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【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题22 随机变量及其分布列 理(含解析)


【走向高考】 (全国通用)2016 高考数学二轮复习 第一部分 微专题 强化练 专题 22 随机变量及其分布列 理(含解析)

一、解答题 1.(2014·安徽理,17)甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛, 2 若赛完 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙 3 1 获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立. 3 (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望). [分析] ①甲在四局内赢得比赛,即甲前两局胜,或第一局败,二、三局胜,或第一局 胜,第二局败,第三、四局胜. ②比赛总局数最少 2 局, 最多 5 局, 求概率时, 既要考虑甲胜结束, 又要考虑乙胜结束. ③由于各局比赛结果相互独立,故按独立事件公式计算积事件的概率. [解析] 用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”,Ak 表示“第 k 局甲获胜”,Bk 2 1 表示“第 k 局乙获胜”,则 P(Ak)= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5. 3 3 (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=( ) + ×( ) + × ×( ) = 3 3 3 3 3 3 56 . 81 (2)X 的可能取值为 2,3,4,5.

P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)
5 =P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)= , 9

P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)
2 =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)= , 9

P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)
10 =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)= , 81

P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= .
1

8 81

故 X 的分布列为

X P
5 9 2 9 10 81

2 5 9

3 2 9

4 10 81

5 8 81

E(X)=2× +3× +4× +5× =

8 224 . 81 81

[方法点拨] 1.求复杂事件的概率的一般步骤: 1°列出题中涉及的各事件,并且用适当的符号表示; 2°理清各事件之间的关系,列出关系式; 3°根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. 2.直接计算符合条件的事件的概率较繁时,可先间接地计算对立事件的概率,再求出 符合条件的事件的概率. 3.要准确理解随机变量取值的意义,准确把握每一个事件所包含的基本事件,然后依 据类型代入概率公式进行计算. 4.概率与统计知识结合的问题,先依据统计知识明确条件,求出有关统计的结论,再 将所求问题简化为纯概率及其分布的问题,依据概率及其分布列、期望、方差的知识求解. 5.离散型随机变量的分布列的性质: 设离散型随机变量 X 的分布列为:

X P

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

则①pi≥0,i=1,2,?,n; ②p1+p2+?+pi+?+pn=1. 2.(2015·重庆理,17)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽子,其 中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取 3 个. (1)求三种粽子各取到 1 个的概率; (2)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望. [分析] 考查了古典概型的概率以及分布列、数学期望,属于简单题型.(1)由古典概 型概率公式计算; (2)从含有 2 个豆沙粽的 10 个粽子中取 3 个, 据此可得出 X 的可能取值及 其概率,列出分布列求得期望. [解析] (1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”,由古典概型的概率计算公式有

P(A)=

C2C3C5 1 = . 3 C10 4

1 1 1

(2)X 的可能取值为 0,1,2,且

P(X=0)= 3 = ,

C8 7 C10 15

3

2

P(X=1)= P(X=2)=

C2C8 7 , 3 = C10 15 C2C8 1 3 = C10 15
2 1

1 2

综上知,X 的分布列为:

X P

0 7 15

1 7 15

2 1 15

7 7 1 3 故 E(X)=0× +1× +2× = (个) 15 15 15 5 [方法点拨] 如果题目条件是从含 A 类物品 M 件,总数为 N 的 A、B 两类物品中,抽取

n 件,其中含有 A 类物品件数 X 为随机变量,则按超几何分布公式直接计算.
请练习下题: 一盒中有 12 个零件,其中有 3 个次品,从盒中每一次取出一个零件,取后不放回,求 在取到正品前已取次数 X 的分布列和期望. [分析] 由于题设中要求取出次品不再放回, 故应仔细分析每一个 X 所对应的事件的准 确含义.据此正确地计算概率 p. [解析] X 可能的取值为 0、1、2、3 这四个数,而 X=k 表示,共取了 k+1 次零件, 前 k 次取得的是次品,第 k+1 次取得正品,其中 k=0、1、2、3. (1)当 X=0 时,第 1 次取到正品,试验中止,此时 C9 3 P(X=0)= 1 = . C12 4 (2)当 X=1 时,第 1 次取到次品,第 2 次取到正品, C3 C9 9 P(X=1)= 1 × 1 = . C12 C11 44 (3)当 X=2 时,前 2 次取到次品,第 3 次取到正品,
1 1 1

P(X=2)= 1 × 1 × 1 =

C3 C2 C12 C11

1

1

C9 C10

1

9 . 220

当 X=3 时,前 3 次将次品全部取出,

P(X=3)= 1 × 1 × 1 =
所以 X 的分布列为:

C3 C2 C12 C11

1

1

C1 C10

1

1 . 220

X P E(X)=0× +1× +2×
3 4 9 44

0 3 4

1 9 44

2 9 220

3 1 220

9 1 3 +3× = . 220 220 10
3

3.(2014·石家庄质检)某商场为了了解顾客的购物信息,随机的在商场收集了 100 位 顾客购物的相关数据,整理如下: 一次购物款 (单位:元) 顾客人数 [0,50) [50,100) 20 [100,150) 30 [150,200) [200,+∞) 10

m

n

统计结果显示: 100 位顾客中购物款不低于 100 元的顾客占 60%.据统计该商场每日大约 有 5000 名顾客, 为了增加商场销售额度, 对一次性购物不低于 100 元的顾客发放纪念品(每 人一件).(注:视频率为概率) (1)试确定 m、n 的值,并估计该商场每日应准备纪念品的数量; (2)现有 4 人去该商场购物,求获得纪念品的人数 ξ 的分布列与数学期望. [解析] (1)由已知,100 位顾客中购物款不低于 100 元的顾客有 n+40=100×60%,

n=20; m=100-(20+30+20+10)=20.
60 该商场每日应准备纪念品的数量大约为 5000× =3000 件. 100 (2)由(1)可知 1 人购物获得纪念品的频率即为概率

p=

60 3 = . 100 5

3 故 4 人购物获得纪念品的人数 ξ 服从二项分布 B(4, ). 5
0 4 P(ξ =0)=C0 4( ) ( ) =

3 5 3 5 3 5 3 5 3 5

2 5 2 5 2 5 2 5 2 5

16 , 625 96 , 625 216 , 625 216 , 625

1 3 P(ξ =1)=C1 4( ) ( ) =

2 2 P(ξ =2)=C2 4( ) ( ) =

3 1 P(ξ =3)=C3 4( ) ( ) =

4 0 P(ξ =4)=C4 4( ) ( ) =

81 , 625

ξ 的分布列为 ξ 0 16 625 1 96 625 2 216 625 3 216 625 4 81 625

P

16 96 216 216 81 12 ξ 数学期望为 E(ξ )=0× +1× +2× +3× +4× = . 625 625 625 625 625 5

4

3 12 或由 E(ξ )=4× = . 5 5 [方法点拨] 1.独立重复试验与二项分布 一般地,如果在一次试验中事件 A 发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中,事件
k n-k A 恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)=Ck (k=0,1,2,?,n).称事件 A 发生的次数 X np (1-p)

服从参数为 n、p 的二项分布. 若 X~B(n,p),则 E(X)=np,D(X)=np(1-p). 2.离散型随机变量的期望:设离散型随机变量 X 的分布列为

X P

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn
2 2

则 E(X)=x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn,D(X)=(x1-E(X)) p1+(x2-E(X)) p2+?+ (xn-E(X)) pn. 3. 准确辨别独立重复试验的基本特征(①在每次试验中, 试验结果只有发生与不发生两 种情况;②在每次试验中,事件发生的概率相同 ),牢记公式 Pn(k)= Cn p (1- p) 0,1,2,?,n,并深刻理解其含义,是解二项分布问题的关键. 4.对于复杂事件,要先辨析其构成,依据互斥事件,或者相互独立事件按事件的和或 积的概率公式求解, 还要注意含“至多”, “至少”类词语的事件可转化为对立事件的概率 求解. 请练习下题: 为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质, 学校对他们的体重进行 了测量,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1?2?3,其中第 2 小组的频数为 12.
k k n- k
2

, k=

(1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据, 若从全省报考飞行员的学生中(人数 很多)任选 3 人,设 X 表示体重超过 60kg 的学生人数,求 X 的分布列和数学期望. [分析] 先由频率直方图中前三组频率的比及第 2 小组频数及频率分布直方图的性质 求出 n 的值和任取一个报考学生体重超过 60kg 的概率.再由从报考飞行员的学生中任选 3 人知,这是三次独立重复试验,故 X 服从二项分布.
5

[解析] (1)设报考飞行员的人数为 n,前 3 个小组的频率分别为 p1,p2,p3,则由条件 可得:

p2=2p1, ? ? ?p3=3p1, ? ?p1+p2+p3+?0.037+0.013?×5=1.
解得 p1=0.125,p2=0.25,p3=0.375. 12 又因为 p2=0.25= ,故 n=48.

n

(2)由(1)可得,一个报考学生体重超过 60kg 的概率为

P=p3+(0.037+0.013)×5= ,
5 由题意知 X 服从二项分布 B(3, ), 8
k 3-k P(x=k)=Ck (k=0,1,2,3), 3( ) ( )

5 8

5 8

3 8

所以随机变量 X 的分布列为

X P E(X)=0×

0 27 512

1 135 512

2 225 512

3 125 512

27 135 225 125 15 +1× +2× +3× = . 512 512 512 512 8

4.(2015·江西省质量监测)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售 量的频率分布直方图,如图所示:

老板根据销售量给予店员奖励,具体奖励规定如下表 销售量 X 个 奖励金额(元)

X<100
0

100≤X<150 50

150≤X<200 100

X≥200
150

(1)求在未来连续 3 天里,店员共获得奖励 150 元的概率; (2)记未来连续 2 天,店员获得奖励 X 元,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X). [解析] (1)由频率分布直方图得店员一天获得 50 元、100 元、150 元的概率分别是 0.3,0.2,0.1,不得奖励的概率是 0.4, 所以未来连续 3 天里,店员共获得奖励 150 元的概率
6

1 2 P=0.33+A3 3×0.3×0.2×0.4+C3×0.4 ×0.1=0.219;

(2)X 可能取值有 0,50,100,150,200,250,300.

P(X=0)=0.42=0.16,P(X=50)=2×0.4×0.3=0.24. P(X = 100) = 0.32 +2×0.4×0.2= 0.25 , P(X = 150) =2×0.4×0.1+2×0.3×0.2=
0.20.

P(X=200)=0.22+2×0.3×0.1=0.10, P(X=250)=2×0.2×0.1=0.04, P(X=300)=0.12=0.01,
所以随机变量 X 的分布列是:

X P(X)

0 0.16

50 0.24

100 0.25

150 0.20

200 0.10

250 0.04

300 0.01

E(X) = 0×0.16 + 50×0.24 + 100×0.25 + 150×0.20 + 200×0.10 + 250×0.04 +
300×0.01=100(或 E(X)=2(0×0.4+50×0.3+100×0.2+150×0.1)=100) [方法点拨] 概率与统计知识相结合是高考主要命题方式之一.一般先解答统计问题, 最后依据条件确定随机变量的取值及其概率,再列出分布列求期望.请练习下题: (2015·江西上饶市三模)对某校高二年级学生暑期参加社会实践次数进行统计, 随机抽 取 M 名学生作为样本, 得到这 M 名学生参加社会实践的次数. 根据此数据作出了频数与频率 的统计表和频率分布直方图如下: 分组 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) 合计 频数 20 48 频率 0.25

n p
0.05 1

m
4

M

(1)求出表中 M,p 及图中 a 的值; (2)在所取样本中, 从参加社会实践的次数不少于 20 次的学生中任选 3 人, 记参加社会 实践次数在区间[25,30)内的人数为 X,求 X 的分布列和期望. 20 48 [解析] (1)由频率分布表和频率分布直方图的知识与性质知, =0.25, =n,0.25

M

M

7

+n+p+0.05=1, =a,解之可得 M=80,p=0.1,a=0.12. 5 (2)参加社会实践次数分别在[20,25]和[25,30)的人数依次为 0.1×80=8 人, 0.05×80 =4 人,从这 12 人中随机抽取 3 人,随机变量 X 的取值为 0,1,2,3.

n

P(X=0)= 3 =
2 1

C8 56 14 = , C12 220 55

3

C8C4 112 28 P(X=1)= 3 = = , C12 220 55 C8C4 48 12 P(X=2)= 3 = = , C12 220 55
1 2

P(X=3)= 3 =
分布列如下:

C4 4 1 = . C12 220 55

3

X P
可得 E(X)=1.

0 14 55

1 28 55

2 12 55

3 1 55

5. (2015·河南八市质量监测)某市在 2015 年 2 月份的高三期末考试中对数学成绩数据 统计显示,全市 10000 名学生的成绩服从正态分布 N(115,25),现某校随机抽取了 50 名学 生的数学成绩分析, 结果这 50 名同学的成绩全部介于 80 分到 140 分之间. 现将结果按如下 方式分为 6 组,第一组[80,90),第二组[90,100),??,第六组[130,140],得到如下图所 示的频率分布直方图.

(1)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值作代表); (2)这 50 名学生中成绩在 120 分(含 120 分)以上的同学中任意抽取 3 人, 该 3 人在全市 前 13 名的人数记为 X,求 X 的分布列和期望. 附:若 X~N(μ ,σ ),则 P(μ -σ <X<μ +σ )=0.6826,P(μ -2σ <X<μ +2σ )= 0.9544,P(μ -3σ <X<μ +3σ )=0.9974. [解析] (1)由频率分布直方图可知[120,130)的频率为: 1-(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)=1-0.88=0.12, 所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为
8
2

85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08 =8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107, 所以该校的平均成绩为 107. 13 (2)由于 =0.0013,根据正态分布: 10000 ∵P(115-3×5<X<115+3×5)=0.9974, 1-0.9974 ∴P(X≥130)= =0.0013,即 0.0013×10000=13,所以前 13 名的成绩全部 2 在 130 分以上, 根据频率分布直方图这 50 人中成绩在 130 分以上(包括 130 分)的有 0.08×50=4 人, 而在[120,140]的学生共有 0.12×50+0.08×50=10,所以 X 的取值为 0,1,2,3, 所以 P(X=0)=
2 1

C6 20 1 = , 3 = C10 120 6

3

P(X=1)= P(X=2)=

C5C4 60 1 = , 3 = C10 120 2 C4C4 36 3 C4 4 1 = ,P(X=3)= 2 = = . 4 = C10 120 10 C10 120 30
1 2 3

所以 X 的分布列为

X P
1 6 1 2 3 10

0 1 6 1 30

1 1 2

2 3 10

3 1 30

E(X)=0× +1× +2× +3× =1.2.
[方法点拨] 1.正态分布 数学期望为 μ ,标准差为 σ 的正态随机变量概率密度函数为 f(x) = ?x-μ ? ,x∈R. 2 2σ 2.正态曲线的特点 ①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; ③曲线在 x=μ 处达到峰值 1 σ 2π ;
2

1 2π σ

e-

④曲线与 x 轴之间的面积为 1; ⑤当 σ 一定时,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移,如图①所示;⑥当 μ 一定时,曲 线的形状由 σ 确定.σ 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ 越大,曲线越 “矮胖”,表示总体的分布越分散,如图②所示.
9

3.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 正态变量在区间(μ -σ ,μ +σ )内取值的概率为 68.3%; 正态变量在区间(μ -2σ ,μ +2σ )内取值的概率为 95.4%; 正态变量在区间(μ -3σ ,μ +3σ )内取值的概率为 99.7%. 4.期望、方差的性质

E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2D(X).
6.(2015·石家庄市一模)集成电路 E 由 3 个不同的电子元件组成,现由于元件老化, 1 1 2 三个电子元件能正常工作的概率分别降为 ,,, 且每个电子元件能否正常工作相互独立. 若 2 2 3 三个电子元件中至少有 2 个正常工作,则 E 能正常工作,否则就需要维修,且维修集成电路

E 所需费用为 100 元.
(1)求集成电路 E 需要维修的概率; (2)若某电子设备共由 2 个集成电路 E 组成,设 X 为该电子设备需要维修集成电路所需 的费用,求 X 的分布列和期望. 1 1 [解析] (1)三个电子元件能正常工作分别记为事件 A,B,C,则 P(A)= ,P(B)= , 2 2

P(C)= .
依题意,集成电路 E 需要维修有两种情形: ①3 个元件都不能正常工作,概率为

2 3

P1=P( A B C )=P( A )P( B )P( C )= × × = ;
②3 个元件中的 2 个不能正常工作,概率为

- - -







1 1 1 2 2 3

1 12

P2=P(A B C + A B C + A B C)=P(A B C )+P( A B C )+P( A B C)
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 = × × + × × + × × = 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 1 1 5 所以,集成电路 E 需要维修的概率为 P1+P2= + = . 12 3 12 5? ? (2)设 ξ 为维修集成电路的个数,则 ξ ~B?2, ?,而 X=100ξ , 12 ? ?

- -

- -

- -

--

- -

- -

10

k 2-k P(X=100k)=P(ξ =k)=Ck 2? ? ? ? ,k=0,1,2. ?12? ?12?

?5??7?

X 的分布列为: X P
0 49 144 100 35 72 200 25 144

49 35 25 250 ∴E(X)=0× +100× +200× = 144 72 144 3 5 250 或 E(X)=100E(ξ )=100×2× = . 12 3 7.(2014·郑州市质检)为了迎接 2014 年 3 月 30 日在郑州举行的“中国郑州国际马拉 松赛”, 举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动. 抽奖盒中装有 6 个大小相同的 小球, 分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志. 摇匀后, 参加者每次从盒中同 时抽取两个小球(取出后不再放回), 若抽到两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖, 并 停止取球;否则继续抽取.第一次取球就抽中获一等奖,第二次取球抽中获二等奖,第三次 取球抽中获三等奖,没有抽中不获奖.活动开始后,一位参赛者问:“盒中有几个印有‘郑 开马拉松’的小球?”主持人说“我只知道第一次从盒中同时抽两球,不都是‘美丽绿城 4 行’标志的概率是 .” 5 (1)求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数; (2)若用 η 表示这位参加者抽取的次数,求 η 的分布列及期望. [解析] (1)设印有“美丽绿城行”的球有 n 个,同时抽两球不都是“美丽绿城行”标 志为事件 A, Cn 则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是 P( A )= 2, C6 4 由对立事件的概率知 P(A)=1-P( A )= . 5 Cn 1 即 P( A )= 2= ,解得 n=3. C6 5 (2)由已知,两种球各三个,η 可能取值分别为 1、2、3,则 η =2 的含义是第一次取 到两球都印有“美丽绿城行”,第二次取球中奖;或第一次取到两类球各一个,第二次取球 中奖, C3 1 ∴P(η =1)= 2= , C6 5
2 2 2

P(η =2)= 2· 2+

C3 C3 C6 C4

2

2

C3C3 C2 1 2 · 2= , C6 C4 5

1 1

2

11

P(η =3)=1-P(η =1)-P(η =2)= ,则 η 的分布列为:
η Ρ 1 1 5 2 1 5 3 3 5

3 5

1 1 3 12 所以 E(η )=1× +2× +3× = . 5 5 5 5 [方法点拨] 解决概率的实际应用问题, 先通过审题, 将条件翻译为解题需要的数学语 言,再依据条件判明概率类型、弄清随机变量取值时所表示事件的含义,并把复杂事件进行 合理的分拆,转化为简单事件,最后代入对应公式进行计算. 请再练习下题: (2014·福建理,18)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖 励,规定:每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标 的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求: ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率; ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是 60000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额 尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡, 请对袋中的 4 个球的面值给出一 个合适的设计,并说明理由. [解析] (1)设顾客所获的奖励额为 X, (ⅰ)依题意,得 P(X=60)= C1C3 1 2 = , C4 2
1 1

1 顾客所获的奖励额为 60 元的概率为 ; 2 (ⅱ)依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60,

P(X=60)= ,P(X=20)= 2= .
即 X 的分布列为

1 2

C3 C4

2

1 2

X P

20 0.5

60 0.5

∴顾客所获的奖励额的期望 E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元). (2)根据商场的预算, 每个顾客的平均奖励为 60 元, 所以先寻找期望为 60 的可能方案, 对于面值由 10 元和 50 元组成的情况, 如果选择(10,10,10,50)的方案, 因为 60 元是面值之 和的最大值,所以期望不可能是 60 元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是面积
12

之和最小值,所以期望也不可能是 60 元,因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案 1, 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况, 同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方 案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案 2, 以下是对两个方案的评价: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获奖励额为 X1,则 X1 的分布列为

X1 P
1 6 2 3

20 1 6 1 6

60 2 3

100 1 6

X1 的期望为 E(X1)=20× +60× +100× =60, X1 的方差为 D(X1)=(20-60)2× +(60-60)2× +(100-60)2× =
1 6 2 3 1 6 1600 . 3

对于方案 2,即方案(20,20,40,40)设顾客所获的奖励额为 X2,则 X2 的分布列为

X2 P
1 6 2 3

40 1 6 1 6

60 2 3

80 1 6

X2 的期望为 E(X2)=40× +60× +80× =60, X2 的方差为 D(X2)=(40-60)2× +(60-60)2× +(80-60)2× =
1 6 2 3 1 6 400 . 3

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求, 但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小, 所以 应选择方案 2.

13


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