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辽宁师大附中2015届高三上学期期中考试数学(文)试题含解析


辽宁师大附中 2015 届高三上学期期中考试数学 (文) 试题 (解 析版)
【试卷综析】本试卷是高三文科试卷,以基础知识为载体,以基本能力测试为主导,重视学 生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查:集合、 、指数函数对数函 数、导数、函数的性质、导数,数列,立体几何等;考查学生解决实际问题的综合能力,是 份比较好的试卷. 【题文】一.选择题(每题

5 分共 60 分) 【题文】1.对于非零向量 a、b,“a+b=0”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【知识点】充分条件、必要条件 A2 【答案解析】A 非零向量 a , b , a ∥ b 推不出“ a + b =0, a + b =0?““ a ∥ b ,由此 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

可知“ a ∥ b ”是“ a + b =0 成立的充分不必要条件 【思路点拨】非零向量 a , b , a ∥ b 推不出“ a + b =0, a + b =0?““ a ∥ b ,由此可 知“ a ∥ b ”是“ a + b =0 成立的充分不必要条件

【题文】2.设 f(x)=lg

2+x ,则 f 2-x

? x? ?2?+f ? ?

?2? ? x?的定义域为( ? ?

).

A.(-4,0)∪(0,4) C.(-2,-1)∪(1,2)
【知识点】函数及其表示 B1

B.(-4,-1)∪(1,4) D.(-4,-2)∪(2,4)

2 +x x? ?2? 【答案解析】B 要使函数有意义,则 > 0 解得 x∈(-2,2)f ? ?2?+f ?x?要确保两个式子 2 -x

? ?2 ? ? ? 都要有意义,则 ? ? ?2 ? ? ?

x ?2 2 ?x∈(-4,-1)∪(1,4)故答案为:B 2 ?2 x

x? ?2? 有意义建立方程组,解答 【思路点拨】对数的真数大于 0,求出定义域,然后使 f ? + f ?2? ?x?
即可. 【题文】3.设 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题正确的

是(

). A.m∥α,n∥β,且 α∥β,则 m∥n
-1-

B.m⊥α,n⊥β,且 α⊥β,则 m⊥n C.m⊥α,n?β,m⊥n,则 α⊥β D.m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β
【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系 G4 G5 【答案解析】B 对于 A,若 m∥α,n∥β 且 α∥β,说明 m、n 是分别在平行平面内的直线, 它们的位置关系应该是平行或异面,故 A 错;对于 B,由 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m 与 n 一定不平行,否则有 α∥β,与已知 α⊥β 矛盾,通过平移使得 m 与 n 相交,且设 m 与 n 确定 的平面为 γ,则 γ 与 α 和 β 的交线所成的角即为 α 与 β 所成的角,因为 α⊥β,所以 m 与 n 所 成的角为 90° ,故命题 B 正确.对于 C,根据面面垂直的性质,可知 m⊥α,n?β,m⊥n, ∴n∥α,∴α∥β 也可能 α∩β=l,也可能 α⊥β,故 C 不正确; 对于 D,若“m?α,n?α,m∥β,n∥β”,则“α∥β”也可能 α∩β=l,所以 D 不成立.故选 B. 【思路点拨】对于 A、由面面平行的判定定理,得 A 是假命题对于 B、由 m⊥α,n⊥β 且 α ⊥β,可知 m 与 n 不平行,借助于直线平移先得到一个与 m 或 n 都平行的平面,则所得平面 与 α、β 都相交,根据 m 与 n 所成角与二面角平面角互补的结论.对于 C、通过直线与平面 平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理,判断正误即可;对于 D、利用平面与平面平 行的判定定理推出结果即可. 【题文】4.已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? , 若 m ? n ? m ? n , 则? = (

?

? ?

?



A. ?4

B. ?2

C. -3

D. -1

【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】C 由向量 m =(λ+1,1), n =(λ+2,2), 得 m ? n =( λ +1 , 1)+( λ +2 , 2)=(2 λ +3 , 3) , m ? n =( λ +1 , 1)-( λ +2 , 2)=(-1 , -1) 由( m ? n ) ? ( m ? n ),得(2λ+3)×(-1)+3×(-1)=0,解得:λ=-3.故答案为:C. 【思路点拨】由向量的坐标加减法运算求出( m ? n ), ( m ? n )的坐标,然后由向量垂直的坐 标运算列式求出 λ 的值. 【题文】5.函数 f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,如果

π 2

π π x1,x2∈(-6,3),且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)等于( 1 A.2 2 B. 2 3 C. 2 D.1

)

【知识点】三角函数的图象与性质 C3 π π 【答案解析】C 由图知,T=2×( + ) =π, 3 6

? π π π ∴ω=2,因为函数的图象经过(- , 0 ),0=sin(- +? )∵| ?| < ,所以 ? = , 6 3 3 2

-2 -

? π π ∴f(x)=sin(2x+ ) ,x 1 +x 2 =2× = , 3 12 6
所以 f(x 1 +x 2 )=sin

2? 3 = .故选 C. 3 2

【思路点拨】通过函数的图象求出函数的周期,利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初 相,得到函数的解析式,利用函数的图象与函数的对称性求出 f(x1+x2)即可. 【题文】6.设数列{an}是公差 d<0 的等差数列, Sn 为其前 n 项和,若 S6=5a1+10d,

则 Sn 取最大值时,n=( A.5 B.6

). C.5 或 6 D.6 或 7

【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2 【答案解析】C ∵S6=5a1+10d,∴6a1+15d=5a1+10d 得到 a1+5d=0 即 a6=0, ∵数列{an}是公差 d<0 的等差数列,∴n=5 或 6,Sn 取最大值.故选:C. 【思路点拨】利用 S6=5a1+10d,可得 a6=0,根据数列{an}是公差 d<0 的等差数列,即可得 出结论. 【题文】7.设 x,y∈R+,且 x+4y=40,则 lg x+lg y 的最大值是(

).

A.40

B.10

C.4
a?b E6 2

D.2

【知识点】基本不等式 ab ?

【答案解析】D ∵x>0,y>0,x+4y=40,∴40≥2 4xy ,化为 xy≤100, 当且仅当 x=4y=

1 ×40 ,即 x=20,y=5 时取等号,∴lgx+lgy=lg(xy)≤lg100=2.故选 D. 2

【思路点拨】利用基本不等式的性质和对数的运算性质即可求出.

【题文】8.已知实数 x,y

?x-y+2≥0, 满足不等式组?x+y-4≥0, ?2x-y-5≤0,
B.(0,1) D.(1,+∞)

若目标函数 z=y-ax

取得最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,-1) C.[1,+∞)
【知识点】D 简单的线性规划问题 E5

).

x-y+2≥0, ? ? 【答案解析】不等式 ?x+y-4≥0, ? ?2x-y-5≤0,
的可行域将目标函数变形得 y=ax+z,当 z 最大时,直线的纵截距 最大,画出直线 y=ax 将 a 变化,结合图象得到当 a>1 时,直线 经过(1,3)时纵截距最大.故选 D. 【思路点拨】画出不等式组不是的可行域,将目标函数变形,数形结合判断出 z 最大时,a 的
-3-

取值范围. 【题文】9.一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 4 的两

个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面 积是( ). B.24π D.48π

A.12π C.32π

【知识点】空间几何体的三视图和直观图 G2 【答案解析】D 由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的 四棱锥.其中底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,高为 4, 该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为 3 ×4=4 3 , 即球的半径为 2 3 ,所以该球的表面积是 4π(2 3 ) 2 =48π .故选 D. 【思路点拨】该几何体的直观图如图所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,高为 CC1=4,故可求结论. 【题文】10.在等差数列{an}中,a1>0,a10· a11<0,若此数列的前 10 项和 S10=36,

前 18 项的和 S18=12,则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是 ( A.24 B.48 C.60 D.84



【知识点】数列求和 D4 【答案解析】C ∵a1>0,a10?a11<0,∴d<0,a10>0,a11<0, ∴T18=a1+…+a10-a11-…-a18=S10-(S18-S10)=60.故选 C. 【思路点拨】根据已知条件,求出其正负转折项,然后再求数列{|an|}的前 18 项和. 【题文】11.已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的

2 x

1 y

2

取值范围是

(

).

A.(-∞,-2]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞) C.(-2,4)
【知识点】基本不等式 ab ?

D.(-4,2)
a?b E5 2
x y

4y x 2 1 2 1 ? ≥4+2 4 =8 【答案解析】D ∵ + =1 ,∴x+2y=(x+2y)( + ) =4+
x y

x

y

∵x+2y>m2+2m 恒成立,∴m2+2m<8,求得-4<m<2 故答案为 D. 2 1 【思路点拨】先把 x+2y 转化为(x+2y)( + ) 展开后利用基本不等式求得其最小值,然后根

x y

据 x+2y>m +2m 求得 m +2m<8,进而求得 m 的范围. 【题文】12.设函数 f(x)=

2

2

5π? sinθ 3 3cosθ 2 ? ?0, ? 3 x + 2 x +tanθ,其中 θ∈? 12?,则导数 f ′(1)
-4-

的取值范围为( A.[ 2,2]

) B.[ 2, 3] C.[ 3,2] D.[-2,2]

【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】A :∵f(x)= sinθ 3 3cosθ 2 x+ x +tanθ, 3 2

∴f'(x)=sinθx2+ 3 cosθx∴f′(1)=sinθ+ 3 cosθ=2sin(θ+

? ) 3

∵θ∈ [0,

5? ? ? 3? ? 2 ] ,∴θ+ ∈[ , ]∴sin(θ+ )∈[ , 1] 12 4 3 3 3 2

∴f′(1)∈[ 2 ,2],故答案为:A. 【思路点拨】先对函数 f(x)= sinθ 3 3cosθ 2 x+ x +tan θ 进行求导,然后将 x=1 代入,再由两角和与 3 2

差的公式进行化简,根据 θ 的范围和正弦函数的性质可求得最后答案. 【题文】二.填空题(每题 5 分共 20 分) 【题文】13.函数 y=sin2x+2 3 sin x 的最小正周期 T 为_______ 【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】π y=sin2x+2 3 ×
2

1 ? cos 2 x 1 3 =sin2x- 3 cos2x+ 3 =2( sin2xcos2x) 2 2 2

+ 3 =2sin(2x-

? )+ 3 ,∵ω=2,∴T=π.故答案为:π 3

【思路点拨】函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的 正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出 ω 的值,代入周期公式即可求出函数的最小正周 期. 【题文】14.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-a2 m=0,S2 m-1=38,则 m=________. 【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2 【答案解析】10 根据等差数列的性质可得:am-1+am+1=2am, ∵am-1+am+1- am 2 =0,∴2a m -a m 2 =0 ∴am=0 或 am=2 若 am=0, 显然 S2m-1= (2m-1) am 不成立∴am=2∴s 2 m- 1 = 解得 m=10.故答案为:10 【思路点拨】根据等差数列的性质可知,am-1+am+1=2am,代入 am-1+am+1- am =0 中,即可求 出 am,然后利用等差数列的前 n 项和的公式表示出前 2m-1 项的和,利用等差数列的性质化 为关于第 m 项的关系式,把第 m 项的值代入即可求出 m 的值 【题文】15.已知 x>0,y>0,x+3y+xy=9,则 x+3y 的最小值为________.
2

(2m ? 1)(a1 ? a2 m ?1 ) = (2m-1) am=38, 2

-5-

【知识点】基本不等式 ab ?

a?b E6 2

【答案解析】6 由于 x>0,y>0,x+3y+xy=9, 则 9-(x+3y)=xy=

1 1 ( x ? 3 y)2 ×x×3y≤ × , 3 3 3

当且仅当 x=3y 时,取“=”则此时 ?

? x ? 3 y ? xy ? 9 ?x ? 3 ,由于 x>0,y>0,解得 ? , x ? 3y ? ?y ?1

故 x+3y=6 故答案为 6. 【思路点拨】由于要求 x+3y 的最小值,故在解题时注意把 x+3y 看为一个整体,需将已知方 程中的 xy 利用基本不等式转化为 x+3y 的形式. 【题文】16.已知 a, b 是单位向量, a ? b ? 0 .若向量 c 满足

? ?

c ? a ? b ? 1, 则 c 的取值范围是 ________.
【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】[

2 -1 , 2 +1] .

由 a , b 是单位向量, a ? b =0.可设 a =(1,0), b =(0,1), c =(x,y)
2 2 ∵向量 c 满足| c - a - b |=1, ∴|(x-1,y-1)|=1,∴ ( x ? 1) ? ( y ? 1) =1,

即(x-1)2+(y-1)2=1.其圆心 C(1,1),半径 r=1.∴|OC|= 2 .
2 2 ∴ 2 -1 ≤| c |= x ? y ?

2 +1 .∴| c |的取值范围是[ 2 -1 , 2 +1] .

故答案为:[

2 -1 , 2 +1] .

【思路点拨】由 a , b 是单位向量, a ? b =0.可设 a =(1,0), b =(0,1), c = (x,y).由向量 c 满足| c - a - b |=1,可得(x-1)2+(y-1)2=1.其圆心 C(1,1),半径 r=1.利用|OC|-r≤| c |= 【题文】三.解答题 【题文】17.(10 分)设函数 f(x)=mx2 -mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 【知识点】二次函数 B5 6 【答案解析】(1) (-4,0]. (2) {m|m< } 7 (1)要使 mx2-mx-1<0 恒成立,

x 2 ? y 2 ≤|OC|+r 即可得出.

-6-

若 m=0,显然-1<0;
? ?m<0, 若 m≠0,则? ?-4<m<0.所以 m 的取值范围是(-4,0]. 2 ?Δ=m +4m<0 ?

1 3 (2)要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立,就是要使 m(x- )2+ m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立. 2 4 有以下两种方法: 1 3 方法一:令 g(x)=m(x- )2+ m-6,x∈[1,3]. 2 4 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max=g(3)=7m-6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7 当 m=0 时,-6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g(x)max=g(1)=m-6<0. 所以 m<6,所以 m<0. 6 综上所述,m 的取值范围是{m|m< }. 7 1 3 方法二:因为 x2-x+1=(x- )2+ >0, 2 4 又因为 m(x2-x+1)-6<0, 6 所以 m< 2 . x -x+1 6 因为函数 y= 2 = x -x+1 6 在[1,3]上的最小值为 , 7 6 所以只需 m< 即可. 7 6 所以,m 的取值范围是{m|m< }. 7 【思路点拨】利用二次函数的单调性求 m.
2 【题文】18.已知向量 m =? 3sin ,1?, n =?cos ,cos ?.

6 , 12 3 ?x- ? + 2 4

? ?

x

4

? ?

? ?

x

4

4?

x?

?2π ? (1)若 m ? n =1,求 cos? -x?的值; ?3 ? (2)记 f(x)= m ? n ,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cosB=

bcosC,求函数 f(A)的取值范围.
-7-

【知识点】解三角形 C8

3 ) 2 x 1 ? cos x 3 2 =sin( x + ? )+ 1 =1 ∴sin( x + ? )= 1 ∵m?n= sin + 2 2 6 2 2 6 2 2 2 2? ? x ? 1 ∵cos( -x)=-cos(x+ )=-[1-2sin 2 ( + )]=3 2 6 2 3
【答案解析】(1) (2) (1 , (2)∵(2a-c)cosB=bcosC∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C) =sinA∵sinA>0∴cosB= ∵B∈(0,π),∴B=

1 2

? 2? ∴A ∈ (0 , ) 3 3 x ? 1 A ? 1 ∵f(x)=sin( + )+ ∴f(A)=sin( ? )+ 2 6 2 2 6 2 A ? ? ? A ? 1 3 ∵ ? ∈ ( , ) ∴sin( ? ) ∈ ( , 1) ∴f(A) ∈ (1 , ) 2 6 2 6 2 2 6 2 x ? 【思路点拨】(1)利用向量的数量积公式列出方程求出 sin( + ),利用二倍角的余弦公式 2 6
求出要求的式子的值. (2)利用三角形中的正弦定理将等式中的边转化为角的正弦值,利用三角形的内角和为 180° 化简等式,求出角 B,求出角 A 的范围,求出三角函数值的范围. 【题文】19.(本小题满分 12 分)已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a2 是 a1 和 a3-1

1 2

的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1+2b2+3b3+?+nbn=an(n∈N),求{bn}通项公式 bn
【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3 【答案解析】(1) an=2
n-1

1,n=1, ? ? n-2 . (2) bn=?2 ? ? n ,n≥2.

(1)由题意,得 2a2=a1+a3-1,即 2a1q=a1+a1q2-1, 整理得 2q=q2.又 q≠0,解得 q=2,∴an=2n 1.


2n 2 - (2)当 n=1 时,b1=a1=1;当 n≥2 时,nbn=an-an-1=2n 2,即 bn= , n


1,n=1, ? ? n-2 ∴bn=?2 ? ? n ,n≥2. 【思路点拨】根据等比数列的性质求解。 【题文】20. (本小题满分 12 分)设 a>0,a≠1,t>0,比较 logat 与 loga
-8-

1 2

t+1 2 的大

小,并证明你的结论.
【知识点】对数与对数函数 B7 t+1 1 t+1 t+1 【答案解析】略 loga - logat=loga -loga t=loga , 2 2 2 2 t t+1 ∵t>0,t+1≥2 t(当且仅当 t=1 时等号成立),∴ ≥1. 2 t t+1 1 t+1 当 t=1 时,loga = logat;当 t≠1 时, >1. 2 2 2 t t+1 t+1 1 若 a>1,则 loga >0,即 loga > logat; 2 2 2 t 若 0<a<1,则 loga

t+1 t+1 1 <0,即 loga < logat. 2 2 2 t

【思路点拨】利用基本不等式讨论参数确定大小。 【题文】21.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥ CD,

AB ⊥ AD , CD = 2AB ,平面 PAD ⊥底面 ⊥AD. E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点. 求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系 G4 G5 【答案解析】(1)略(2)略(3)略 (1)因为平面 PAD∩平面 ABCD=AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA⊥AD.所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以 ABED 为平行四边形.所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,且四边形 ABED 为平行四边形. 所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD. 所以 CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD. 又 E,F 分别是 CD 和 CP 的中点, 所以 EF∥PD,故 CD⊥EF.CD?平面 PCD,
-9-

ABCD , PA

由 EF,BE 在平面 BEF 内,且 EF∩BE=E, ∴CD⊥平面 BEF. 所以平面 BEF⊥平面 PCD. 【思路点拨】利用线线平行证明线面平行利用线面垂直证明面面垂直。 【题文】22.已知函数 f ( x) ? kx , g ( x) ?

ln x x

(1)求函数 g ( x) ?

ln x 的单调递增区间; x

(2)若不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间(0,+ ?) 上恒成立,求 k 的取值范围; (3)求证:
ln 2 ln 3 ln n 1 ? 4 ??? 4 ? 4 2e 2 3 n

【知识点】导数的应用 B12

1 (3)略 2e ln x 1 ? ln x (1)∵g(x)= (x>0),∴g ′ (x)= ,令 g'(x)>0,得 0<x<e, x x2 ln x 故函数 g(x)= 的单调递增区间为(0,e). x ln x ln x ln x (2)由 kx≥ ,得 k≥ 2 ,令 h(x)= ,则问题转化为 k 大于等于 h(x)的最大值.又 x x x2 1 ? 2 ln x h′ (x)= ,令 h ′ (x)=0 时 , x= e . x3
【答案解析】(1)(0,e)(2)k≥ 当 x 在区间(0,+∞)内变化时,h'(x)、h(x)变化情况如下表: (0 , x e ) h'(x) + 0 1 h(x) ↗ 2 e ↘ e ( e ,+∞) -

由表知当 x= (3)由

e 时,函数 h(x)有最大值,且最大值为,因此 k≥

1 . 2e

ln x 1 ln x 1 1 ≤ ,∴ 4 < ? (x≥2), 2 x x 2e 2e x 2 1 ln 2 ln 3 ln n 1 1 1 ∴ 4 ? 4 ??? 4 ? ( 2 + 2 +….+ 2 ) n 2e 2 3 2 3 n
又∵

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ..... ? + 2 +….+ 2 < =1- + - + - +…+ 2 2 2 2 3 4 n ?1 n 2 3 n 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n

- 10 -

=1-

1 ln 2 ln 3 ln n 1 <1,∴ 4 ? 4 ? ? ? 4 ? . n 2e 2 3 n

【思路点拨】(1)由 g'(x)>0,解得 x 的范围,就是函数的增区间. (2)问题转化为 k 大于等于 h(x)的最大值,利用导数求得函数 h(x)有最大值,且最大 值为

1 2e

,得到

k≥

1 2e

.(3)先判断

ln x 1 1 < ? 2 4 x 2e x

( x≥2 ) , 得

ln 2 ln 3 ln n 1 ? 4 ??? 4 ? 4 2e . 2 3 n

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- 11 -


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