????????12 分 x ? 2k ? 1 1 ?a ? 1? x ? x ? [2k ,2k ? 1](k ? N ) 恒 成 立 , 因 此 对 x ? 2k ? 1 1 a ? (1 ? x ? ) max 。 ??????????????????????14 分[来源: x ? 2k ? 1
(3)不等式为 学_科_网]

?1 ? x ?

1 3 在 x ? [2k ,2k ? 1] 上单调递增,? x ? 2k ? 1 时其最大值为 2 k ? , x ? 2k ? 1 2 3 3 ? a ? 2k ? ,即 a ? (2k ? ,?? ) (k ? N ) 。??????????????16 分 2 2

23、解: (1) c ? 2
2

c2 ? a2 ? b2

? 4 ? a 2 ? 3a 2

? a 2 ? 1, b 2 ? 3

y2 ?双 曲 线 为 ? x ?1。 3
m( x ? 2) ? y ? 0

??????????????4 分

(2) l :

? y ? ? m x ? 2m ? 由? 2 y2 得 ? x ? 3 ?1 ?

(3 ? m 2 ) x 2 ? 4m 2 x ? 4m 2 ? 3 ? 0


??0



4m4 ? (3 ? m2 )(4m2 ? 3) ? 0

12m 2 ? 9 ? 3m 2 ? 0

即m 2 ? 1 ? 0恒 成 立
??????????????6 分

? x ? x2 ? 0 又? 1 ? x1 ? x2 ? 0

4m 2 ?0 m2 ? 3 4m 2 ? 3 ?0 m2 ? 3

?m 2 ? 3

?m ? (??,? 3) ? ( 3,??)

??????????????8 分

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则

x1 ? x 2 2m 2 ? 2 2 m ?3

y1 ? y 2 2m 3 ? 6m ?? 2 ? 2m ? 2 2 m ?3 m ?3

? AB中点M (

2m 2 6m ,? 2 ) 2 m ?3 m ?3

?????????? ????10 分

2m 2 36m 2 (m 2 ? 3) 2 36m 2 m 4 ? 6m 2 ? 9 ? 12m 2 2 ? 3( 2 ? 1) ? 2 ? 3? 2 ? ? 3? ?3 m ?3 (m ? 3) 2 (m ? 3) 2 (m 2 ? 3) 2 (m 2 ? 3) 2
? M在曲线3( x ? 1) 2 ? y 2 ? 3上。
??????????????12 分

(3) A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,

设存在实数 , 使?AOB为锐角, 则OA ? OB ? 0 m
????? ? ???????? 14 分 [来

? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
源:Zxxk.Com]

因为 y1 y2 ? (?mx ? 2m)(?mx2 ? 2m) ? m 2 x1 x2 ? 2m 2 ( x1 ? x2 ) ? 4m 2 1

? (1 ? m 2 ) x1 x2 ? 2m 2 ( x1 ? x2 ) ? 4m 2 ? 0 ??????????????16 分 ? (1 ? m 2 )(4m 2 ? 3) ? 8m4 ? 4m 2 (m2 ? 3) ? 0
? m2 ? 3 5
, 即 7m ? 3 ? 12m ? 0
2 2

与m 2 ? 3矛盾

? 不存在
??????????????18 分


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