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四川省成都市高新区2015届高三数学9月月考试题 理


四川省成都市高新区 2015 届高三数学 9 月月考试题 理
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。

(m ? ni) ? 1. 已知 m, n ? R, i 是虚数单位,若 2 ? ni 与 m ? i 互为共轭复数,则
2



(A) 5 ? 4i

(B) 5 ? 4i

(C) 3 ? 4i

(D) 3 ? 4i

2. 设集合 A ? {x x ? 1 ? 2}, B ? {x |1 ? x ? 4}, 则 A ? B ? (A) [1,3)
8

(B) (1,3)
2

(C) [0,2]

(D) (1,4) (D)8

3. 在 (1 ? x) 的展开式中,含 x 项的系数为 (A)28 (B)56 (C)70

4. 设 {an } 是公比为 q 的等比数列,则“ {an } 为递增数列”是“ q ? 1 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 5. 将函数 y ? 3sin 2 x 的图象向左平移 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? 个单位长度,所得图象对应的函数 2 ? ? ? ? (A) 在区间 [ ? , ] 上单调递减 (B) 在区间 [ ? , ] 上单调递增 4 4 4 4 ? ? ? ? (C) 在区间 [ ? , ] 上单调递减 (D) 在区间 [ ? , ] 上单调递增 2 2 2 2 6. 执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 n 的值为
(A)5 (B)3 (C)2 7. 某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A) 8 ? 2? (B) 8 ? ? (C) 8 ? (D)1

? 2

(D) 8 ?

? 4

1

? x 2 ? 2tx ? t 2 , x ? 0 ? 8.已知 f ( x) ? ? ,若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 t 的取值范围为 1 ? x ? ? t, x ? 0 x ?
(A)[-1,2] (B)[-1,0] (C)[1,2] (D) [0, 2]

9. 为了研究某药物的疗效, 选取若干名志愿者进行临床试验, 所有志愿者的舒张压数据 (单 位: kPa )的分组区间为 [12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的 顺序分别编号为第一组,第二组,??,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方 图,已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人 数为 (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 18

10. 当 x ?[?2,1] 时,不等式 mx ? x ? 4 x ? 3 恒成立,则实数 m 的取值范围是
3 2

(A) [ ?6, ? ]

9 8

(B) [?6, ?2]

(C) [?5, ?3]

(D) [?4, ?3]

2

2014 年高 2015 届成都高新区学月统一检测 数学(理) 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11.某中学为了解高三学生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从高 三的四个班的学生中抽取一个容量为 100 的样本进行调查.已知一、二、三、四班的学生人 数之比为 4:5:5:6,则应从一班学生中抽取____ ___名学生. .

12.在等差数列 {an } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 = 13.在 ?ABC 中, A ? 60?, b ? 4, a ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积等于_______ __. 14.要从 7 个班中选 10 人参加演讲比赛,每班至少 1 人,共有

种不同的选法.

15.下图展示了一个由区间 (0,1) 到实数集 R 的映射过程:区间 (0,1) 中的实数 m 对应数上的 点 m ,如图 1;将线段 AB 围成一个圆,使两端点 A, B 恰好重合,如图 2;再将这个 圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在 y 轴上,点 A 的坐标为 (0,1) ,如图 3.图 3 中 直线 AM 与 x 轴交于点 N (n,0) ,则 m 的象就是 n ,记作 f (m) = n .

下列说法中正确命题的序号是 ①方程 f (x) = 0 的解是 x = ③ f ? x ? 是奇函数;
1 ? ⑤ f ? x ? 的图象关于点 ? ? , 0 ? 对称. ?2 ?

.(填出所有正确命题的序号) ② f ? ? ?1; ④ f ? x ? 在定义域上单调递增;

1 ; 2

?1? ?4?

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.(本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ?

? ?

??

3 2 , x?R . ? ? 3 cos x ? 3? 4
? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?

(Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ? x ? 在闭区间 ? ?

3

17. (本题满分 12 分)某中学社团部志愿者协会共有 6 名男同学,4 名女同学. 在这 10 名 同学中,3 名同学来自动漫社,其余 7 名同学来自摄影社、话剧社等其他互不相同的七个社 团. 现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到社区参加志愿活动(每位同学被选到的可能 性相同). (Ⅰ)求选出的 3 名同学是来自互不相同社团的概率; (Ⅱ)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

18. (本题满分 12 分) 已 知 f ( x ) 为 定 义 在 [- 1,1]

上 的 奇 函 数 , 当 x ? [ 1, 0] 时 , 函 数 解 析 式 为

1 b - x (b R) . x 4 2 (Ⅰ)求 b 的值,并求出 f ( x ) 在 [0,1] 上的解析式; f ( x) =

4

(Ⅱ)求 f ( x ) 在 [0,1] 上的最值.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P- ABCD 中 , PA ^ 底 面 A B C D , AD ^ AB ,

AB // DC ,

AD = DC = AP = 2 , AB = 1 ,点 E 为棱 PC 的中点.
(Ⅰ)证明: BE ^ DC ; (Ⅱ)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF ^ AC , 求二面角 F - AB - P 的余弦值.

5

20. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的公差为 2 ,前 n 项和为 S n ,且 S 1 , S2 , S4 成等比数列。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn = (?1)
n ?1

4n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an an ?1

6

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? e ? kx ( k 为常数)的图象与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ?x ? 在点 A 处的
x

切线斜率为 ? 1 . (Ⅰ)求 k 的值及函数 f ?x ? 的极值; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, x ? e ;
2 x

(Ⅲ)证明:对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ?x0, ? ?? ,恒有 x ? ce .
2 x

7

2014 年高 2015 届成都高新区学月统一检测 数学(理)标准答案与评分细则 一、选择题:1-5:DAADA 6-10 BBDCB 部分解答: 7. 解析:选 B。由三视图知:几何体是正方体切去两个 圆柱, 正方体的棱长为 2,切去的圆柱的底面半径为 1,高为 2, ∴几何体的体积 V=2 ﹣2× ×π ×1 ×2=8﹣π . 8.解析:选 D。 解法一:排除法。 当 a=0 时,结论成立,排除 C; 当 a=-1 时,f(0)不是最小值,排除 A、B,选 D。 解法二:直接法。 由于当 x ? 0 时, f ( x) ? x ?
3 2

1 ? a 在 x ? 1 时取得最小值为 2 ? a ,由题意当 x ? 0 时, x

f ( x) ? ( x ? a)2 递减,则 a ? 0 ,此时最小值为 f (0) ? a2 ,所以 a2 ? a ? 2,?0 ? a ? 2 ,
选 D。 10. 解析:选 B。 3 2 当 x=0 时,不等式 ax ﹣x +4x+3≥0 对任意 a∈R 恒成立; 当 0<x≤1 时,ax ﹣x +4x+3≥0 可化为 a≥
3 2



令 f(x)=

,则 f′(x)=

=﹣

(*) ,

当 0<x≤1 时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增, f(x)max=f(1)=﹣6,∴a≥﹣6; 当﹣2≤x<0 时,ax ﹣x +4x+3≥0 可化为 a≤
3 2



由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<0 时,f′ (x)>0,f(x)单调递增, f(x)min=f(﹣1)=﹣2,∴a≤﹣2; 综上所述,实数 a 的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数 a 的取值范围是[﹣6,﹣2]. 二、填空题:11. 20 12. 15 部分解答: 14.解析:84 。共分三类: 13. 2 3 14.24 15.①④⑤

8

第一类:一个班出 4 人,其余 6 个班各出 1 人,有 C7种; 第二类:有 2 个班分别出 2 人,3 人,其余 5 个班各出 1 人,有 A7种; 第三类:有 3 个班各出 2 人,其余 4 个班各出 1 人,有 C7种, 故共有 C7+A7+C7=84(种). 15. 解析: ① f ( x) ? 0 则 x ? 1 ,正确;
2
1 2 3 3 2

1

②当 m ? 1 时,∠ACM= ? ,此时 n ? ?1 故 f ( 1 ) ? ?1 ,不对;
4 2 4

③ f ( x) 的定义域为 (0,1) 不关于原点对称,是非奇非偶函数; ④显然随着 m 的增大, n 也增大;所以 f ? x ? 在定义域上单调递增 ,正确; ⑤ 又整个过程是对称的,所以正确。 三、解答题: 16.解: (Ⅰ)由已知,有

骣 ?1 sin x + 3 cos x÷ ÷ f ( x) = cos x 诅 ÷ ? ÷ ? 2 2 桫

3 cos 2 x +

3 4

=

1 sin x ?cos x 2

3 3 cos 2 x + 2 4

..................................2 分

=

1 3 3 sin 2 x (1 + cos 2 x) + 4 4 4 1 sin 2 x 4 3 1 骣 p cos 2 x = sin ? 2x - ÷ ÷. ? 桫 4 2 ? 3÷
2p = p. 2
....... ....... ....... ....... 4 分

=

所以, f ( x) 的最小正周期 T = (Ⅱ)因为 f ( x) 在区间 犏 - ,-

..................................6 分

轾p 犏 臌4

轾p p p 上是减函数,在区间 犏 , 上是增函数. ...8 分 犏 12 臌12 4 骣p÷ 1 =- , ÷ ÷ ? 桫 12 2 骣 p 1 f? = . ÷ ? ÷ ÷ ? 桫 4 4

根据图像的对称性知其最小与最大值分别为: f ? ?-

所以,函数 f ( x) 在闭区间 犏 - ,

轾p p 1 1 上的最大值为 ,最小值为 . ..........12 分 犏 4 2 臌4 4

17.解: (Ⅰ)设“选出的 3 名同学来自互不相同的社团”为事件 A ,则

P( A) =

1 2 C3 ?C7

0 3 C3 C7

C

3 10

=

49 . 60

9

所以,选出的 3 名同学来自互不相同社团的概率为

49 . 60

..................... 6 分
k 3- k C4 ×C6 (k = 0,1,2,3) . 3 C10

(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3. P( x = k ) = 所以,随机变量 X 的分布列是

X
P

0

1

2

3

1 6 1 6

1 2

3 10 1 3 + 2? 2 10 1 30

1 30 6 . .........12 分 5

.................................. 10 分 随机变量 X 的数学期望 E ( X ) = 0 ?

1

3?

18.解:(Ⅰ)∵f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(x)在 x=0 处有意义, ∴f(0)=0,即 f(0)==1- b =0. ∴ b =1. ............. 3 分 设 x∈[0,1],则-x∈[-1,0]. 1 1 x x ∴f(-x)= -x- -x=4 -2 . 4 2 又∵f(-x)=-f(x) x x ∴-f(x)=4 -2 . x x ∴f(x)=2 -4 . x x 所以, f ( x ) 在 [0,1] [上的解析式为 f(x)=2 -4 .................... 6 分 x x x x 2 (Ⅱ)当 x∈[0,1],f(x)=2 -4 =2 -(2 ) , x 2 ∴设 t=2 (t>0),则 f(t)=t-t . ∵x∈[0,1],∴t∈[1,2]. 当 t=1 时,取最大值,最大值为 1-1=0. 当 t=0 时,取最小值为-2. 所以,函数在[0,1]上的最大与最小值分别为 0,-2. .................... 12 分 19.解: 解法一:坐标法。 依题意,以点 A 为原点建立空间直角坐标系(如图) ,.........................2 分 可得 B(1,0,0) ,C (2,2,0) ,D(0,2,0) ,P(0,0,2) .由 E 为棱 PC
P z

的中点,得 E (1,1,1) .
y

E

(Ⅰ)向量 BE = (0,1,1) , DC = (2,0,0),故 BE ?DC 以,

0. 所
A

D

C

B

x

BE ^ DC .

................................................5 分

(Ⅱ)向量 BC = (1,2,0) , CP = (- 2, - 2,2) , AC = (2,2,0) , AB = (1,0,0) .

10

由点 F 在棱 PC 上,设 CF = l CP , 0 #l

1.

故 BF = BC + CF = BC + l CP = (1- 2l ,2 - 2l ,2l ) . 由 BF ^ AC ,得 BF ? AC

0,
3 . ...........................7 分 4

因此, 2(1- 2l ) + 2(2 - 2l ) = 0 ,解得 l = 即 BF = ? ? ?

骣 1 1 3÷ , , ÷. 桫 2 2 2÷
0,

ì ? ? n1 ? AB 设 n1 = ( x, y, z ) 为平面 FAB 的法向量,则 í ? ? ? n1 ?BF

ì x = 0, ? ? 即? í 1 1 3 - x + y + z = 0. 0, ? ? ? 2 2 2 ?

不妨令 z = 1 ,可得 n1 = (0, - 3,1) 为平面 FAB 的一个法向量. ..................9 分 取平面 ABP 的法向量 n2 = (0,1,0) ,则

cos n1 , n2 =

n1 ×n2 n1 × n1

=

- 3 10 ? 1

=-

3 10 . 10

易知,二面角 F - AB - P 是锐角,所以其余弦值为 解法二:几何法。 (Ⅰ)如图,取 PD 中点 M ,连接 EM , AM .

3 10 . 10

................12 分

由于 E , M 分别为 PC , PD 的中点, 故 EM // DC ,且 EM =

1 DC ,又由已知,可得 2

EM // AB 且 EM = AB ,故四边形 ABEM 为平行四边形,所以 BE // AM .

因为 PA ^ 底面 ABCD ,故 PA ^ CD ,而 CD ^ DA ,从 而 CD ^ 平面 PAD ,因为 AM ? 平面 PAD ,于是 CD ^ AM ,又 BE // AM ,所以

BE ^ CD .

....................................................5 分

(Ⅱ)如图,在 D PAC 中,过点 F 作 FH // PA 交 AC 于点 H .

11

因为 PA ^ 底面 ABCD ,故 FH ^ 底面 ABCD , 从而 FH ^ AC .又 BF ^ AC ,得 AC ^ 平面 FHB ,因此 AC ^ BH . 在底面 ABCD 内,可得 CH = 3HA ,

CF = 3FP .在平面 PDC 内,作 FG // DC 交 PD 于点 G ,于是 DG = 3GP .
由于 DC // AB ,故 GF // AB ,所以 A, B, F , G 四点共面. 由 AB ^ PA , AB ^ AD ,得 AB ^ 平面 PAD ,故 AB ^ AG . 所以 ?PAG 为二面角 F - AB - P 的平面角. 在 D PAG 中, PA = 2 , PG = ..........................9 分

1 2 , ? APG PD = 4 2

45 ,

由余弦定理可得 AG =

10 , 2 3 10 . 10

在三角形 PAG 中,由余弦定理得 cos ? PAG

所以,二面角 F - AB - P 的斜率值为

3 10 ............................12 分 10

20.解: (Ⅰ) d ? 2, S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d ,
2 ? S1, S2 , S4成等比? S2 ? S1S4

解得 a1 ? 1,? an ? 2n ?1 (Ⅱ) bn ? (?1)
n ?1

...................................... 5 分

4n 1 1 ? (?1) n?1 ( ? ) an an?1 2n ? 1 2n ? 1

........................7 分

1 1 1 1 1 当n为偶数时,Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 3 5 5 7 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
?Tn ? 1 ? 1 2n ? 2n ? 1 2n ? 1
.......................10 分

1 1 1 1 1 当n为奇数时,Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 3 5 5 7 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

12

? Tn ? 1 ?

1 2n ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1

? 2n , n为偶数 ? ? 2n ? 1 ?Tn ? ? ? 2n ? 2 , n为奇数 ? ? 2n ? 1
21.解:(Ⅰ)由 f ( x) ? e x ? kx ,得 f '( x) ? e x ? k . 又 f '(0) ? 1 ? k ? ?1 ,得 k ? 2 . 所以 f ( x) ? ex ? 2x, f '( x) ? e x ? 2 . 令 f '( x) ? 0 , 得 x ? ln 2 . 当 x ? ln 2 时 ,

................... 13 分

............................ 2 分

f '( x) ? 0, f ( x) 单 调 递 减 ; 当 x ? ln 2 时 , f ( x) 取 得 极 小 值 , 且 极 小 值 为
......... 5 分

f '( x) ? 0, f ( x) 单 调 递 增 .

所 以 当 x ? ln 2 时 ,

f (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? ln 4 ? 0, f ( x) 无极大值.
(Ⅱ)令 g ( x) ? e x ? x 2 ,则 g '( x) ? e x ? 2 x . 由(I)得 g '( x) ? f ( x) ? f (ln 2) ? 0 , 故 g ( x) 在 R 上单调递增,又 g (0) ? 1 ? 0 ,
2 x 因此,当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 x ? e .

................9 分
2 x

(Ⅲ)①若 c ? 1 ,则 e ? ce .又由(II)知,当 x ? 0 时, x ? e .
x x

所以当 x ? 0 时, x ? ce .取 x0 ? 0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? cx .........11 分
2 x 2 2

②若 0 ? c ? 1 ,令 k ?

1 ? 1 ,要使不等式 x 2 ? ce x 成立,只要 e x ? kx 2 成立.而要使 e x ? kx 2 c
2

成立,则只要 x ? ln(kx ) ,只要 x ? 2 ln x ? ln k 成立. 令 h( x) ? x ? 2ln x ? ln k ,则 h '( x) ? 1 ?

2 x?2 ? . x x

所以当 x ? 2 时, h '( x) ? 0, h( x) 在 (2, ??) 内单调递增. 取 x0 ? 16k ? 16 ,所以 h( x) 在 ( x0 , ??) 内单调递增. 又 h( x0 ) ? 16k ? 2ln(16k ) ? ln k ? 8(k ? ln 2) ? 3(k ? ln k ) ? 5k .

13

易知 k ? ln k , k ? ln 2,5k ? 0 .所以 h( x0 ) ? 0 .即存在 x0 ?

16 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 c

x 2 ? ce x .
综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce . .....14 分
2 x

解法二: (Ⅰ)同解法一(Ⅱ)同解法一(Ⅲ)对任意给定的正数 c,取 xo ?
x x

4 c

由(Ⅱ)知,当 x>0 时, e x ? x ,所以 e ? e 2 ? e 2 ? ( ) ( ) ,当 x ? xo 时,
x 2 2

2

x 2

x 2

x x 4 x 1 2 e x ? ( )2 ( )2 ? ( )2 ? x 2 2 c 2 c
因此,对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce .
2 x

14


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