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竞赛讲座16-不等式


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竞赛讲座 16 -不等式
不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大,灵活性强,要求很高的 技巧,常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且,不论是几何、数论、 函数或组合数学中的许多问题,都可能与不等式有关,这就使得不等式的问题(特 别是有关不等式的证明)在数学竞赛中显得尤为重要。 证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样,没有固定的模式,证法因题而异, 灵活多变,技巧性强。但它也有一些基本的常用方法,要熟练掌握不等式的证明技 巧,必须从学习这些基本的常用方法开始。 一、不等式证明的基本方法 1.比较法 比较法可分为差值比较法和商值比较法。 (1)差值比较法 原理 A- B>0 A>B.

【例 1】(l)m、n 是奇偶性相同的自然数,求证: (a +b )(a +b )<2(a +b )。
m m n n m+n m+n

(2)证明:

·

·





【例 2】设 a1≤a2≤?≤an,b1≤b2≤?≤bn,j1,j2,?,jn 是 1,2,?,n 的任意一个排 列,令

S=a1

+ a2

+?+ an

,S0=a1bn+a2bn-1+?+anb1,S1=a1b1+a2b2+?+anbn。

求证:S0≤S≤S1。 (2)商值比较法

原理



>1,且 B>0,则 A>B。

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【例 3】已知 a,b,c>0,求证:a b c ≥a b c 。 2.分析法

2a 2b 2c

b+c c+a a+b

【例 4】若 x,y>0,求证:

>
4


4 4 2 2 2 2 2 2

【例 5】若 a,b,c 是△ABC 的三边长,求证:a +b +c <2(a b +b c +c a )。 3.综合法 【例 6】若 a,b,c>0,求证:abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。

【例 7】已知△ABC 的外接圆半径 R=1,S△ABC=

,a,b,c 是△ABC 的三边长,令

S= 求证:t>S。 4.反证法

,t=



【例 8】已知 a +b =2,求证:a+b≤2。 5.数学归纳法

3

3

【例 9】证明对任意自然数 n, 二、不等式证明的若干技巧



无论用什么方法来证明不等式,都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往 往要求具有很高的技巧,必须善于分析题目的特征,根据题设条件,综合地利用添、 拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质,找到突 破口。 1. 变形技巧

【例 1】若 n∈N,S=

+

+···+



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求证:n<S<n+1。 【例 2】(1)若 A、B、C∈[0,π ],求证:

sinA+sinB+sinC≤3sin



(2)△ABC 的三内角平分线分别交其外接圆于 A‘,B’,C‘,求证:S△ABC≤S△A’B‘C’。 2. 引入参变量 【例 3】将一块尺寸为 48×70 的矩形铁皮剪去四角小正方形后折成一个无盖长方体 铁盒,求铁盒的最大容积。
2 2 2 2 2 2

【例 4】在△ABC 中,求证:a +b +c ≥4

△+(b-c) +(c-a) +(a-b) 。

其中,a,b,c 是△ABC 的三边长,△= S△ABC。 3. 数形结合、构造

【例 5】证明: 4. 递推





【例 6】 已知: 1= x 三、放缩法

, 2= x

, ···, n= x

。 求证:



【例 1】若 n∈N,n≥2,求证:



【例 2】α 、β 都是锐角,求证:

≥9。

【例 3】已知:a1≥1,a1 a2≥1,···,a1 a2···an≥1,求证:


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【例 4】S=1+

+

+···+

,求 S 的整数部分[S]。

【例 5】设 a0=5,an=an-1+

,n=1,2,·。求证:45<a1000<45.1。 · ·

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