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惠州市2014---2015学年第一学期高二理科数学期末考试答案 (1.15)


惠州市 2014-2015 学年第一学期期末考试 高二理科数学试题答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1 C 2 B 3 C 4 A 5 A 6 C 7 D 8 D 9 B 10 A

, 2, 3, 4, 5} 中大于 3 的数有 4,5 两个,故 P ? 1.【解析】 {1
2.【解析】条件和结论同

时否定,故选 B

2 ,故选 C 5

3.【解析】

2x 1 3 1 ? ? ,? x ? ,故选 C 1 3 9 6

4.【解析】共有 7 个数,从小到大排在第 4 的数是 84,故选 A 5.【解析】全称命题的否定是特称命题,故选 A 6.【解析】

15 ?7 2

7 3 1, ? 3 1, ? 1 1, ?15 ? 1111 (2),故选 C 2 2

7.【解析】 ?AOB=?AOC ?

?

2

, ? OA ? 面 OBC ,?OA ? BC, OA ? BC ? 0 ,故选 D

2 2 2 8.【解析】椭圆中 c ? 2 3 , a ? 4 ,b ? a ? c ? 4, b ? 2 ,焦点在 y 轴上,故方程为

y 2 x2 ? ? 1, 16 4

故选 D 9.【解析】

40 ? ?12 ? ,? S ? 5? ,故选 B 200 S

10. 【解析】由题意可知,双曲线渐近线的倾斜角范围是 ? 0,

? ?

??

? ,渐近线斜率 k ? 0, 3 ,而 3?

?

?

c2 ? a2 c2 b c2 ? a2 2 ? 3 ,由此得不等式 ,故 2 ? e ? 4 ,所以 1 ? e ? 2 ,选 A k? ? 2 a a a a
二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 200 12. 60
o

13.13

14.

1 5 或 2 2

11.【解析】200, 0.01?10 ? 2000 ? 200 12.【解析】 cos ? ? cos u, v ?

(1,0,1)(?1,1,0) 1 ? , ? ? 60o 2 2 2

13.【解析】x=1,y=1,z=2;x=2,y=3,z=5;x=3,y=5,z=8;x=5,y=8,z=13
高二理科数学试题答案 第 1 页 共 6 页

14.【解析】设 PF 1 ? 6k , PF 2 ? 4k , F 1F 2 ? 5k 若为椭圆 若为双曲线

PF1 ? PF2 ? 2a ? 10k,?a ? 5k , F1 F2 ? 2c ? 5k ,? c ?

5k 1 ,? e ? 2 2 5 5k ,? e ? PF1 ? PF2 ? 2a ? 2k ,?a ? k , F1 F2 ? 2c ? 5k ,? c ? 2 2

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

5 n ? , ? n ? 20 …………………………4 分 500 500 ? 600 ? 900 2 m ? ,解得 m=2. (2)设所选取的人中,有 m 人在 40 岁以下,则 2?3 5 就是 40 岁以下抽取了 2 人,另一部分抽取了 3 人,分别记作 A1, A2 ; B1, B 2 , B 3 , ……6 分
15. 解: (1)由题意,得 则从中任取 2 人的所有基本事件为

( A1, B1), ( A1, B2), ( A1, B3), ( A2, B1), ( A2, B2), ( A2, B3), ( A1, A2), ( B1, B2), ( B1, B3), ( B2, B3)
共 10 个……………………………………………………………………………8 分 其中至少有 1 人在 40 岁以下的基本事件为

( A1, B1), ( A1, B2), ( A1, B3), ( A2, B1), ( A2, B2), ( A2, B3), ( A1, A2) 共 7 个
所以所求事件的概率 p ?

7 …………………………………………12 分 10

16. 解: (1)由题意可知抛物线的焦点在 x 轴上,开口向右

2p ? 4

?p ?2

…2 分

故焦点坐标为 (1, 0) ,准线为 x ? ?1 ………4 分 (2)由 ?

? y 2 ? 4x 消去 y 得 ? y ? 2x ? 4

x 2 ? 5x ? 4 ? 0

……6 分

解出 x1 ? 1 , x2 ? 4 ,……8 分 于是, y1 ? ?2 , y 2 ? 4 ……10 分 ……12 分 ……14 分

所以 A, B 两点的坐标分别为 A(4,4) , B(1,?2) 线段 AB 的长: | AB |?

(4 ? 1) 2 ? (4 ? 2) 2 ? 3 5

17.解: (1)由题意可知 C ? 0,0,0? , A 1 (1,0,2),B1 (0,1,2) (第 17 题图)
高二理科数学试题答案 第 2 页 共 6 页

故 CA 1 ? (1,0,2),CB1 ? (0,1,2) …………………………3 分 设 v ? ? x0 , y0 , z0 ? 为平面 A 1B 1C 的法向量,则

v ? CA1 ? ? x0 , y0 , z0 ? (1,0, 2) ? x0 ? 2 z0 ? 0 ,…………………………5 分 v ? CB1 ? ? x0 , y0 , z0 ? (0,1, 2) ? y0 ? 2 z0 ? 0 …………………………7 分
? x0 ? ?2 z0 令 z0 ? 1 ,则 v ? ? ?2, ?2,1? …………………………9 分 ? ? y0 ? ?2 z0
(2)设直线 AC 与平面 A 1B 1C 夹角为 ? , CA ? (1,0,0) …………………………10 分

sin ? ?

CA ? v CA v

?

?1,0,0?? ?2, ?2,1?
1? 2 ? 2 ? 1
2 2 2

2 ? …………………………14 分 3

18. 解: p | : x-| 4 ?6① 不等式①的解集为 ??2,10? ……………………………2 分

q :[ x-(1 -m)][ x-(1+m)] ? 0,(m ? 0)
∴不等式②的解集为 ?1 -m,1 +m? ……………………………4 分 ∵p 是 q 的充分不必要条件 ∴ ? ?2,10? ? ?1 -m,1 +m? ……………………………6 分

?1 ? m ? ?2 ?m ? 3 解得 ? ?? , ……………………………8 分 ?1 ? m ? 10 ?m ? 9
当 1 ? m ? ?2 时, m ? 3 , ??2,10? ? ?1 -m,1 +m? ? ??2,4? ? m ? 3 ; 当 1 ? m ? 10 时, m ? 9 , ??2,10? ? ?1 -m,1 +m? ? ??8,10? ? m ? 9 ;……………10 分 ∴ m ? 9, ∴实数 m 的取值范围是[9,+∞).……12 分 19.建立空间直角坐标系如图 B(0,0,0) 设 M ? x1, y1,z1 ? Z

A(1,0,0)

C(0,0,1)

F (1,1,0)

N ? x2 , y2 ,z2 ? ……1 分
y

高二理科数学试题答案

第 3 页 共 6 页

x

C , M , A 三点共线,且 CM ? a , CA ? 2

CM ?

a CA 2

即 ? x1 , y1 , z1 ? 1? ?

2 a(1, 0, ?1) 2

x1 ?

2 2 2 2 a, y1 ? 0, z1 ? 1 ? a,M( a, 0,1 ? a) ……4 分 2 2 2 2

B, N , F 三点共线,且 BN ? a , BF ? 2

BN ?

a BF 2

即 ? x2 , y 2 , z 2 ? ?

2 a(1,1, 0) , 2

x2 ?

2 2 2 2 a, y2 ? a, z2 ? 0 , N( a, a, 0) ……7 分 2 2 2 2

2 2 2 2 MN ? 0 ? ( a) ? (1 ? a) = a 2 ? 2a ? 1 ? 2 2

? 2? 1 a ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2

2

当a ?

2 2 , MN min ? ……9 分 2 2

(2)当 MN 最小时, M , N 为 AC , BF 的中点, M ?

?1 1? ?1 1 ? , 0, ? , N ? , , 0 ? ?2 2? ?2 2 ?

x 轴 ? 面 BCE ,取 u ? ?1,0,0? 为面 BCE 的法向量。……10 分
设 v ? ? x0 , y0 , z0 ? 为面 BMN 的法向量

高二理科数学试题答案

第 4 页 共 6 页

y ?1 1? x z ?1 1 ? x v ? BM ? ? x0 , y0 , z 0 ? ? , 0, ? ? 0 ? 0 ? 0 , v ? BN ? ? x0 , y0 , z 0 ? ? , , 0 ? ? 0 ? 0 ? 0 ?2 2? 2 2 ?2 2 ? 2 2
? x0 ? ? z0 ,令 z0 ? 1 , v ? ? ?1,1,1? ,……12 分 ? ? y0 ? z 0

? cos? ? cos v, u ?

v ?u u v

?

1 1? 3

?

3 3 ,由图可知 ? 为锐角,故 cos ? ? ……14 分 3 3

20.(1)由题意, | QA | ? | QB |?| QP | ? | QB |? 6 ? AB ? 4 , 根据椭圆的定义,Q 点轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆,且 a ? 3, c ? 2 ,………………2 分

b2 ? a 2 ? c 2 ? 9 ? 4 ? 5
∴曲线 C 的轨迹方程是

x2 y2 ? ? 1 .………………4 分 9 5

(2)先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线 l : y ? kx ? m ,则 由 l 与⊙O 相切得

|m| 1? k
2

? r 即 m 2 ? r 2 (1 ? k 2 )

①……………6 分

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 ,消去 y 得, (5 ? 9k ) x ? 18kmx? 9(m ? 5) ? 0 , ?1 ? ? 5 ?9
设 M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则由韦达定理得

x1 ? x2 ? ?

9(m2 ? 5) 18km x x ? , ……………8 分 1 2 5 ? 9k 2 5 ? 9k 2

OM ? ON ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m)

? (1 ? k 2 ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2
第 20 题 高二理科数学试题答案 第 5 页 共 6 页

?

9(1 ? k 2 )(m2 ? 5) 18k 2 m2 ? ? m2 2 2 5 ? 9k 5 ? 9k

?

14m 2 ? 45(1 ? k 2 ) ②……………………10 分 5 ? 9k 2
0

14m2 ? 45(1 ? k 2 ) ?0 由于满足 ?MON ? 90 ,对此 OM ? ON ? 5 ? 9k 2
2 结合①式 m ? r (1 ? k ) 可得 r ?
2 2 2

45 …………………………………………12 分 14

最后考虑特殊情况:
0 当满足 ?MON ? 90 的那条切线斜率不存在时,切线方程为

x ? ? r . 代入椭圆方程可得交点的纵坐标 y ? ? 5 ?
2 得到 r ?

5r 2 5r 2 0 ,因 ?MON ? 90 ,故 r ? 5 ? , 9 9

45 …………………………………………14 分 14

高二理科数学试题答案

第 6 页 共 6 页


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