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2016高考


第2讲

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题

?y≤-x+2, 1.(2015· 泰安模拟)不等式组?y≤x-1, 所表示的平面区域的面积为 ?y≥0
A.1 1 B.2 1 C.3 1 D.4 解析 作出不等式组对应的区域为△BCD,由题

?y=-x+2, 1 意知 xB=1,xC=2.由? 得 yD=2, ?y=x-1, 1 1 1 所以 S△BCD=2×(xC-xB)×2=4. 答案 D 2 . (2014· 广东卷)若变量 x,y 满足约束条件

(

)

?y≤x, ?x+y≤1,且 z=2x+y 的最大值和最小值分别 ?y≥-1,
为 m 和 n,则 m-n= A.5 B.6 C.7 D.8 ( )

解析 作出可行域(如图中阴影部分所示)后, 结合目标函数可知,当直线 y=-2x+z 经过 点 A 时,z 的值最大, ?y=-1, ?x=2, 由? 得? 则 m=zmax= 2×2 ?x+y=1, ?y=-1, -1=3.当直线 y=-2x+z 经过点 B 时,z 的

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?y=-1, ?x=-1, 值最小,由? 得? 则 n=zmin=2×(-1)-1=-3,故 m-n= ?y=x, ?y=-1, 6. 答案 B 3.(2013· 陕西卷)若点(x,y)位于曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域,则 2x-y 的最小值为 A.-6 C.0 B.-2 D.2 ( )

解析 如图,曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域如 图中阴影部分,令 z=2x-y,则 y=2x-z,作直线 y=2x,在封闭区域内平行移动直线 y=2x,当经过点 (-2,2)时,z 取得最小值,此时 z=2×(-2)-2= -6. 答案 A

4.(2014· 成都诊断)在平面直角坐标系

?y≤1, xOy 中,P 为不等式组?x+y-2≥0,所 ?x-y-1≤0
( )

表示的平面区域上一动点,则直线 OP 斜率的最大值为 A.2 1 C.2 B.1 1 D.3

?x+y=2, 解析 作出可行域如图所示,当点 P 位于? 的交点(1,1)时,(kOP)max ?y=1 =1,故选 B.

答案 B
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?x-y≥1, 5.(2015· 济南模拟)已知变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, 目标函数 z=x+2y ?1<x≤a,
的最大值为 10,则实数 a 的值为 A.2 C.4 8 B.3 D.8 ( )

解析 结合图形求解.作出不等式组对应的平面区域,当目标函数经过点(a, a-1)时取得最大值 10,所以 a+2(a-1)=10,解得 a=4,故选 C. 答案 C 二、填空题

?x≤0, 6.(2015· 日照调研)若 A 为不等式组?y≥0, 表示的平面区域,则当 a 从-2 连 ?y-x≤2
续变化到 1 时,动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为________. 1 解析 平面区域 A 如图所示, 所求面积为 S=2× 1 2 2 1 7 2×2- × × =2- = . 2 2 2 4 4 7 答案 4 7 .在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组

?2x+3y-6≤0, ?x+y-2≥0, 所表示的区域上一动点,则 ?y≥0
|OM|的最小值是________. 解析 如图所示阴影部分为可行域,数形结 合可知,原点 O 到直线 x+y-2=0 的垂线 段长是|OM|的最小值, ∴|OM|min= 答案 2 |-2| = 2. 12+12

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?y≤x+1, 8.(2015· 盐城调研)设 x,y 满足约束条件?y≥2x-1, 若目标函数 z=abx+y(a ?x≥0,y≥0,
>0,b>0)的最大值为 35,则 a+b 的最小值为________. 解析 可行域如图所示,当直线 abx+y=z(a>0,b >0)过点 B(2,3)时,z 取最大值 2ab+3,于是有 2ab +3=35,ab=16,所以 a+b≥2 ab=2 16=8,当 且仅当 a=b=4 时等号成立,所以(a+b)min=8. 答案 8 三、解答题

?x-y+5≥0, 9.(2015· 合肥模拟)画出不等式组?x+y≥0, 表示的平面区域,并回答下列 ?x≤3
问题: (1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点? 解 (1)不等式组

?x-y+5≥0, ?x+y≥0, 表示的平面区域如图所示. ?x≤3
结合图中可行域得 ? 5 ? x∈?-2,3?,y∈[-3,8]. ? ? (2)由图形及不等式组知 -x≤y≤x+5, ? ? ? 5 - ≤x≤3,且x∈Z, ? ? 2 当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点;
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当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点; 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个). 10.制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏 损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大 盈利率分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%.若投资人 计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问 投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大? 解 设投资人分别用 x 万元,y 万元投资甲、乙两个项目,由题意知

?0.3x+0.1y≤1.8, ?x≥0, ?y≥0,
x+y≤10, 目标函数 z=x+0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示, 阴影部 分(含边界)即为可行域. 将 z=x+0.5y 变形为 y=-2x+2z,这是斜率为-2 随 z 变化的一组平行线, 当直线 y=-2x+2z 经过可行域内的点 M 时,直线 y=-2x+2z 在 y 轴上的 截距 2z 最大,z 也最大. 这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点. ?x+y=10, 解方程组? 得 x=4,y=6, ?0.3x+0.1y=1.8, 此时 z=4+0.5×6=7(万元). ∴当 x=4,y=6 时,z 取得最大值, 所以投资人用 4 万元投资甲项目、 6 万元投资乙项目, 才能在确保亏损不超过 1.8 万元的前提下,使可能的盈利最大.

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能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
x+y-7≤0, ? 11.已知圆 C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域 Ω:?x-y+3≥0,若圆心 C∈Ω, ?y≥0. 且圆 C 与 x 轴相切,则 a2+b2 的最大值为 A.5 C.37 B.29 D.49 ( )

解析 由已知得平面区域 Ω 为△MNP 内部及边界.∵圆 C 与 x 轴相切,∴b =1.显然当圆心 C 位于直线 y=1 与 x+y-7=0 的交点(6, 1)处时, amax=6.∴a2 +b2 的最大值为 62+12=37.故选 C.

答案 C

?x-y+2≥0, 12.已知实数 x,y 满足不等式组?x+y-4≥0, 若目标函数 z=y-ax 取得最大 ?2x-y-5≤0,
值时的唯一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围为 A.(-∞,-1) C.[1,+∞) 解析 B.(0,1) D.(1,+∞) ( )

作出不等式组对应的平面区域

BCD,由 z=y-ax,得 y=ax+z,要使目 标函数 y=ax+z 仅在点(1,3)处取最大值, 则只需直线 y=ax+z 仅在点 B(1, 3)处的截 距最大,由图象可知 a>kBD,因为 kBD=1, 所以 a>1,即 a 的取值范围是(1,+∞). 答案 D
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?x+4y≥4, 13.(2013· 广东卷)给定区域 D:?x+y≤4, 令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z, ?x≥0.
(x0,y0)是 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点},则 T 中的点共确定 ________条不同的直线. 解析 线性区域为图中阴影部分,取得最小值 时点为(0,1),最大值时点为(0,4),(1,3), (2,2),(3,1),(4,0),点(0,1)与(0,4),(1, 3),(2,2),(3,1),(4,0)中的任何一个点都 可以构成一条直线,共有 5 条,又(0,4),(1, 3),(2,2),(3,1),(4,0)都在直线 x+y=4 上,故 T 中的点共确定 6 条不同的直线. 答案 6

?x-4y+3≤0, 14.变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ?x≥1.
y (1)设 z=x,求 z 的最小值; (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围; (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围.



?x-4y+3≤0, 由约束条件?3x+5y-25≤0,作出(x,y)的可行域如图阴影部分所示. ?x≥1.

?x=1, 22? ? 由? 解得 A?1, 5 ?. ? ? ?3x+5y-25=0, ?x=1, 由? 解得 C(1,1). ?x-4y+3=0,
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?x-4y+3=0, 由? 解得 B(5,2). ?3x+5y-25=0, y y-0 (1)∵z=x= .∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率.观察图形 x-0 2 可知 zmin=kOB=5. (2)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方.结合图形可 知,可行域上的点到原点的距离中,dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29. 故 z 的取值范围是[2,29]. (3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2 的几何意义是可行域上的点到点 (-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中, dmin=1-(-3)=4,dmax= (-3-5)2+(2-2)2=8. 故 z 的取值范围是[16,64].

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