tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

竞赛讲座16-不等式


教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)

竞赛讲座 16 -不等式
不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大,灵活性强,要求很高的 技巧,常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且,不论是几何、数论、 函数或组合数学中的许多问题,都可能与不等式有关,这就使得不等式的问题(特 别是有关不等

式的证明)在数学竞赛中显得尤为重要。 证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样,没有固定的模式,证法因题而异, 灵活多变,技巧性强。但它也有一些基本的常用方法,要熟练掌握不等式的证明技 巧,必须从学习这些基本的常用方法开始。 一、不等式证明的基本方法 1.比较法 比较法可分为差值比较法和商值比较法。 (1)差值比较法 原理 A- B>0 A>B.

【例 1】(l)m、n 是奇偶性相同的自然数,求证: (a +b )(a +b )<2(a +b )。
m m n n m+n m+n

(2)证明:

·

·





【例 2】设 a1≤a2≤?≤an,b1≤b2≤?≤bn,j1,j2,?,jn 是 1,2,?,n 的任意一个排 列,令

S=a1

+ a2

+?+ an

,S0=a1bn+a2bn-1+?+anb1,S1=a1b1+a2b2+?+anbn。

求证:S0≤S≤S1。 (2)商值比较法

原理



>1,且 B>0,则 A>B。

教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)

教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)

【例 3】已知 a,b,c>0,求证:a b c ≥a b c 。 2.分析法

2a 2b 2c

b+c c+a a+b

【例 4】若 x,y>0,求证:

>
4


4 4 2 2 2 2 2 2

【例 5】若 a,b,c 是△ABC 的三边长,求证:a +b +c <2(a b +b c +c a )。 3.综合法 【例 6】若 a,b,c>0,求证:abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。

【例 7】已知△ABC 的外接圆半径 R=1,S△ABC=

,a,b,c 是△ABC 的三边长,令

S= 求证:t>S。 4.反证法

,t=



【例 8】已知 a +b =2,求证:a+b≤2。 5.数学归纳法

3

3

【例 9】证明对任意自然数 n, 二、不等式证明的若干技巧



无论用什么方法来证明不等式,都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往 往要求具有很高的技巧,必须善于分析题目的特征,根据题设条件,综合地利用添、 拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质,找到突 破口。 1. 变形技巧

【例 1】若 n∈N,S=

+

+···+



教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)

教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)

求证:n<S<n+1。 【例 2】(1)若 A、B、C∈[0,π ],求证:

sinA+sinB+sinC≤3sin



(2)△ABC 的三内角平分线分别交其外接圆于 A‘,B’,C‘,求证:S△ABC≤S△A’B‘C’。 2. 引入参变量 【例 3】将一块尺寸为 48×70 的矩形铁皮剪去四角小正方形后折成一个无盖长方体 铁盒,求铁盒的最大容积。
2 2 2 2 2 2

【例 4】在△ABC 中,求证:a +b +c ≥4

△+(b-c) +(c-a) +(a-b) 。

其中,a,b,c 是△ABC 的三边长,△= S△ABC。 3. 数形结合、构造

【例 5】证明: 4. 递推





【例 6】 已知: 1= x 三、放缩法

, 2= x

, ···, n= x

。 求证:



【例 1】若 n∈N,n≥2,求证:



【例 2】α 、β 都是锐角,求证:

≥9。

【例 3】已知:a1≥1,a1 a2≥1,···,a1 a2···an≥1,求证:


教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)

教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)

【例 4】S=1+

+

+···+

,求 S 的整数部分[S]。

【例 5】设 a0=5,an=an-1+

,n=1,2,·。求证:45<a1000<45.1。 · ·

[相关优质课视频请访问:教学视频网 http://www.sp910.com/] [文章来源:教师之家 http://www.teacher910.com/ 转载请保留出处]

教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)


推荐相关:

七数培优竞赛讲座第16讲__不等式(组)的应用

新课标七年级数学竞赛讲座十六不等式(组)的应用 在客观世界中,相等的关系是相对的、局部的,不等的关系是绝对的、普遍的,因此, 我们常常需要比较一些量的...


初中数学培优竞赛讲座第16讲__不等式(组)的应用

初中数学培优竞赛讲座16讲__不等式(组)的应用_学科竞赛_初中教育_教育专区。初中数学培优竞赛,附答案第十六不等式(组)的应用 在客观世界中,相等的关系是相...


竞赛讲座5不等式

竞赛讲座5不等式_学科竞赛_初中教育_教育专区。竞赛讲座 第五章 不等式 一、...安振平竞赛不等式讲座 56页 免费 竞赛讲座 16不等式 4页 1下载券 高中数学...


竞赛数学不等式完整版

竞赛数学不等式完整版_学科竞赛_高中教育_教育专区。竞赛数学不等式,不等式证明的基本技巧不等式证明的基本技巧数学竞赛的历史,可以追溯到 16 世纪意大利求解三次方程...


2013竞赛专题——著名不等式汇集

奥数竞赛讲座20-排列、组... 4页 免费2​0​1​3​竞​赛​专​...e ? 16, 试确定 e 的最大值. 证 由算术平方平均不等式得: a2 ? b2 ?...


数学不等式(竞赛)

安振平竞赛不等式讲座 56页 免费 竞赛中的不等式 9页 免费 数学竞赛平面几何 ...abc ? . 即 9 27 (本题巧妙的运用了特殊不等式以及辅助函数) 例 16.设 ...


新高一竞赛不等式入门讲课讲稿

新高一竞赛不等式入门讲课讲稿_高一数学_数学_高中教育_教育专区。不等式竞赛...13c 16 10.已知 a, b, c 为三角形三条边,证明: abc ? (a ? b ? ...


第16讲 不等式(组)的应用

新课标七年级数学竞赛讲座十六不等式(组)的应用 在客观世界中,相等的关系是相对的、局部的,不等的关系是绝对的、普遍的,因此,我们常常需要比 较一些量的...


高中数学竞赛讲座 11三角运算及三角不等式

高中数学竞赛讲座 11三角运算及三角不等式_学科竞赛_高中教育_教育专区。竞赛讲座...。 a?b?c 3 例 16.在锐角△ ABC 中,求证 (1) sin A ? sin B ? ...


16专题十六不等式的解法

16专题十六不等式的解法 不等式的解法不等式的解法隐藏>> 一元二次不等式的解法(一)知识梳理: 1、一元二次不等式: [来源:Z§xx§k.Com] ? ? b 2 ? ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com