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2014年高考(大纲全国)理科数学



2014 年普通高等学校招生全国统一考试 大纲全国理科数学
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.(2014 大纲全国,理 1)设 z ? A.-1+3i C.1+3i 答案:D 解析: z ? B.-1-3i D.1-3i

10i ,则 z 的共轭复数为( 3?i

).

10i 10i?3 ? i ? 30i ? 10 ? ? 2 2 ? 1 ? 3i , z ? 1 ? 3i ,选 D. 3 ? i ?3 ? i ??3 ? i ? 3 ? 1
).

2. (2014 大纲全国, 理 2)设集合 M={x|x2-3x-4<0}, N={x|0≤x≤5}, 则 M∩N=( A.(0,4] B.[0,4) C.[-1,0) D.(-1,0] 答案:B 解析:∵M={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4}, N={x|0≤x≤5}, ∴M∩N={x|0≤x<4}=[0,4),选 B. 3.(2014 大纲全国,理 3)设 a=sin 33° ,b=cos 55° ,c=tan 35° ,则( ). A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 答案:C 解析:∵a=sin 33° ,b=cos 55° =sin 35° , c ? tan 35? ? ∴

sin 35? ? sin 35? ? sin 33? . cos 35?

sin 35? , cos 35?

∴c>b>a,选 C. 4. (2014 大纲全国, 理 4)若向量 a, b 满足: |a|=1, (a+b)⊥a, (2a+b)⊥b, 则|b|=( A.2 B. 2 C.1 D.

).

2 2

答案:B 解析:∵(a+b)⊥a,|a|=1, ∴(a+b)· a=0,∴|a|2+a· b=0,∴a· b=-1. 又∵(2a+b)⊥b, ∴(2a+b)· b=0.∴2a· b+|b|2=0. ∴|b|2=2.∴ | b |? 2 ,选 B. 5.(2014 大纲全国,理 5)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医 生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ). A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种 答案:C
2 解析:从 6 名男医生中选出 2 名有 C6 种选法,从 5 名女医生中选出 1 名有 C1 5 种选法,

故共有 C6 ? C5 ?
2 1

6?5 ? 5 ? 75 种选法,选 C. 2 ?1

6.(2014 大纲全国,理 6)已知椭圆 C:

x2 y 2 ? =1 (a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2, a 2 b2

离心率为

3 , 过 F2 的直线 l 交 C 于 A, B 两点. 若△AF1B 的周长为 4 3 , 则 C 的方程为( 3 x2 y2 x2 ? =1 ? y 2 =1 A. B. 3 2 3 2 2 x y x2 y2 ? =1 ? =1 C. D. 12 8 12 4
答案:A 解析:∵

).

x2 y 2 3 ? 2 =1 (a>b>0)的离心率为 , 2 a b 3



c 3 . ? a 3

又∵过 F2 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点, △AF1B 的周长为 4 3 , ∴ 4a ? 4 3 ,∴ a ? 3 .

7.(2014 大纲全国,理 7)曲线 y=xex 1 在点(1,1)处切线的斜率等于( ). A.2e B.e C.2 D.1 答案:C - - - 解析:∵y=xex 1,∴y′=ex 1+xex 1, ∴k=y′|x=1=e0+e0=2,选 C. 8.(2014 大纲全国,理 8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4,底面边 长为 2,则该球的表面积为( ).


x2 y2 ? =1 ,选 A. ∴ b ? 2 ,∴椭圆方程为 3 2

A.

81π 4

B.16π

C.9π

D.

27 π 4

答案:A 解析:由图知,R2=(4-R)2+2,

∴R2=16-8R+R2+2,∴ R ? ∴ S表 =4πR =4π ?
2

9 , 4

81 81 ? π ,选 A. 16 4

9.(2014 大纲全国,理 9)已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1,F2,点 A 在 C 上.若 |F1A|=2|F2A|,则 cos∠AF2F1=( ). A.

1 4

B.

1 3

C.

2 4

D.

2 3

答案:A 解析:∵双曲线的离心率为 2,∴

c ?2, a

∴a∶b∶c=1∶ 3 ∶2. 又∵ ?

? AF1 ? AF2 ? 2a, ? ? ? F1 A ? 2 F2 A ,

∴|AF1|=4a,|AF2|=2a, ∴|F1F2|=2c=4a,

| AF2 |2 ? | F1F2 |2 ? | AF1 |2 4a 2 ? 16a 2 ? 16a 2 4a 2 1 ∴ cos ?AF2 F1 ? ? ? ? ,选 A. 2 | AF2 || F1F2 | 2 ? 2a ? 4a 16a 2 4
10.(2014 大纲全国,理 10)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前 8 项和等 于( ). A.6 B.5 C.4 D.3 答案:C 解析:∵a4=2,a5=5, ∴a4a5=a1a8=a2a7=a3a6=10, ∴lg a1+lg a2+…+lg a8=lg a1a2…a8=lg(a1a8)4=lg(a4a5)4=4lg a4a5=4lg 10=4,选 C.

11.(2014 大纲全国,理 11)已知二面角 α-l-β 为 60° ,AB?α,AB⊥l,A 为垂足,CD ?β,C∈l,∠ACD=135° ,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( ). A.

1 4

B.

2 4

C.

3 4

D.

1 2

答案:B 解析:如图,在平面 α 内过 C 作 CE∥AB,

则∠ECD 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其补角, 不妨取 CE=1,过 E 作 EO⊥β 于 O. 在平面 β 内过 O 作 OH⊥CD 于 H, 连 EH,则 EH⊥CD. 因为 AB∥CE,AB⊥l,所以 CE⊥l. 又因为 EO⊥平面 β,所以 CO⊥l. 故∠ECO 为二面角 α-l-β 的平面角, 所以∠ECO=60° . 而∠ACD=135° ,CO⊥l,所以∠OCH=45° . 在 Rt△ECO 中,CO=CE· cos∠ECO=1· cos 60° = 在 Rt△COH 中,CH=CO· cos∠OCH=

1 . 2

1 2 ? sin 45? ? . 2 4 2 CH 2 ? 4 ? 在 Rt△ECH 中, cos ?ECH ? . CE 1 4 2 所以异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 .故选 B. 4
12.(2014 大纲全国,理 12)函数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像关于直线 x+y=0 对称,则 y=f(x)的反函数是( ). A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x) 答案:D 解析:因为函数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像关于直线 x+y=0 对称, 而函数图像与其反函数的图像关于直线 y=x 对称, 所以这两个函数的反函数图像也关于直线 x+y=0 对称. 设函数 y=f(x)的反函数图像上任一点 P(x,y), 则其关于直线 x+y=0 的对称点 Q(-y,-x)在函数 y=g(x)的反函数的图像上, 又 Q(-y,-x)关于直线 y=x 的对称点 M(-x,-y)在函数 y=g(x)的图像上. 所以,-y=g(-x),即 y=-g(-x). 故函数 y=f(x)的反函数为 y=-g(-x).故选 D.

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

? x y ? 13.(2014 大纲全国,理 13) ? 的展开式中 x2y2 的系数为____.(用数字作答) ? ? ? y ? x ? ?
答案:70

8

? x y ? 解析:设 ? 的第 r+1 项中含有 x2y2,则 ? ? ? y ? x? ?

8

? x ? Tr +1=C ? ? y? ? ? ?
r 8

r r? 8? r ? ? y ? 2 r r 2 y , ?? ? ? C8 ? ( ?1) ? x x? ? r 8?r ? 2 ,即 r=4. 因此 8 ? r ? ? 2 , r ? 2 2 8? 7 ? 6? 5 4 4 ? 70 . 故 x2y2 的系数为 C8 ? ( ?1) ? 4 ? 3 ? 2 ?1

8? r

r

8?r

? x ? y ? 0, ? 14.(2014 大纲全国,理 14)设 x,y 满足约束条件 ? x+ 2y ? 3, 则 z=x+4y 的最大值为 ? x - 2y ? 1 , ?
________. 答案:5 解析:画出 x,y 的可行域如图阴影区域.

由 z=x+4y,得 y ? ? 先画出直线 y ? ?

1 z x? . 4 4

1 1 x ,再平移直线 y ? ? x , 4 4

当经过点 B(1,1)时, z=x+4y 取得最大值为 5. 15.(2014 大纲全国,理 15)直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为 (1,3),则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于________. 答案:

解析:如图所示,设 l1 与圆 O:x2+y2=2 相切于点 B,l2 与圆 O:x2+y2=2 相切于点 C, 则 OB ? 2 , OA ? 10 , AB ? 2 2 .

4 3

∴ tan ? ?

OB 2 1 ? ? . AB 2 2 2

1 2? 2 tan ? 2 ? 4. ∴ tan ?BAC ? tan 2? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? 1 3 4
16.(2014 大纲全国,理 16)若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间 ? 的取值范围是________. 答案:(-∞,2] 解析:f(x)=cos 2x+asin x =1-2sin2x+asin x. 令 t=sin x,∵x∈ ? ∴ t ? ? ,1? , ∴g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+1 由题意知 ?

?π π? , ? 是减函数,则 a ?6 2?

?π π? , ?, ?6 2?

?1 ? ?2 ?

1 ? t ?1, 2

a 1 ? ,∴a≤2, 2 ? ??2? 2

∴a 的取值范围为(-∞,2]. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)(2014 大纲全国,理 17)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,已知 3acos C=2ccos A, tan A ?

1 ,求 B. 3

分析:通过 3acos C=2ccos A,借助于正弦定理把 a,c 转化成关于 A,C 的三角函数值, 由已知 tan A ?

1 ,从而求出 tan C,再利用公式 tan B=-tan(A+C)求出 B. 3 1 1 ,所以 cos C=2sin C, tan C ? . 3 2

解:由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A. 故 3tan Acos C=2sin C, 因为 tan A ?

所以 tan B=tan[180° -(A+C)] =-tan(A+C)



tan A ? tan C tan A tan C ? 1

=-1, 即 B=135° . 18.(本小题满分 12 分)(2014 大纲全国,理 18)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1= 10,a2 为整数,且 Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an an?1 1 ,整理变形后利用裂项求前 n 项和 Tn. an an?1

分析:(1)通过条件分析,a2 为整数,且 Sn≤S4,得到 a5≤0,a4≥0,把 a4,a5 用公差 d 和 a1 表示,得到公差的取值范围,从而确定公差,进而求出{an}的通项公式. (2)将(1)的结果代入 bn ?

解:(1)由 a1=10,a2 为整数知,等差数列{an}的公差 d 为整数, 又 Sn≤S4,故 a4≥0,a5≤0, 于是 10+3d≥0,10+4d≤0. 解得 ?

10 5 ?d ?? . 3 2

因此 d=-3. 数列{an}的通项公式为 an=13-3n.

1 ?13 ? 3n ??10 ? 3n ? 1? 1 1 ? = ? ? ?. 3 ? 10 ? 3n 13 ? 3n ?
(2) bn ? 于是 Tn=b1+b2+…+bn

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? …? ? ?? ? 3 ?? 7 10 ? ? 4 7 ? ? 10 ? 3n 13 ? 3n ? ? 1? 1 1? = ? ? ? 3 ? 10 ? 3n 10 ? n = . 10?10 ? 3n ?
= 19.(本小题满分 12 分)(2014 大纲全国,理 19)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 A1 在 平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上,∠ACB=90° ,BC=1,AC=CC1=2.

(1)证明:AC1⊥A1B; (2)设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 3 ,求二面角 A1-AB-C 的大小.

分析:(方法一)(逻辑推理)(1)由 AC=CC1=2,知侧面 AA1C1C 为菱形,借助于三垂线定 理即可证得 AC1⊥A1B. (2)先作出二面角 A1-AB-C 的平面角∠A1FD, 通过线面垂直关系得△A1DF 为直角三角 形. 把∠A1FD 放入 Rt△A1FD 中通过解直角三角形的有关知识求出∠A1FD. (方法二)(坐标法)(1)以 C 为坐标原点,射线 CA 为 x 轴的正半轴,以 CB 的长为单位长建 立空间直角坐标系. 设 A1(a,0,c),a≤2, 写出 AC1 , BA1 的坐标表示, 利用 AC1 ? BA 1 ? 0 证明 AC1⊥A1B. (2)先根据已知条件求出 a,c,再求出面 ABA1 的法向量 n 和面 ABC 的法向量 p,利用公 式 cos 〈n, p〉 ?

n? p 求解. | n || p |

解法一:(1)证明:因为 A1D⊥平面 ABC,A1D?平面 AA1C1C, 故平面 AA1C1C⊥平面 ABC. 又 BC⊥AC,所以 BC⊥平面 AA1C1C. 连结 A1C.因为侧面 AA1C1C 为菱形,故 AC1⊥A1C. 由三垂线定理得 AC1⊥A1B.

(2)BC⊥平面 AA1C1C,BC?平面 BCC1B1, 故平面 AA1C1C⊥平面 BCC1B1. 作 A1E⊥CC1,E 为垂足,则 A1E⊥平面 BCC1B1. 又直线 AA1∥平面 BCC1B1, 因而 A1E 为直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离, A 1E ? 3 . 因为 A1C 为∠ACC1 的平分线,故 A 1D ? A 1E ? 3 . 作 DF⊥AB,F 为垂足,连结 A1F. 由三垂线定理得 A1F⊥AB, 故∠A1FD 为二面角 A1-AB-C 的平面角. 由 AD ?

AA12 A1 D 2 ? 1 得 D 为 AC 中点,

AD 1 AC ? BC 5 DF ? ? ? , tan ?A1 FD= 1 ? 15 . DF 2 AB 5 所以二面角 A1-AB-C 的大小为 arctan 15 .
解法二:以 C 为坐标原点,射线 CA 为 x 轴的正半轴,以 CB 的长为单位长, 建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.

由题设知 A1D 与 z 轴平行,z 轴在平面 AA1C1C 内. (1)证明:设 A1(a,0,c),由题设有 a≤2,A(2,0,0),B(0,1,0), 则 AB ? (-2,1,0) , AC ? (?2,0,0) , AA ,c) , 1 ? (a-2,0

AC1 ? AC ? AA1 ? (a-4,0,c) , BA1 ? (a,-1,c) .
2 2 由 AA1 ? 2 得 ? a ? 2? ? c ? 2 ,

即 a2-4a+c2=0. 于是 AC1 ? BA 1 ? a -4a+c =0 ,所以 AC1⊥A1B.
2 2



(2)设平面 BCC1B1 的法向量 m=(x,y,z), 则 m ? CB , m ? BB1 , 即 m ? CB ? 0 , m ? BB1 ? 0 . 因 CB ? ? 0,1,0 ? , BB1 ? AA ,c) , 1 ? (a-2,0 故 y=0,且(a-2)x+cz=0. 令 x=c,则 z=2-a,m=(c,0,2-a),点 A 到平面 BCC1B1 的距离为

CA ? | cos 〈m, CA〉 |?

CA ? m m

?

2c c ? (2 ? a)2
2

?c.

又依题设,A 到平面 BCC1B1 的距离为 3 ,所以 c ? 3 . 代入①解得 a=3(舍去)或 a=1. 于是 AA 1 =( ? 1,0, 3) . 设平面 ABA1 的法向量 n=(p,q,r), 则 n ? AA 1 , n ? AB , 即 n ? AA 1 ? 0,

n ? AB ? 0 , ? p ? 3r ? 0 ,且-2p+q=0.
令 p ? 3 ,则 q ? 2 3 ,r=1, n ? ( 3,2 3,1) . 又 p=(0,0,1)为平面 ABC 的法向量,

〈n, p〉 ? 故 cos

n? p 1 ? . | n || p | 4
1 . 4

所以二面角 A1-AB-C 的大小为 arccos

20.(本小题满分 12 分)(2014 大纲全国,理 20)设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用 某种设备的概率分别为 0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望. 分析:(1)设出事件的字母表示,用所设字母表示所求事件,利用事件的相互独立性求出 所求问题的概率. (2)明确随机变量的取值:X=0,1,2,3,4.把随机变量转化为相应的事件,利用事件的相互 独立性求出每个随机变量取相应值的概率,较复杂的概率可用分布列的性质去求.利用数学 期望公式求得 X 的数学期望. 解:记 Ai 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备,i=0,1,2, B 表示事件:甲需使用设备, C 表示事件:丁需使用设备, D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备. (1) D ? A 1 ? B?C ? A 2 ?B? A 2 ? B?C . P(B)=0.6,P(C)=0.4, P ? Ai ?=Ci2 ? 0.52 ,i=0,1,2, 所以 P(D) ? P( A 1 ? B?C ? A 2 ?B? A 2 ? B ? C) = P ? A1 ? B ? C ? +P ? A2 ? B ? +P( A2 ? B ? C ) = P ? A1 ? P ? B ? P ? C ? +P ? A2 ? P ? B ? +P ? A2 ? P( B)P ? C ? =0.31. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4,其分布列为

P( X ? 0) ? P(B ? A0 ? C)
= P(B)P( A0 )P(C) =(1-0.6)×0.52×(1-0.4) =0.06,

P( X ? 1) ? P(B ? A0 ? C ? B ? A0 ? C ? B ? A1 ? C)
= P(B)P( A0 )P(C) ? P(B)P( A0 )P(C) ? P(B)P( A 1 ) P(C) =0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4) =0.25, P(X=4)=P(A2· B· C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06, P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25, P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4) =1-0.06-0.25-0.25-0.06 =0.38, 数学期望 EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4) =0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06 =2. 21.(本小题满分 12 分)(2014 大纲全国,理 21)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F, 直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且 QF =

5 PQ . 4

(1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M,N 两点, 且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 分析:(1)设出 Q 点坐标,利用 QF =

5 PQ 列出关于 p 的方程,借助于 p 的几何意义及 4

抛物线的性质确定 p. (2)通过题设分析判断直线 l 与 x 轴不垂直.因直线 l 过 F(1,0),可设 l 的方程为 x=my+

1(m≠0). 直线 l 与抛物线方程联立,利用韦达定理得到 y1+y2,y1y2 关于 m 的表达式,借助弦长 公式得 | AB |?

m 2 ? 1 | y1 ? y2 | (其中 A(x1,y1),B(x2,y2)),同理可得

| MN |? 1 ?

1 | y3 ? y4 | (其中 M(x3,y3),N(x4,y4)). m2

由题目中的 A,M,B,N 四点在同一圆上得到关于 m 的方程,进而求出 m,得到直线 l 的方程.

8 . p 8 p p 8 所以 | PQ |? , | QF |? ? x0 ? ? . p 2 2 p p 8 5 8 由题设得 ? ? ? , 2 p 4 p
解:(1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px 得 x0 ? 解得 p=-2(舍去)或 p=2. 所以 C 的方程为 y2=4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0). 代入 y2=4x 得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故 AB 的中点为 D(2m2+1,2m),

| AB |? m 2 ? 1 | y1 ? y2 |? 4(m 2 ? 1) .
又 l′的斜率为-m,所以 l′的方程为 x ? ? 将上式代入 y2=4x,并整理得 y ?
2

1 y ? 2m 2 ? 3 . m

4 y ? 4(2m 2 ? 3) ? 0 . m 4 设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3 ? y4 ? ? ,y3y4=-4(2m2+3). m 2 2 ? ? 2 故 MN 的中点为 E ? 2 ? 2m ? 3, ? ? , m? ?m

1 4(m2 ? 1) 2m2 ? 1 3 4 | MN |? 1 ? 2 | y ? y |? m m2
由于 MN 垂直平分 AB,故 A,M,B,N 四点在同一圆上等价于 AE = BE = 从而

1 MN , 2

1 1 | AB |2 ? | DE |2 ? | MN |2 , 4 4
2 2 2 2

2 2 2 2? ? 2 ? ? 4? m ? 1? ? 2m ? 1? 即 4(m +1) + ? 2m ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? , m? ?m m4 ? ?

化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1. 所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.

22.(本小题满分 12 分)(2014 大纲全国,理 22)函数 f ? x ? =ln( x+1) ? (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设 a1=1,an+1=ln(an+1),证明:

ax (a>1). x?a

2 3 ? an ? . n?2 n?2

思路分析:(1)通过观察 f(x)及要求的结论,先求出 f(x)的定义域,借助于导数这一工具讨

论 f(x)的单调性.由于 0 与 a2-2a 的大小关系不确定,因而要分类讨论.再借助于导函数讨 论 f(x)的单调性. (2)借助第(1)问的结论, 利用赋值法得到

2x 3x ? ln( x ? 1) ? .由于问题是关于 n 的证 x?2 x?3

明问题,想到利用数学归纳法证明,注意当 n=k+1 时,要利用 n=k 的结论及

2x 3x ? ln( x ? 1) ? . x?2 x?3
(1)解:f(x)的定义域为(-1,+∞), f ? ? x ? ?

x[ x ? (a 2 ? 2a)] . ( x ? 1)( x ? a)2

①当 1<a<2 时,若 x∈(-1,a2-2a),则 f′(x)>0,f(x)在(-1,a2-2a)是增函数; 若 x∈(a2-2a,0),则 f′(x)<0,f(x)在(a2-2a,0)是减函数; 若 x∈(0,+∞),则 f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)是增函数. ②当 a=2 时,f′(x)≥0,f′(x)=0 成立当且仅当 x=0,f(x)在(-1,+∞)是增函数; ③当 a>2 时,若 x∈(-1,0),则 f′(x)>0,f(x)在(-1,0)是增函数; 若 x∈(0,a2-2a),则 f′(x)<0,f(x)在(0,a2-2a)是减函数; 若 x∈(a2-2a,+∞),则 f′(x)>0,f(x)在(a2-2a,+∞)是增函数. (2)证明:由(1)知,当 a=2 时,f(x)在(-1,+∞)是增函数. 当 x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=0,即 ln( x ? 1) ? 又由(1)知,当 a=3 时,f(x)在[0,3)是减函数. 当 x∈(0,3)时,f(x)<f(0)=0,即 ln( x ? 1) ? 下面用数学归纳法证明

2x (x>0). x?2

3x (0<x<3). x?3

2 3 ? an ? . n?2 n?2 2 ①当 n=1 时,由已知 ? a1 ? 1 ,故结论成立; 3 2 3 ? ak ? ②设当 n=k 时结论成立,即 . k ?2 k ?2
当 n=k+1 时,

2 k ?2 ? 2 , 2 ?2 k ?3 k ?2 3 3? ? 3 ? k ?2 ? 3 , ak +1 =ln(ak +1) ? ln ? ? 1? ? 3 ?k ?2 ? ?3 k ?3 k ?2 2 3 ? ak ?1 ? 即当 n=k+1 时有 ,结论成立. k ?3 k ?3 ? 2 ? ak ?1 ? ln(ak ? 1) ? ln ? ? 1? ? ?k ?2 ? 2?
根据①,②知对任何 n∈N*结论都成立.


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