tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

湖南师大附中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


湖南师大附中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1. (5 分)已知直线 l 经过点 A(4,1) ,B(6,3) ,则直线 l 的倾斜角是() A.0° B.30° C.45° D.60° 2. (5 分)若一个几何体的正视图,侧视图和俯视图形状相同,大小均相等,那么这个几何体 不可以是() A.球 B.三棱锥

C.正方体 D.圆柱 3. (5 分)圆(x+2) +y =4 与圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的位置关系为() A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 4. (5 分)设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是() A.若 l∥α,m?α,则 l∥m B. 若 l∥α,m∥α,则 l∥m C. 若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α D.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α 5. (5 分)直线 x+y﹣1=0 与直线 x+y+1=0 的距离为() A.2 B. C. 6. (5 分)将圆 x +y ﹣2x﹣4y+1=0 平分的直线是() A.x+y﹣1=0 B.x+y+3=0 C.x﹣y+1=0
2 2 2 2 2 2

D.1

D.x﹣y+3=0

7. (5 分)如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平 面 BCD,构成四面体 ABCD,则在四面体 ABCD 中,下列结 论正确的是()

A.平面 ABD⊥平面 ABC C. 平面 ABC⊥平面 BDC

B. 平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8. (5 分)空间直角坐标系中两点 A(0,0,1) ,B(0,1,0) ,则线段 AB 的长度为. 9. (5 分)若一个球的体积为 ,则它的表面积为.

10. (5 分)过点 P(﹣3,1)且与直线 2x+3y﹣5=0 垂直的直线方程为.

三、解答题 11. (12 分)如图,在三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥平面 BCD,BC⊥BD,AB=3,BC=BD=4, 点 E,F 分别是 AC,AD 的中点 (1)判断直线 EF 与平面 BCD 的位置关系,并说明理由 (2)求三棱锥 A﹣BCD 的体积.

12. (12 分)三角形 ABC 的三个顶点 A(﹣3,0) ,B(2,1) ,C(﹣2,3) ,求: (1)BC 边所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程. 13. (13 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为线段 DD1 的中点 (1)求证:AC⊥平面 BDD1 (2)求 EA 与平面 BDD1 所成角的正弦值.

14. (13 分)已知点 P(0,5)及圆 C:x +y +4x﹣12y+24=0 (1)写出圆 C 的圆心坐标及半径; (2)若直 线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 ,求 l 的方程; (3)过点 P 的圆 C 的弦 的中点 D 的轨迹方程.

2

2

四、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 2 2 15. (5 分)设直线 l 过点(﹣2,0) ,且与圆 x +y =1 相切,则 l 的斜率是() A.±1 B.
x

C.

D.

16. (5 分)已知 0<a<1,则方程 a ﹣|logax|=0 的实根个数为() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 17. (5 分)在四面体 ABCD 中,已知棱 AC 的长为 CD﹣B 的余弦值是() A. B. C. ,其余各棱的长都为 1,则二面角 A﹣

D.

五、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 18. (5 分)圆 C:x +y =4 关于直线 x+2y﹣5=0 对称的圆的方程为. 19. (5 分)一座圆形拱桥,当水面在如图所示位置时,拱桥离 水面 2 米,水面宽 12 米,当水 面下降 1 米后水面宽为米.
2 2

六、解答题 20. (12 分) 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上, 圆心的横坐标是整数, 且与直线 4x+3y﹣29=0 相切. (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设直线 ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 a,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(﹣2,4) ,若 存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 21. (13 分)已知函数 f(x)=2 和函数 g(x)=x|x﹣m|+2m﹣8,其中 m 为参数,且满足 m≤5. (1)若 m=2,写出函数 g(x)的单调区间(无需证明) ; (2)若方程 f(x)=2 在 x∈,使得 f(x2)=g(x1)成立,求实数 m 的取值范围.
|m| |x﹣m|

湖南师大附中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1. (5 分)已知直线 l 经过点 A(4,1) ,B(6,3) ,则直线 l 的倾斜角是() A.0° B.30° C.45° D.60° 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的倾斜角. 直线与圆. 根据直线过点 A、B,求出它的斜率,由斜率得出对应的倾斜角. 解:直线 l 经过点 A(4,1) ,B(6,3) , =1,

∴直线 l 的斜率是 k=

∴直线 l 的倾斜角是 45°. 故选:C. 点评: 本题考查了利用两点的坐标求直线的倾斜角与斜率的问题,是基础题目.

2. (5 分)若一个几何体的正视图,侧视图和俯视图形状相同,大小均相等,那么这个几何体 不可以是() A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义,容易判断圆柱的三视图不可能形状 相同,大小均等. 解答: 解:A、球的三视图均为圆,且大小均等; B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥,其一个侧面放到平面上,其三视图均为 等腰直角三角形且形状都相同; C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形; D、圆柱的三视图中必有一个为圆,其他两个为矩形. 故一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是圆柱. 故选 D. 点评: 本题主要考查了简单几何体的结构特征,简单几何体的三视图的形状大小,空间想 象能力,属基础题 3. (5 分)圆(x+2) +y =4 与圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的位置关系为() A.内切 B.相交 C.外切 D. 相离 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 求出两圆的圆心和半径,计算两圆的圆心距,将圆心距和两圆的半径之和或半径之 差作对比,判断两圆的位置关系. 解答: 解:圆(x+2) +y =4 的圆心 C1(﹣2,0) ,半径 r=2. 2 2 圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的圆心 C2(2,1) ,半径 R=3, 两圆的圆心距 d= = ,
2 2 2 2 2 2

R+r=5,R﹣r=1, R+r>d>R﹣r, 所以两圆相交, 故选 B. 点评: 本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法,关键是求圆心距和两圆的半径. 4. (5 分)设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是() A.若 l∥α,m?α,则 l∥m B. 若 l∥α,m∥α,则 l∥m C. 若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α D.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 分别根据线面平行和线面垂直的性质和定义进行判断即可. 解答: 解:A.根据线面平行的性质可知,若 l∥α,m?α,则 l∥m 或者 l 与 m 是异面直线, 所以 A 错误.

B.平行于同一个平面的两条直线,可能平行,可能相交,可能是异面直线,所以 B 错误. C.根据线面垂直和直线平行的性质可知,若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α,所以 C 正确. D.根据线面垂直的判定定理可知,要使直线 l⊥α,则必须有 l 垂直平面 α 内的两条直线,所 以 D 错误. 故选 C. 点评: 本题主要考查线面平行和线面垂直的位置关系的判断和应用,要求熟练掌握相应的 定义和判断定理. 5. (5 分)直线 x+y﹣1=0 与直线 x+y+1=0 的距离为() A.2 B. C.

D.1

考点: 两条平行直线间的距离. 专题: 计算题. 分析: 由已知中直线 x+y﹣1=0 与直线 x+y+1=0 的方程,代入两条平行直线距离公式 d= ,即可得到答案.

解答: 解:直线 x+y﹣1=0 与直线 x+y+1=0 中 a=1,b=1,c1=﹣1,c2=1 ∵两条平行直线距离公式 d= =

故选 B 点评: 本题考查的知识点是两条平行直线间的距离,其中熟练掌握两条平行直线距离公式 d= ,是解答本题的关键.

6. (5 分)将圆 x +y ﹣2x﹣4y+1=0 平分的直线是() A.x+y﹣1=0 B.x+y+3=0 C.x﹣y+1=0

2

2

D.x﹣y+3=0

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题. 分析: 将圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,由所求直线要将圆平分,得到所求直线 过圆心,故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程 中检验,即可得到满足题意的直线方程. 解答: 解:将圆的方程化为标准方程得: (x﹣1) +(y﹣2) =4, 可得出圆心坐标为(1,2) , 将 x=1,y=2 代入 A 选项得:x+y﹣1=1+2﹣1=2≠0,故圆心不在此直线上; 将 x=1,y=2 代入 B 选项得:x+y+3=1+2+3=6≠0,故圆心不在此直线上; 将 x=1,y=2 代入 C 选项得:x﹣y+1=1﹣2+1=0,故圆心在此直线上; 将 x=1,y=2 代入 D 选项得:x﹣y+3=1﹣2+3=2≠0,故圆心不在此直线上, 则直线 x﹣y+1=0 将圆平分. 故选 C
2 2

点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,以及圆的标准方程,其中根据题意得出将圆 x +y ﹣2x﹣4y+1=0 平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键.

2

2

7. (5 分)如图 ,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成四面体 ABCD,则在四面体 ABCD 中,下列结论 正确的是()

A.平面 ABD⊥平面 ABC C. 平面 ABC⊥平面 BDC

B. 平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC

考点: 平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由题意推出 CD⊥AB,AD⊥AB,从而得到 AB⊥平面 ADC,又 AB?平面 ABC,可 得平面 ABC⊥平面 ADC. 解答: 解:∵在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90° ∴BD⊥CD 又平面 ABD⊥平面 BCD,且平面 ABD∩平面 BCD=BD 故 CD⊥平面 ABD,则 CD⊥AB,又 AD⊥AB ∴AB⊥平面 ADC, 又 AB?平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 ADC. 故选 D. 点评: 本题考查平面与平面垂直的判定,考查逻辑思维能力,是中档题. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8. (5 分)空间直角坐标系中两点 A(0,0,1) ,B(0,1,0) ,则线段 AB 的长度为 考点: 空间两点间的距离公式. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据空间两点之间的距离公式,将 A、B 两点坐标直接代入,可得本题答案. 解答: 解:∵点 A(0,0,1) ,点 B(0,1,0) , ∴根据空间两点之间的距离公式,可得 线段 AB 长|AB|= =



故答案为: 点评: 本题给出空间两个定点,求它们之间的距离,着重考查了空间两点之间距离求法的 知识,属于基础题. 9. (5 分)若一个球的体积为 考点: 球的体积和表面积. ,则它的表面积为 12π.

专题: 计算题. 分析: 有球的体积,就可以利用公式得到半径,再求解其面积即可. 解答: 解:由 得 ,所以 S=4πR =12π.
2

点评: 本题考查学生对公式的利用,是基础题. 10. (5 分)过点 P(﹣3,1)且与直线 2x+3y﹣5=0 垂直的直线方程为 3x﹣2y+11=0. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 由方程可得已知直线的斜率,进而由垂直关系可得所求直线的斜率,由点斜式可得 方程,化为一般式即可. 解答: 解:可得直线 2x+3y﹣5=0 的斜率为 由垂直关系可得所求直线的斜率为 , 故可得所求方程为 y﹣1= (x+3) , 化为一般式可得 3x﹣2y+11=0 故答案为:3x﹣2y+11=0 点评: 本题考查直线的一般式方程,以及直线的垂直关系,属基础题. 三、解答题 11. (12 分)如图,在三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥平面 BCD,BC⊥BD,AB=3,BC=BD=4, 点 E,F 分别是 AC,AD 的中点 (1)判断直线 EF 与平面 BCD 的位置关 系,并说明理由 (2)求三棱锥 A﹣BCD 的体积. ,

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1) 在△ ACD 中, 点 E, F 分别是 AC, AD 的中点, 由三角形中位线定理可得 EF∥CD, 然后利用线面平行的判定得答案; (2)直接由三棱锥的体积公式结合已知条件求得三棱锥 A﹣BCD 的体积. 解答: 解: (1)EF∥平面 BCD. 事实上, ∵在△ ACD 中,点 E,F 分别是 AC,AD 的中点,∴EF∥CD, 又∵EF?平面 BCD,CD?平面 BCD, ∴EF∥平面 BCD; (2)∵AB⊥平面 BCD,∴AB 为三棱锥 A﹣BCD 的高,

又 BC⊥BD,BC=BD=4,∴ 又 AB=3,∴ .



点评: 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化 的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题. 12. (12 分)三角形 ABC 的三个顶点 A(﹣3,0) ,B(2,1) ,C(﹣2,3) ,求: (1)BC 边所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程. 考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)直接根据两点式公式写出直线方程即可; (2)先由中点坐标求出点 D 的坐标,再根据两点式公式写出直线方程即可. 解答: 解: (1)BC 边所在直线的方程为: 即 x+2y﹣4=0 (2)∵BC 边上的中点 D 的坐标为(0,2) ∴BC 边上中线 AD 所在直线的方程为: 即 2x﹣3y+6=0 点评: 此题考查了中点坐标公式以及利用两点式求直线方程的方法,属于基础题. 13. (13 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为线段 DD1 的中点 (1)求证:AC⊥平面 BDD1 (2)求 EA 与平面 BDD1 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1) 由正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, DD1⊥平面 ABCD, 可证 DD1⊥AC, 又 AC⊥BD, 即可证明 AC⊥平面 BDD1.

(2) 设 AC∩BD=O, 连接 EO, 由 AC⊥平面 DD1B, 可得∠AEO 为 EA 与平面 BDD1 所成角. 不 妨设正方形的边长为 2,AO= ,AE= ,即可由 sin∠AEO= 求值.

解答: 本题满分为 12 分 解: (1)证明:∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,DD1⊥平面 ABCD, ∴DD1⊥AC 又∵在正方向 ABCD 中,AC⊥BD ∴AC⊥平面 BDD1…6 分 (2)设 AC∩BD=O,连接 EO, ∵AC⊥平面 DD1B, ∴∠AEO 为 EA 与平面 BDD1 所成角. 不妨设正方形的边长为 2,AO= ,AE= 可得:sin∠AEO= = = …12 分.



点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角,考查了空间想象能 力和推论论证能力,属于中档题. 14. (13 分)已知点 P(0,5)及圆 C:x +y +4x﹣12y+24=0 (1)写出圆 C 的圆心坐标及半径; (2)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 ,求 l 的方程; (3)过点 P 的圆 C 的弦的中点 D 的轨迹方程. 考点: 圆的一般方程;轨迹方程. 专题: 综合题. 分析: (1)整理出圆 C 的标准方程,确定圆的圆心与半径; (2)分类讨论,利用直线 ι 被圆 C 截得的线段长为 4 ,可得直线 ι 与圆心的距离为 2,由 此可得结论; (23)设过 P 点的圆 c 的弦的中点 D 的坐标为(x,y) ,利用 CD⊥PD,可得方程. 2 2 解答: 解: (1)整理圆的方程得(x+2) +(y﹣6) =16, 圆心(﹣2,6) ,半径 r=4; (3 分) 2 2 (2)由圆 C:x +y +4x﹣12y+24=0 得圆心坐标为(﹣2,6) ,半径为 4 又∵直线 ι 被圆 C 截得的线段长为 4 ,∴直线 ι 与圆心的距离为 2, 当直线斜率存在时,设 L 的斜率是 k,过 P(0,5) ,设直线 ι:y=kx+5,即 kx﹣y+5=0;
2 2

∵直线 ι 与圆 C 的圆心相距为 2,∴d=

=2,解得 k= ,此时直线的方程为 3x

﹣4y+20=0; 当直线的斜率不存在时,直线的方程为 x=0,也符合题意. 故所求直线的方程为 3x﹣4y+20=0 或 x=0. (8 分) (2)设过 P 点的圆 c 的弦的中点 D 的坐标为(x,y) ,则 ∵CD⊥ PD,∴(x+2)?x+(y﹣6)?(y﹣5)=0 2 2 化简得所求轨迹方程为 x +y +2x﹣11y+30=0. (14 分) 点评: 本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查轨迹方程,考查学生的计算能 力,属于中档题. 四、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 2 2 15. (5 分)设直线 l 过点(﹣2,0) ,且与圆 x +y =1 相切,则 l 的斜率是() A.±1 B. C. D.

考点: 直线与圆的位置关系;直线的斜率. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 首先根据已知圆判断其圆心与半径,然后解构成的直角三角形,求出夹角,继而求 出倾斜角,解出斜率即可. 2 2 解答: 解:∵直线 l 过点(﹣2,0) ,且与圆 x +y =1 相切 由圆得:圆心为(0,0) ,半径为 1 ∴构成的三角形的三边为: 解得直线与 x 轴夹角为 30°的角 ∴x 的倾斜角为 30°或 150° ∴k= 故选 C. 点评: 本题考查直线的斜率, 直线与圆的位置关系, 通过解直角三角形完成求直线 l 的斜率, 属于基础题. 16. (5 分)已知 0<a<1,则方程 a ﹣|logax|=0 的实根个数为() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. x x x 分析: 由 a ﹣|logax|=0 得 a =|logax|,作出两个函数 y=a 与 y=|logax|的图象,利用数形结合 即可得到结论. x x 解答: 解:由 a ﹣|logax|=0 得 a =|logax|, ∵0<a<1, x ∴作出两个函数 y=a 与 y=|logax|的图象如图: 由图象知,两个图象的交点个数为 2 个, x 即方程 a ﹣|logax|=0 的实根个数为 2 个,
x



故选:B.

点评: 本题主要考查方程根的个数的判断,根据函数和方程之间的关系转化为两个函数交 点问题是解决本题的关键. 17. (5 分)在四面体 ABCD 中,已知棱 AC 的长为 CD﹣B 的余弦值是() A. B. C. ,其余各棱的长都为 1,则二面角 A﹣

D.

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;空间角. 分析: 先作出二面角 A﹣CD﹣B 的平面角,再利用余弦定理求解即可. 解答: 解:由已知可得 AD⊥DC 又由其余各棱长都为 1 得正三角形 BCD,取 CD 得中点 E,连 BE,则 BE⊥CD 在平面 ADC 中,过 E 作 AD 的平行线交 AC 于点 F,则∠BEF 为二面角 A﹣CD﹣B 的平面角 ∵EF= (三角形 ACD 的中位线) ,BE= ABC,F 是斜边中点) (正三角形 BCD 的高) ,BF= (等腰 RT 三角形

∴cos∠BEF=

=

=

故选 C.

点评: 本题考查二面角的平面角,考查余弦定理,正确作出二面角的平面角是关键. 五、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 2 2 2 2 18. (5 分)圆 C:x +y =4 关于直线 x+2y﹣5=0 对称的圆的方程为(x﹣2) +(y﹣4) =4. 考点: 圆的标准方程.

专题: 计算题;直线与圆. 分析: 求出已知圆的圆心关于直线 x+2y﹣5=00 对称的圆的圆心,求出半径,即可得到所求 结果. 2 2 解答: 解:圆 C:x +y =4 的圆心 C(0,0) ,半径为 2, 设圆心 C 关于直线 l:x+2y﹣5=0 对称的圆的圆心的坐标为(a,b) ,则

,解得 a=2,b=4,
2 2 2 2

∴圆 C:x +y =4 关于直线 x+2y﹣5=0 对称的圆的方程为(x﹣2) +(y﹣4) =4. 2 2 故答案为: (x﹣2) +(y﹣4) =4. 点评: 本题是基础题,考查圆关于直线对称圆的方程问题,重点在于求出对称圆的圆心坐 标和半径,注意垂直、平分的应用是解决对称问题的基本方法. 19. (5 分)一座圆形拱桥,当水面在如图 所示位置时,拱桥离水面 2 米,水面宽 12 米,当水 面下降 1 米后水面宽为 2 米.

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 先根据题目条件建立适当的直角坐标系,得到各点的坐标,通过设圆的半径,可得 圆的方程,然后将点的坐标代入确定圆的方程,设当水面下降 1 米后可设 A′的坐标为(x0, ﹣3) (x0>0)根据点在圆上,可求得 x0 的值,从而得到问题的结果. 解答: 解:以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶顶点的竖直直线为 y 轴,建立直角坐标系, 设圆心为 C,水面所在弦的端点为 A,B,则由已知可得:A(6,﹣2) , 设圆的半径为 r,则 C(0,﹣r) ,即圆的方程为 x +(y+r) =r , 将 A 的坐标代入圆的方程可得 r=10, 2 2 所以圆的方程是:x +(y+10) =100 则当水面下降 1 米后可设 A′的坐标为(x0,﹣3) (x0>0) 代入圆的方程可得 x0= , 所以当水面下降 1 米后,水面宽为 2 米. 故答案为:2 .
2 2 2

点评: 本题考查了圆的方程的综合应用,以及点在圆上的条件的转化,圆的对称性的体现, 是个基础题.

六、解答题 20. (12 分) 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上, 圆心的横坐标是整数, 且与直线 4x+3y﹣29=0 相切. (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设直线 ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 a,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(﹣2,4) ,若 存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 直线和圆的方程的应用;圆的标准方程. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (Ⅰ)设圆心为 M(m,0) (m∈Z) .由于圆与直线 4x+3y﹣29=0 相切,且半径为 5, 所以 ,由此能求了圆的方程.
2 2

(Ⅱ)把直线 ax﹣y+5=0 代入圆的方程,得(a +1)x +2(5a﹣1)x+1=0,由于直线 ax﹣y+5=0 2 2 交圆于 A,B 两点,故△ =4(5a﹣1) ﹣4(a +1)>0,由此能求出实数 a 的取值范围. (Ⅲ)设符合条件的实数 a 存在,则直线 l 的斜率为 ,l 的方程为 ,由 使得过点 P(﹣2,

于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上,由此推导出存在实数 4)的直线 l 垂直平分弦 AB. 解答: (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设圆心为 M(m,0) (m∈Z) . 由于圆与直线 4x+3y﹣29=0 相切,且半径为 5, 所以 ,

即|4m﹣29|=25.因为 m 为整数,故 m=1. 2 2 故所求圆的方程为(x﹣1) +y =25. …(4 分) (Ⅱ)把直线 ax﹣y+5=0,即 y=ax+5, 代入圆的方程,消去 y, 2 2 整理,得(a +1)x +2(5a﹣1)x+1=0, 由于直线 ax﹣y+5=0 交圆于 A,B 两点, 2 2 故△ =4(5a﹣1) ﹣4(a +1)>0, 2 即 12a ﹣5a>0, 由于 a>0,解得 a> , ) .

所以实数 a 的取值范围是( (Ⅲ)设符合条件的实数 a 存在, 则直线 l 的斜率为 l 的方程为 , ,

即 x+ay+2﹣4a=0 由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上,

所以 1+0+2﹣4a=0,解得 由于



,故存在实数

使得过点 P(﹣2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB.…(14 分) 点评: 本题考查圆的方程的求法,考查实数的取值范围的求法,探索满足条件的实数是否 存在.对数学思维要求较高,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 21. (13 分)已知函数 f(x)=2 和函数 g(x)=x|x﹣m|+2m﹣8,其中 m 为参数,且满足 m≤5. (1)若 m=2,写出函数 g(x)的单调区间(无需证明) ; (2)若方程 f(x)=2 在 x∈,使得 f(x2)=g(x1)成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)由二次函数性质可知函数 g(x)的单调增区间为(﹣∞,1) , (2,+∞) ,单调 减区间为(1,2) ; (2)方程 f(x)=2 可化为(x﹣m) =m ,解得 x=0 或 x=2m,根据题意可得 2m=0 或 2m <﹣2,从而可知实数 m 的取值范围; (3)由题意可知 g(x)的值域应是 f(x)的值域的子集.分情况讨论 f(x)和 g(x)的值 域,即可确定实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)m=2 时, ∴函数 g(x)的单调增区间为(﹣∞,1) , (2,+∞) , 单调减区间为(1,2) . |m| (2)由 f(x)=2 在 x∈上单调递增, ∴f(x)≥f(m)=1. g(x)在上单调递减, 故 f(x)≥f(4)=2
m﹣4 |m| 2 2 |m| |x﹣m|



,g(x)在上单调递减,

综上,m 的取值范围是 点评: 本题考查导数在函数单调性中的应用,方程根的存在定理,以及存在性问题的转化, 属于难题.


推荐相关:

湖南师大附中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

(x1)成立,求实数 m 的取值范围. |m| |x﹣m| 湖南师大附中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分...


湖南师大附中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

(x1)成立,求实数 m 的取值范围. |m| |x﹣m| 湖南师大附中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分...


湖南师大附中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

(x1)成立,求实数 m 的取值范围. |m| |x﹣m| 湖南师大附中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分...


湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科)【解析版】

求 4 湖南师大附中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (文科)参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每个小题给出...


湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)

湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。湖南师大附中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)一、选择题(本大题...


湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科)

湖南师大附中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (文科)参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的...


湖南省师大附中2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)

∠OQN 湖南师大附中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 一、选择题(本大...


湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科)

湖南师大附中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (文科)参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的...


湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)

湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。湖南师大附中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)一、选择题...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com