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河北省邢台市第二中学2014-2015学年高二数学下学期第三次月考试题 理


高二下学期第 3 次月考数学(理)试卷
总分:150 分 一、选择题(每题5分,共60分) 1.设 z ? 时间:120 分钟

10i ,则 z 的共轭复数为( ) 3?i A. ?1 ? 3i B. 1 ? 3i C. 1 ? 3i D. ?1 ? 3i

2 3 2.设 1 ? x ? x ? x

?<

br />
?

4

? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a12 x12 ,则 a0 ? ( )
C. ? 1 D.1

A.256 3.定义运算

B.0

a c i 2 ( i 是虚数单位)为 ( ) ? ad ? bc ,则 b d 1 i
B. ? 3
( 2)

A.3 4. 记 函 数 y ? f

C. i ? 1
2

D. i ? 2
2

( x) 表 示 对 函 数 y ? f ( x) 连 续 两 次 求 导 , 即 先 对 y ? f ( x) 求 导 得 y ? f ' ( x) , 再 对 y ? f ' ( x) 求 导 得

y ? f ( 2) ( x) ,下列函数中满足 f ( 2) ( x) ? f ( x) 的是( )
A. f ( x) ? x B. f ( x) ? sin x C. f ( x) ? e x D. f ( x) ? ln x )

5.如下图,左边的是导数 y ? f ' ( x) 的图象,则函数 y ? f ( x) 的图象是 (

y=f '(x) -1 1
-1

y=f(x) 1 A

y=f(x) -1 B
-1 C 1

y=f(x)
y=f(x)

1

-1

D

1

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10?,由 M 到 M 上的一一映射中,有 7 个数字和自身对应的映射个数是 ( ) 6.设 M ? ?
A.120 B.240 C. 10
7

D.360

7. 6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何俩人不相邻的坐法种数为( ) A.144 B.120 C.72 D.24 8. 设 ? x ? 表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x , y ,有( ) A. C.

? ? x? ? ? x?

B. D.

? 2 x? ? 2 ? x? ? x ? y ? ? ? x? ? ? y ?

? x ? y ? ? ? x? ? ? y ?
?
3

9. 在极坐标中,点 (2,

) 和圆 ? ? 2 cos ? 的圆心的距离为( )
C.

A.

3

B.2

1?

?2
9

D.

4?

?2
9

x2 1 2 x ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M .若 C1 在点 M 处的 10. 抛物线 C1 : y ? 3 2p
1

切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p ? (



A.

3 16

B.

4 3 3

C.
1

2 3 3

D.

3 8

11. 若函数 f ( x), g ( x) 满足

?

?1

(1) f ( x) g ( x) dx? 0,则称 f ( x), g ( x )为区间 ??1,1? 上的一组正交函数,给出三组函数:

x x f ( x) ? sin , g ( x) ? cos ,(2) f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x ? 1 , 2 2
(3) f ( x) ? x, g ( x) ? x2 其中为区间 ??1,1? 上的正交函数的组数是( ) A. 0 B.1 C.2 D.3

12.用数学归纳法证明: “两两相交且不共点的 n 条直线把平面分为 f ( n) 部分,则 f (n) ? 1 ? 的过程中,用到 f (k ? 1) ? f (k ) + A. k ? 1 B. k .( ) D.

n(n ? 1) ”在证明第二步归纳递推 2

C. k ? 1

k ( k ? 1) 2

二.填空题(每题5分,共20分) 13.已知数列 ?a n ? 为等差数列,则有

a1 ? 2a2 ? a3 ? 0, a1 ? 3a2 ? 3a3 ? a4 ? 0
a1 ? 4a 2 ? 6a 3 ? 4a 4 ? a5 ? 0
类似上三行,第四行的结论为__________________________. 14.已知长轴长为 2 a ,短轴长为 2b 椭圆的面积为 ?ab ,则 ? 2 1 ?
?3 3

x2 dx = 9
. .

.

15. 若存在实数 x 使 x ? a ? x ?1 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是 16. 已知随机变量 ? ? N (0,1) ,若 P(? ? 1) ? a ,则 P(?1 ? ? ? 0) ? 三.解答题(共70分) 17. (10 分)如图,阴影部分区域是由函数

y
y=1 x=? f?x? = cos?x?

y ? cos x 图象,直线 y ? 1, x ? ? 围成,
求这阴影部分区域面积。

x

18. (12 分)

(1)抛掷一颗骰子两次,定义随机变量

? ??

数不等于第二次向上一 面的点数) ?0, (当第一次向上一面的点 数等于第二次向上一面 的点数) ? 1, (当第一次向上一面的点

试写出随机变量 ? 的分布列; (2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率.

2

19.(12 分)已知函数 f ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x (1)求 f ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x 的极值; (2)设函数 g ( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 12x ? a 的图象与 x 轴有两个交点,求 a 的值.

20.(12 分)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3, 从盒中任取 3 张卡片. (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; (2) X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列 (注:若三个数 a , b, c 满足 a ? b ? c ,则称 b 为这三个数的中位数).

21. (12 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值.
o

22. (12 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且
3 3

1 1 ? ? ab . a b

(Ⅰ) 求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

3

高二下学期第 3 次月考数学(理)答案 一.选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 C 5 D 6 B 7 D 8 D 9 A 10 B 11 C 12 C

二.填空题 13. a1 ? 5a2 ? 10a3 ? 10a4 ? 5a5 ? a6 ? 0 14. 3? 15.

??2, 4?

16.

1 ?a 2

三.解答题 17. (10 分) 解法一:所求图形面积为

y
y=1 x=? f?x? = cos?x?

?

?

0

(1 ? cos x)dx ----------(5 分)

? ( x ? sin x) -----------------(9 分) 0

?

x

? ? ------------------------------(10 分) 解法二:所求面积是以长为 ? ,宽为了 2 的矩形的面积的一半,所以所求的面积为 ? 。 --------------------------------------(10 分)
18.(12 分) 解:(1)当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时,有 6 种情况,所以

P(? ? 0) ?

6 1 5 ? ,由互斥事件概率公式得, P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ? -------(4 分) 36 6 6
0 1

所以所求分布列是

?
P

1 6

5 6

--------------------------------------------------------------------------------------------------------(6 分) (2)设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为 A,第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为 B,在第一次掷得向上一面点数是偶 数的条件下,第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为

9 P( AB) n( AB) 9 1 P( AB) 36 1 P( B A) ? ? ? ? 或 P( B A) ? ? ? ------------(12 分) 18 2 P( A) n( A) 18 2 P( A) 36
19. (12 分)已知函数 f ( x) ? 2x ? 3x ? 12x
3 2

解: (1) f ( x) ? 6 x ? 6x ? 12 ? 6( x ? 1)(x ? 2) ,令 f ( x) ? 0 得 x1 ? ?1, x2 ? 2 -(2 分)
' 2 '

x
f ' ( x)
f ( x)

?? ?,?1?
+ 增函数+

-1 0 7

?? 1,2?
减函数-

2 0 -20

?2,???
+ 增函数+

--------------------------------------------------------------------------------------------------------(4 分) 由表知,当 x ? ?1 时 f ( x) 有极大值 7, 当 x ? 2 时 f ( x) 有极小值-20。--------------(6 分) (2)

x

?

-2

-1

0

1

2

3

?

4

f ( x)

?

-4

7

0

-13

-20

-9

?

5

-20

-10

10

20

-5

-10

-15

-20

--------------------------------------------------------------------------------------------------------(8 分) 由(1)知当 x ? ?1 时 g ( x) 有极大值 a ? 7 , 当 x ? 2 时 g ( x) 有极小值 a ? 20 , ---------------------------------------------------------------------------------------------------(10 分) 当 g ( x) 的极大值或极小值为 0 时,函数 g ( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 12x ? a 的图象与 x 轴有两个交点,即 a ? 7或20 。 -----------------------------------------------------------------------------------------------------(12 分) 20.(12 分)解: (1) (2) X P 1 2 3
3 3 C4 ? C3 5 ? ; 3 C9 84

34 84 47 28

43 84

7 84

E( X ) ?

21. (12 分)解:(1)曲线 C 的参数方程为?

?x=2cos θ , ? ?y=3sin θ ?

(θ 为参数),

直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (4 分) (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ ,3sin θ )到 l 的距离

d=

5 |4cos θ +3sin θ -6|, 5

d 2 5 则|PA|= = |5sin(θ +α )-6|, sin 30° 5
4 其中 α 为锐角,且 tan α = . 3 当 sin(θ +α )=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 22 5 . 5

2 5 当 sin(θ +α )=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . (12 分) 5 1 1 2 22. (12 分)解:(1)由 ab= + ≥ ,得 ab≥2,当且仅当 a=b= 2时等号成立. (4 分)

a b

ab

故 a +b ≥2 a b ≥4 2,当且仅当 a=b= 2时等号成立. 3 3 所以 a +b 的最小值为 4 2. (8 分) (2)由(1)知,2a+3b≥2 6 ab≥4 3.

3

3

3 3

5

由于 4 3>6,从而不存在 a,b,使 2a+3b=6. (12 分)

6


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