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高等数学与初等数学的联系




13






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J














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。。

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Se p
.

.

N

o

.

3

{ 19 9 6 年 〕

JO U R N A I O F Z H O U K ( ) U



I E AC HE R S C( ) L L EG E

1996

高 等数 学 与 初 等 数 学 的 联 系
郭 纯

(数 学 系 )

师 范 专科 学 校 的 部 分 学 生 往 往 不 善 于 用 高等 数 学 的 知 识 来 指 导 在 中学 节 段 所 学 的 知 识 错误 地 认 为将 来作 为 一 名 中学教 师 没有 必 要 再 学 那 么 多 的 高 等 知 识 从 而 造 成 了 这 些
学 生 缺 乏 学 习 动力


,

,

,

,

为此 我 在 高等数 学 的 授课过 程 中 有 意 注 重 了 这 方 面 的 教 学
,

,

,



让学 生

了 解到 高 等 数 学 的 知识 不 仅 可 以 帮 助 我 们 验 证 一 些 中 学 里 所 学过 的 结 论 还 可 居 高 临 下 地

帮 我们 事 先 估 测 答 案 确 定 解 题 的 思 路 等
x 例 如 求 证椭 圆上任 一点 M (
:

,





这 里 仅 就 自己 在 讲授 隐 函 数 的 求 导 法 中 的 一 例



,

来 说 明用 高 等 数 学知 识 可 以 解 决 初 等数 学 中 的 问题
y。

) 处 的 法 线平 分 两 焦 点 F l

F Z

至 该点 连 线 的 夹 角 如

,

图(l )所示
:



解 不 妨 设 椭 园 的方 程 为
x Z

:

a /




+
:

y“

Z /b ~

1

,

L
,

l

L

x 分别为过点 M (
:


y



)

的切线与法
,

线 并分别用 m
问题 就是 角
:

m

:

表 示 它 们 的斜 率 求 证 的
,

a

一俘

这 里 我们 用 高等 数 学 中 的 求 导 法 则 可 直
x 接 求 得点 M (

,

y。
Z

) 处 的 切 线 斜率 m
1
y
,

,



其方 法
y
`

是对
d
y

x Z
.

/

a Z

+

y

Z

/b ~

求导 从 而 求 出
x


(



/ x d )

而 方程 确 定



的 隐 函数 对 于 隐 函
,

数 可 以 直 接从 确 定 隐 函 数 关 系 的方 程 按 复 合
函 数 的 求 导法 则求 出
y



x

的 导数


y

`

,

而不 需

1

要把

y

解为
:

x

的 显 函 数后 再 求 导
·

故可 对 方 程

逐 项 求导得
Zx

/ a “ + Zy
a Zy 。

y

`

Z /b ~

,

0


x 所 以在 点 M (

y。

: ` 。 ) 处 有 y ~ 一 b“ x a /

y

o

~ m

l

: Z 由解析 几 何 知 识 可 得在 M 点 处 m -

一 l /m l~

/b

Zx o

Z 而 F M 斜率 m

3 二二

y

/x (
o一
e c

`

I ; 。 十 C ) F M 的斜 率 m 一 y / ( x
,



一 C

.

)

则又

tg

a


a


t

, g ( 0一 日 )=

(
_

t g

tg

e )/
Z

l

(1+
Z

t

go
o

·

t

g OI )



y。

/

t 之x
。“



二 丁不 几
e


一 /b
Ze

y。

Zx 。

/(
(

x 。

x 。

+ +

)

) 一 b

(a 一b ) x y + a e y “、 。 2 “ 。“ 之 。 + a y + b ex



x o
2

y。
a Z

=
tg

毛 (
~ 日

干a + c
:

y。

e

y。

x



) =


。 tg日

t g

(O 一日 )二
y。

一tgo o
:

1+

t g

tg

e
“ x 。

/(

x 。



e

)一

a Zy 。

/b

一 l+
a y 一 Z 一子 b 一
艺e o

a Zy o Z

/b

’ x 。


(

x



一e )

e Zx o

y


o

c

y

z c b

x




a

从 而有

t g a
:

=

rg

户所 以

一尽
:

总 结 从 上 述结果 说 明 了 以 下 几 个 问 题

① 利 用 高 等 数 学 知 识 可 以 解 决初 等 数学 的 问 题 ② 若 由 焦 点 l F 发 出 光 线 至 椭 圆反 射
;

后 必 通 过 另 一 个焦 点
,

,

F Z

,

从 而 又 证 明 了 在 中 学 学 过 的 椭 圆 的 光 学性 质 ③ 在 求椭 圆 上 任 意
;
、 。

一 点 处 的 斜率 时 提 出 了 如 何 利 用 复 合 函 数 的 求 导 法 则 来求 隐 函 数 的 导 数 的 方 法 ; ④ 让 学 生 了 解 到 高 等 数 学 与初 等 数 学 物 理等 各科 知 识 间都 有着 内在 的 联 系
:
, , ,

评 析 在 高等 数 学 课 的 教 学 过 程 中 如果 把 问 题 绝 对 化 起 来 只 去 讨 论 现成 的命 题 就 会 把 教 学 引 上 单 纯 的传 授 知 识 方 面 去 从 而 自觉与 不 自觉 地堵 塞 了 学 生 积极 探 索 未 知 的 思 路
, ,

,

影 响 了 学生 积 极 性 的 调 动 和 发挥 这 样 就不 利 于 培 养 学 生 的 独 立探 索能 力 和 激 发 他 们 学 习

高等知 识 的兴趣
,



因 此 在教学 过 程 中 注 意 正 确 地 启 发 引 导学 生 从 某 些 熟 知的 数 学 问 题 ( 或
,
、 、 、 、

,

现 象 ) 出 发 通 过 比 较 鉴 别 进 行 科 学 的 观察 分 析 和 创造 地 提 出 猜 想 提 出 富 有 想 象 力 探 索 性 的 问题 从 而 发 展 思 维 的 准 确性 灵 活 性 联 想 性 达 到 温故 而 知 新 这 是数 学教 学 中 始终
要 注 意 的 问题


,

,

,

以 上 仅 是 个 人 的 点 滴 所 为 和 看 法 提 出 来 与 同行们探 讨

,



( 责任 编 样

张 富林 )


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