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江苏省江阴市青阳中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题文(新)


2015-2016 学年第二学期期中考试 高二数学(文科)
一、填空题(共 14 题,每小题 5 分 ,共 70 分。请把答案填写在答题纸相应位置上) 1.已知集合 ,则集合 A 的子集的个数为 ▲ π 2.命题“若 α = ,则 tan α =1”的逆否命题是___▲_____ 4 ?a+i?=2,则正实数 a=__▲___ 3.已知 i 为虚数单位,? ? ? i

? 4.函数 y= 的值域为 ▲ 5.由①正方形的对角线相等;②矩形的对角线相等;③正方形是矩形.写一个“三段论”形式的推理,则 作为大前提、小前提和结论的依次为 ▲ (写序号) 6.函数 的增区间是 ▲ 7.若函数 f(x)=(m﹣1)x 是幂函数,则函数 g(x)=loga(x﹣m) (其中 a>0,a≠1)的图象过定点 A 的坐标为 ▲ . 8.已知命题 p: x ? 1 ? 2 和命题 q: ?1 ? x ? m ? 1 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 m 的取值范围 9.若 x ? e ,1 ,a=lnx,b= ▲ ,c=e ,则 a,b,c 的大小关系为
lnx α

?

?1

?



10.若 f(x)为 R 上的奇函数,且在 ? ??,0? 内是增函数,又 f(-2)=0,则 xf(x)<0 的解集为_▲ 11. 已知函数 f(x)是 R 上的偶函数, 若对于 x≥0, 都有 f(x+2)=-f(x), 且当 x∈[0,2)时, f(x)=log8(x +1),则 f(-2 013)+f(2 014)的值为___▲___ 12. 已知函数 f ( x) ? log a (2 x ? a) 在区间 ? 1 , 2 ? 上恒有 f ( x ) >0,则实数 a 的取值范围为▲ ? ?2 3? ? ?x+1,x≤0, ? 2 13.已知函数 f(x)=? 2 若关于 x 的方程 f (x)-af(x)=0 恰有 5 个不同的实数解,则 a ?x -2x+1,x>0, ? 的取值范围是___▲_____. 14.设函数 f(x)的定义域为 A,若 存在非零实数 k 使得对于任意 x ? M(M ? A) ,有 x+k ? A,且 f(x+k) ≥f(x) ,则称 f(x)为 M 上的 k 高调函数,如果定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数,当 x≥0 时,f(x) 2 2 =|x﹣a |﹣a ,且函数 f(x)为 R 上的 4 高调函数,那么实数 a 的取值范围为 ▲ 二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (本题满分 14 分)设复数 z=a+bi (a, b ? R, a>0, i 是虚数单位) , 且复数 z 满足 z ? 10 , 复数 ?1 ? 2i ? z 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数 z; (2)若 为纯虚数(其中 m ? R) ,求实数 m 的值.

16. (本题满分 14 分)设命题 p:关于 x 的函数 y ? ? a ?1? x 为增函数;命题 q:不等式

? x 2 ? 2 x ? 2 ? a 对一切实数均成立.若命题“p 或 q”为真命题,且“p 且 q”为假命题, 求实数 a 的取值范围.
? ? x ? 3 时,分别比较 1 ? y 和 1 ? x 与 2 17. (本题满分 14 分)若 x>0,y>0,且 x+y>2, (1) ? x ? 1 ? x ? ? , 2 ,? ? ? x y 1 ?y ? 2 ?y ? 3 ? ?y ? 2 ?

的大小关系; (2)依据(1)得出的结论,归纳提出一个满足条件 x、y 都成立的命题并证明.
1

18.(本题满分 16 分)在一次水下考古活动中,潜水员需潜入水深为 30 米的水底进行作业.其用氧量包 含以下三个方面:①下潜时,平均速度为每分钟 x 米,每分钟的用氧量为
2

升;②水底作业需要 10 分

钟,每分钟的用氧量为 0.3 升;③返回水面时,速度为每分钟 1 x 米,每分钟用氧量为 0.2 升;设潜水员 在此次考古活动中的总用氧量为 y 升. (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)若 x ? ? 4,8? ,求总用氧量 y 的取值范围.

19.(本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? (a ? 1) x a (a ? R) ,g(x)=|lgx|. (1)若 f(x)是幂函数,求 a 的值并求其单调递减区间; (2)关于 x 的方程 g(x﹣1)+f(1)=0 在区间 ,求 a ? 1 ? 1 的取值范围. ?1,3? 上有两不同实根 x ,x (x <x )
1 2 1 2

x1

x2

20.(本题满分 16 分)设函数 f ( x) ? ka ? a
x

?x

? a ? 0且a ? 1? 是奇函数.

2 (1)求常数 k 的值; (2)设 a ? 1 ,试判断函数 y=f(x)在 R 上的单调性,并解关于 x 的不等式 f(x )

+f(2x﹣1)<0. (3)若 f (1) ? 8 ,且函数 g ( x) ? a2 x ? a?2 x ? 2mf ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上的最小值为﹣2,
3

求实数 m 的值。

2

20 15-2016 学年第二学期高二数学(文) 期中考试试卷 参考答案及评分标准 2016.05 说明:本解答给出的解法仅供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 标准由组长制订相应的评分细则. 一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) π 1. 2 个; 2. 若 tan α ≠1,则 α ≠ ; 3. 3 ; 4 4. [0,1) ; 7.(3,0) ; 5. ②③① 8. ? 2, ??? 11. 1 3 ; 6. ? ??,1? 9. b>c>a; 12. ? ,1? ;

10.. (-2,0)∪(0,2) ; 13. (0,1)

?1 ? ?3 ?

14. ??1,1? 。

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分) 2 2 (1)设 z=a+bi(a,b ? R,a>0) ,由 得:a +b =10.① -------1’ 又复数(1+2i)z=(1+2i) (a+bi)=(a﹣2b)+(2a+b)i 在复平面上对应的点 在第一、三象限的角平分线上,则 a﹣2b=2a+b 即 a=﹣3b.② --------3’ 由①②联立方程组 解得 或 . , ----------------------------------5’

∵a>0,∴a=3,b=﹣1. ∴z=3﹣i; --------------------------7’ (2)由 z ? 3 ? i , 可得 = ∵ 为纯虚数,∴ , = , --------------------10’ ----------------------------------12’ -------------8’

解得 m=﹣5. -------------------------------14’ 16. (本题满分 14 分) 当命题 p 为真命题时, a ? 1 --------3’ 当命题 q 为真命题时,∴ a ? ?1 -----------------6’ 由命题“p 或 q”为真,且“p 且 q”为假,得命题 p、q 一真一假 ① 当 p 真 q 假时,则 ② ②当 p 假 q 真时,则 ∴实数 a 的取值范围是 ??1,1? . 17. (本题满分 14 分) (1)当 当 时, ,时, =8>2, =3>2, =1<2; ,无解; ----------------------9’ ------ --12’

,得﹣1≤a≤1,

-----------------------14’

?

1 <2; 2

3



时,

=

<2,

=

<2 ,

---------------------6’ 至少有一个小于 2.--------9’ -------------------------- ------10’

(2)命题:若 x>0,y>0 且 x+y>2,则 证明:假设 ≥2, ≥2,

∵x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y.∴2+x+y≥2x+2y,∴x+y≤2. 这与已知 x+y>2 矛盾. 假设不成立.∴ 18.(本题满分 16 分) (1)依题意,下潜所需时间为 ∴ 整理得: (x>0) ; ,当且仅当 分钟;返回所需时间为 , -------------------------6’ 即 x=6 时取等号,----8’ 分钟, 和 中至少有一个小于 2. -----14’

(2)由基本不等式可知 因为 x ? ? 4,8? ,所以

在 ? 4,6? 上单调递减,在 ?6,8? 上单调递增,---------12’

(用定义证明单调性,或求导均可;若直接写出结果,未说明单调性,则扣 2 分) 所以当 x=6 时,y 取最小值 7, 又因为当 x=4 时 ;当 x=8 时 . , -------------------------16’

所以 y 的取值范围是:

19.(本题满分 16 分) a (Ⅰ)∵f(x)=(a﹣1)x (a ? R) ,f(x)是幂函数, ∴由题有 a﹣1=1,得 a=2. -------------2’ 单调递减区间 ? ??,0? -------------4’ ----------5’ (Ⅱ)方程化为 g(x﹣1)=1﹣a, 由题有函数 y=g(x﹣1)与 y=1﹣a 在 x ? (1,3)上有两不同交点. y=g(x﹣1)=|lg(x﹣1)|= 在 x ? ?1, 2? 时,y=g(x﹣1)单调递减,y=g(x﹣1) ? ?0, ?? ? , (作图,数形结合给出关系式也可) 所以 0<1﹣a<lg2,即 1﹣lg2<a<1, 由 x1<x2,可知 x1 ? ?1, 2 ? ,x2 ? ? 2,3? , 且 即 -------------------7’

在 x ? ? 2,3? 时,y=g(x﹣1)单调递增,y=g(x﹣1) ??0,lg 2? ,----------------9’ --------------------------11’

相加消去 a,可得 lg(x1﹣1)+lg(x2﹣1)=0,即(x1﹣1) (x2﹣1)=1, 展开并整理得 x1x2=x1+x2,即 所以 . --------------------14’ ------------------16’

的取值范围为(2﹣lg2,2) .

20(本题满分 16 分) x ﹣x (1)(解法一):函数 f(x)=k?a ﹣a 的定义域为 R, f(x )是奇函数,所以 f(0)=k﹣1=0,即有 k=1.

---------------2’
4

当 k=1 时,f(x)=a ﹣a ,f(﹣x)=a ﹣a =﹣f(x) , 则 f(x)是奇函数,故所求 k 的值为 1; ----------4’ x ﹣x (解法二):函数 f(x)=k?a ﹣a 的定义域为 R, 由题意,对任意 x ? R,f(﹣x)=﹣f(x) , ﹣x x ﹣x x x ﹣x 即 k?a ﹣a =a ﹣k?a , (k﹣1) (a +a )=0, x ﹣x 因为 a +a >0,所以,k=1. ---------------4’ x ﹣x (2)由(1) ,f(x)=a ﹣a ,设 x1,x2 ? R,且 x1<x2,则: ; ∵a>1,x1<x2; ,又 ;

x

﹣x

﹣x

x

∴f(x1)﹣f(x2)<0;即 f(x1)<f(x2) ; ∴函数 f(x)在 R 上是单调递增函数; 2 2 由 f(x )+f(2x﹣1)<0,得 f(x )<﹣f(2x﹣1) ; 2 即 f(x )<f(1﹣2x) ; f(x)在 R 上单调递增; --------------------8’ 2 2 ∴x <1﹣2x,即 x +2x﹣1<0; 解得 ; ∴原不等式的解为 . ---------------------10’ (3)由 所以 g(x)=3 ﹣3
x ﹣x 2x

,得
﹣2x x

,解得 a=3 或
﹣x

(舍) .

﹣ 2m(3 ﹣3 ) ,

------------------------------12’ ,
2

令 t=3 ﹣3 ,则 t 是关于 x 的增函数, g(x)=h(t)=t ﹣2mt+2=(t﹣m) +2﹣m ,
2 2

8 时,则 当 时, 3 8 当 m ? 时,则当 t=m 时, 3
当m ? 综上, .

,解得



,m=±2(舍去) .----------15’ -----------------16’

5


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