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3.1 直线的倾斜角与斜率


3.1 直线的倾斜角和斜率

主要内容
3.1.1 倾斜角与斜率 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

3.1.1

倾斜角与斜率

在平面直角坐标系里
y

点用 坐标 表示:

p ( x, y )

直线如何

表示呢?
y

x

o

思考: 一条直线的位置由 哪些条件确定呢?

x

o

倾斜角与斜率
对于平面直角坐标系内的一条直线l,它的位置 由哪些条件确定呢? 两点确定一条直线.
还有其他方法吗?或者说如 果只给出一点,要确定这条直线 还应增加什么条件?

直线的位置
我们知道,两点确定一条直线。
y

x

o

一点能确定一条 直线的位置吗?

过一点P可以作无数条直线l 1, l 2 , l 3 ,… 它们都经过点P (组成一个直线束),这些直线 区别在哪里呢? y
l O

P

x

问:在直角坐标系中,下图中的四条直线 在位置上有什么联系和区别? 1. 经过同一点P 2. 倾斜程度不同

y P o

x

容易看出,它们的倾斜程度不同。怎样描述 直线的倾斜程度呢?
y l O

P

x

一、直线的倾斜角
1、定义:当直线 l 与x轴相交时,x轴正方向 与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的 倾斜角。 y
l

2、规定:当直线与x轴平行或重 合时,它的倾斜角为0° O 3、直线倾斜角的范围是: 0? ? ?

x

? 180?

4、确定一条直线位置的要素是:
直线上一个定点,倾斜角

按倾斜角(0???<180?去分类,直线可分类?
y p o

l
x

y p o

l

y p o

y

?

?x

?

p

x

o

l
x

l
0°< ? < 90°

? = 90°
直角

90°< ? <180°

? = 0°
零度角

锐角

钝角

下列各图中标出的角α是直线的倾斜角吗?

y
o α

y

y o α

y x
o α

x

o αx

x

5、直线倾斜角的意义
体现了直线对x轴正方向的倾斜程度
平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角, 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角 倾斜程度相同的直线其倾斜角相同.

直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系?

6、直线倾斜角的意义
体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中,每一条直线都 有一个确定的倾斜角。
倾斜程度 ? 倾斜角

倾斜角相同能确 定一条直线吗? 相同倾斜角可作无 数互相平行的直线
l3

y

l 2 l1

o

x

7、如何才能确定直线位置?
y

l

一点+倾斜角 ? 确定一条直线
(两者缺一不可)

x

o

a

过一点且倾斜角为 a 能不能确定一条直线?



二、直线的的斜率
思考?日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?
如图3.1-3,日常生活中,我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面 的“坡度”(倾斜程度),即

升高量 坡度 ? 前进量

D
C
升 高 量

设直线的倾斜程度为K
k AC ? BC AB BD

? tan ?

k AD ?

AB

? tan?

A

? ?
前进量

B

1、直线的斜率的定义

一条直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这 条直线的斜率。
通常用小写字母k表示,即

k ? tan ? (? ? 90 )
?
倾斜角是90? 的直线的斜率不存在。

倾斜角α不是90°的直线都有斜率,并且倾 斜角不同,直线的斜率也不同。因此,可以用 斜率表示直线的倾斜程度。

1.当倾斜角α =0?,30?,45?,60?时,这条直线
的斜率分别等于多少?

2.当倾斜角α =120?,135?,150?时,这条直线

的斜率分别等于多少?

tan 0? ? 0

3 tan 30? ? 3 tan 45? ? 1

tan120? ? ? tan 60?? ? 3 tan135? ? ? tan 45?? ?1

3 tan150? ? ? tan 30?? ? tan 60? ? 3 3 tan ? ? ? tan(180? ? ? ) tan 90?不存在

当a ? 90?时 k ??

y

o

x

思考:当直线与 x 轴垂直时, 直线的倾斜角是多少?

a ? 90 ? tana(不存在)
?

即k不存在

特殊角的正切值

角度 正切 角度


0

30°
3 3

45°
1

60°
3

90°

120°

135°

150°
3 3

正切

无意义

? 3

-1

?

直线的倾斜角与斜率之间的关系:
直线 情况 平行于 x 轴 由左向 右上升 垂直 于 x轴 由左向右 下降

倾斜角 α的大小
斜率k的 范围

? ? 0? 0? ? ? ? 90? ? ? 90? 90? ? ? ? 180 ? 0???????? 增大到 90? 90???????? 增大到 180? ? ?
k=0 k>0

0??????? 增大到 +? ?

不存在

k<0

-???????? 增大到 0 ?

倾斜角互补,斜率互为相反数

Y

p
O

?

.
X
(1)

Y
K>0

p
O

. .

?

K<0

X
(2)

Y

p
O

.

K不存在

Y

K=0

? ? 90
X

o

p ? ? 0o
O X

(3)

(4)

练习
在图中的直线l1 , l2 , l3的斜率k1 , k2 , k3的大小 关系为____________

l2 l3 l1

下列哪些说法是正确的( E )
A 、任一条直线都有倾斜角,也都有斜率.
B、直线的倾斜角越大,斜率也越大. C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°. D 、两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等. E 、两直线的斜率相等,它们的倾斜角也相等.

3.当直线的倾斜角在什么范围时,其斜率k>0?
当直线的倾斜角在什么范围时,其斜率k<0? 倾斜角为锐角时,k>0; 倾斜角为钝角时,k<0; 倾斜角为0?时,k=0.

如果给定直线的倾斜角,我们当然可以根据斜率 的定义 k =tanα求出直线的斜率;
如果给定直线上两点坐标,直线是确定的,倾斜 角也是确定的,斜率就是确定的,那么又怎么求出直

线的斜率呢?

锐角
y
y2
y1

k ? tan ?
能不能构造 一个直角三 如图,当 α为锐角时, 角形去求? P2 ( x2 , y2 )

?
P 1 ( x1 , y1 )

? ? ?P2 P 1Q,

Q( x2 , y1 )

且x1 ? x2 , y1 ? y2

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 P ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 P 1Q中

?0

钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为钝角是, ? ? ? 180 ? ? , 且x1 ? x2 , y1 ? y2 tan? ? tan( 180? ? ? )
P 1 ( x1 , y1 )

?
Q( x2 , y1 )

o

x1

x2

?

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

? ? tan? 在Rt?P2QP 中 1 P2Q y2 ? y1 ? tan? ? x1 ? x2 P 1Q

?0

思考?
1、当
y
P2 ( x2 , y2 )

p1 p 2 的位置对调时, k
P 1 ( x1 , y1 )

值又如何呢?

?

y

P 1 ( x1 , y1 )

Q( x2 , y1 )

? o

?

(3)

x

o

Q( x2 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

?

(4)

x

请同学们课后推导!

思考?
2、当直线平行于x轴,或与 x轴重合时, ? k ? tan0 ? 0 上述公式还适用吗?为什么?

? ?0

?

y
P 1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

x1 o

x2

x

答:成立,因为 分子为0,分母不 为0,k=0

思考?
3、当直线垂直于x轴,或与y轴重合时, k不存在 上述公式还适用吗?为什么?

? ? 90 , tan90 (不存在)
? ?

y

y2

P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

y1

o

x

答:不成立,因 为分母为0。

三、直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )的直线的斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2
P 2 公式的特点: P 1 P 1 P 2
(1)与两点的顺序无关; (2)当α=900 时,公式不适用; (2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过直线上 任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角。

归纳: 对于斜率公式要注意下面四点:
(1) 当x1=x2时,公式右边无意义,直线的 斜率不存在,

倾斜角?= 90 ,直线与 x轴垂直;
o

(2) k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的

前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;
(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐

标求得;
(4) 当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角?=0 ,直线
o

与x轴平行或重合.

例1、如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2),求

直线AB、BC、CA的斜率,并判断这 些直线 的倾斜角是什么角? y . A B 解: . 2?2 . . . .o . . . 直线AB的斜率 k AB ? ?0 x ?8? 4 . ?2?2 ?4 1
直线BC的斜率

k BC ?

0 ? (?8)

?

8

??

2

C

直线CA的斜率 ∵ ∵ ∵

kCA

k AB ? 0

2 ? (?2) 4 ? ? ?1 4?0 4

∴直线AB的倾斜角为零度角。
∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∴直线CA的倾斜角为锐角

kBC ? 0 kCA ? 0

典型例题
例1 如图 ,已知 A( 3,2), B( ?4,1), C (0,?1) ,求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角 y 是锐角还是钝角. 解:k AB ? 1 ? 2 ? 1 ; A ?4?3 7 B ?1?1 ? 2 1 k BC ? ? ?? ; O x 0 ? ( ?4 ) 4 2 C ?1? 2 ? 3 kCA ? ? ? 1; 0?3 ?3 变式1 :若D在线段BC上移动,求直线AD的斜率的取 值范围; 变式2 :若E在线段AB上移动,求直线CE的斜率的取 值范围;

例2、在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率 分别为1,-1,2和-3的直线 l1 , l2 , l3及l4 。
解:取 l1上某一点为 A1 的 坐标是 ( x1 , y1 ),根据斜率公式 有: y1 ? 0 1? , x1 ? 0
即 x1 ? y1 .
y A3 A1 O A2 A4

l3

l1

x

l2

设 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1 ,于是 A1的坐标是 (1,1) .过 原点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 . 同理 l2 是过原点及 A2 (1,-1) 的直线,l3 是过原点 及 A3 (1, 2) 的直线,l4 是过原点及 A4 (1,-3) 的直线。

l4

例3. 已知三点A(a, 2)、B(5, 1)、C(-4, 2a)

在同一直线上,求a的值.

练习
1.当且仅当m为何值时,经过两点A(m,3)、
B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为60 ?
o

小结
1 直线倾斜角的概念
2 直线的倾斜角与斜率的对应关系 3 已知两点坐标,如何求直线的斜率? 斜率公式中脚标1和2有顺序吗?
y2 ? y1 y1 ? y2 k? ? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1 x1 ? x2

直线的倾斜角 ? 定义 取值范围 三要素

斜率 K
K ? tan?

斜率公式

? ? ?0?,180?

?

K ? ?? ?,???

y 2 ? y1 K? x2 ? x1 K ? ?? ?,???

四、小结:

1、知识小结

(1)直线的倾斜角定义及其范围: 0? ? ? ? 180? ? (2)直线的斜率定义:k ? tan a (a ? 90 ) (3)斜率k与倾斜角? 之间的关系:

2、思想方法:类比;几何问题代数化

?? ? 0? ? k ? tan 0? ? 0 ? ? ? (? 越大,k也越大) ?0 ? ? ? 90 ? k ? tan ? ? 0 ? ? ? ? 90 ? tan ? (不存在) ? k 不存在 ? ?90? ? ? ? 180? ? k ? tan ? ? 0 (? 越大,k也越大) ? y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) (4)斜率公式: x2 ? x1 x1 ? x2

3.1.2
两条直线的平行与垂 直的判定

在平面直角坐标系下,倾斜角可以表示直 线的倾斜程度, 斜率也可以表示直线倾斜程 度。我们能否通过直线斜率来判断两条直线的 位置关系?

y
y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

l1
α

l2 x

O

设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2
若l1∥l2, 则k1,k2满足什么关系?

y

l1 α1

l2 α2

l1 // l2 ? ?1 ? ? 2

O

x

k=tan?

l1 // l2且斜率都存在? k1 ? k2

两条直线平行的条件
反之, 若k1=k2, ,则易得 l1∥l2 对于两条不重合的直线,平行的充要条件

l1 // l2 ? k1 ? k2或斜率都不存在

例1. 已知A、B、C、D四点的坐标,试判断直 线AB与CD的位置关系. (1)A(2,3), B(-4,0), C(-3,l), D(-l,2); (2)A(-6,0),B(3,6), C(0,3), D(6,-6)

例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形 ABCD的形状,并给出证明.

y A o

D

C

B

x

两条直线的垂直判定
如果两直线垂直,这两条直线的倾斜角有什么 关系?斜率呢? 如图,设直线l1与l2的倾斜角 分别为α1与α2,且α1<α2, y 因为l1⊥l2 ,所以α2=900+α1
1 tan? 2 ? ? cot?1 ? ? tan?1

l2

l1 α
α
2

O

1

x

1 所以k 2 ? ? k1

当k1· k2 =-1时,直线l1与l2一定垂直吗?

两条直线的垂直判定
对于直线l1和l2,其斜率分别为k1,k2,根据 上述分析可得什么结论?

y
l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1

l2 α

l1
1

α

2

O

x

特殊情况
对于两条互相垂直的直线l1和l2,若一条直 线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率如何?

y

l1
l2

O

x

下列哪些说法是正确的( C)
A 、两直线l1和l2的斜率相等,则 l1 ∥ l2;
B、若直线l1 ∥ l2,则两直线的斜率相等;

C、若两直线l1和l2中,一条斜率存在,另一条斜率不存 在,则l1和l2相交; D、若直线l1和l2斜率都不存在,则l1 ∥ l2;
E、若直线l1 ⊥ l2,则它们的斜率之积为-1;

例3. 已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3), Q(6,-6),试判断直线AB与PQ的位置关系.

例4 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3), 试判断△ABC的形状.

y

C

B
o A x

例5 已知点A(m,1),B(-3,4),C(1, m),D(-1,m+1),分别在下列条件下求实 数m的值: (1)直线AB与CD平行; (2)直线AB与CD垂直.

小结
结论1:对于两条不重合的直线l1和l2 : (1)l1 // l2 ? ?1 ? ? 2 ; (2)l1 // l2 ? k1 ? k 2 或k1 , k2都不存在.
l1∥l2 k1=k2. 条件:不重合、都有斜率 结论2: 对于任意两条直线l1和l2 : (1)l1 ? l2 ? ? 2 ? ?1 ? 900 ;
(2)l1 ? l2 ? k1 ? k 2 ? ?1 或k1 , k2中一个为 0, 另一个不存在 . l1⊥l2 k1k2=-1. 条件:都有斜率

3. 思想方法
倾斜角、平行是几何概念, 坐标、斜率 是代数概念,解析几何的本质是用代数方法 来研究几何问题.


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