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2012年全国高中数学联合竞赛湖北高一年级省预赛试题参考答案


2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高一年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思路合理、 步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1.已知集合 A ? { x | x ? a }, B ? {

x | x ? b }, a , b ? N,且 A ? B ? N ? {1} ,则 a ? b 2.已知正项等比数列 { a n } 的公比 q
? 1 ,且 a 2 , a 4 , a 5

?

1
?


3? 2 5

成等差数列,则

a1 ? a 4 ? a 7 a3 ? a6 ? a9



3.函数

f (x) ? x

x ?1
2

? 4x ? 7

的值域为 [ 0 ,

6 6

].

4.已知 3 sin

2

? ? 2 sin

2

? ? 1 , 3 (sin ? ? cos ? )

2

? 2 (sin ? ? cos ? )

2

? 1 ,则 cos 2 (? ? ? ) ?

?

1 3



5.已知数列 { a n } 满足: a 1 为正整数,
?an ? , a n ?1 ? ? 2 ? 3 a n ? 1, ? a n 为偶数 a n 为奇数 , ,

如果 a 1

? a 2 ? a 3 ? 29

,则 a 1

?

5


? 2b

6.在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边长 a , b , c 满足 a ? c

,且 C

? 2A

,则 sin

A ?

7 4



7.在△ ABC 中, AB

? BC ? 2

, AC

? 3

.设 O 是△ ABC 的内心,若 AO

? p AB ? q AC

,则

p q

的值为

3 2



8.设 x 1 , x 2 , x 3 是方程 x 3

? x ?1 ? 0

的三个根,则 x 15

? x2 ? x3

5

5

的值为

-5



二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分)
2 9.已知正项数列 { a n } 满足 a n a n ? 1 ? a n a n ? 2 ? 4 a n a n ? 1 ? a n ? 1 ? 3 a n a n ? 1 且 a 1 ? 1 , a 2 ? 8 ,求 { a n }

的通项公式. 解 在已知等式两边同时除以
a n a n ?1

,得

1?

a n?2 a n ?1

? 4 1?

a n ?1 an

? 3



所以

1?

an?2 a n ?1

? 1 ? 4( 1 ?

a n ?1 an

? 1) .

------------------------------------------4 分

令bn
b n ? b1 ? 4

?

1?

a n ?1 an

?1

,则 b 1

? 4 , b n ?1 ? 4 b n

,即数列 { b n } 是以 b 1 =4 为首项,4 为公比的等比数列,所以 ------------------------------------------8 分

n ?1

? 4

n

.

1-1

所以

1?

a n ?1 an

?1 ? 4

n

,即

a n ? 1 ? [( 4

n

? 1)

2

? 1] a n

.

------------------------------------------12 分

于是,当 n
a n ? [( 4
n ?1

? 1 时,
2

? 1)
n ?1

? 1 ] a n ? 1 ? [( 4
k ?1

n ?1

? 1)

2

? 1 ] ? [( 4

n?2

? 1)

2

? 1] a n ? 2

n ?1

?? ?

?
k ?1

[( 4

? 1)

2

? 1] a 1 ?

?
k ?1

[( 4

k ?1

? 1)

2

? 1]



因此, a n

?1 , ? n ?1 ? ? k ?1 2 [( 4 ? 1 ) ? 1 ], ?? ? k ?1

n ? 1, n ? 2.

------------------------------------------16 分

10.已知正实数 a , b 满足 a 2

?b

2

?1

,且 a 3
?
2

?b

3

? 1 ? m ( a ? b ? 1)

3

,求 m 的最小值.

解 令 a ? c o s ? , b ? s in ? , 0 ? ? ?
m ? cos
3

,则
2

? ? sin

3

? ?1
3

(cos ? ? sin ? ? 1 )

?

(cos ? ? sin ? )(cos

? ? cos ? sin ? ? sin
3

2

?)?1

(cos ? ? sin ? ? 1 )
x ? 2 sin( ? ?

.----------------------------------------5 分
x
2



x ? cos ? ? sin ?

,则

?
4

) ? (1 ,

2 ] ,且 cos ? sin ? ?

?1 2

.------------------------------10 分

于是
x (1 ? m ? x
2

?1 2
3

)?1 ?

2 ? 3x ? x 2 ( x ? 1)
? 1 2
3

3

( x ? 1)

?

2? x? x 2 ( x ? 1)
2]

2 2

?

2? x 2 ( x ? 1)

?

3 2 ( x ? 1)
f (

?

1 2



------------------------------15 分 .

因为函数

f (x) ?

3 2 ( x ? 1)

在 (1,
3

上单调递减,所以 .

2 ) ? m ? f (1 )

因此, m 的最小值为

f(

2) ?

2 ?4 2

------------------------------------------20 分

11.设

f ( x ) ? log

a

( x ? 2 a ) ? log

a

( x ? 3a )

,其中 a

? 0

且a

? 1 .若在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ]

上 f ( x ) ? 1 恒成立,

求 a 的取值范围. 解
f ( x ) ? lo g a ( x ? 5 a x ? 6 a ) ? lo g a [( x ?
2 2

5a 2

) ?
2

a

2

].

4

由?

? x ? 2a ? 0, ? x ? 3a ? 0,

得x

? 3a

,由题意知 a ? 3 ? 3 a ,故 a

?

3 2

,从而 ( a ? 3 ) ?

5a 2

?

3 2

( a ? 2 ) ? 0 ,故函数

g (x) ? (x ?

5a 2

) ?
2

a

2

在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上单调递增. ,则
f (x)

------------------------------------------5 分
f (x)

4
a ?1
2

(1)若 0 ?
f ( a ? 3 ) ? log
a

在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上单调递减,所以

在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上的最大值为

(2a

? 9a ? 9)


f (x) ? 1

在 区 间 [ a ? 3, a ? 4 ] 上 不 等 式

恒成立,等价于不等式
1-2

log

a

(2a

2

? 9a ? 9) ? 1

成立,从而

2a

2

? 9a ? 9 ? a

,解得 a 得0 ?
3 2

?

5? 2

7

或a

?

5? 2

7

. ------------------------------------------10 分

结合 0 ?

a ?1

a ?1



(2)若 1 ?
f ( a ? 4 ) ? log

a ?

,则

f (x)

在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上单调递增,所以

f (x)

在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上的最大值为

a

(2a

2

? 12 a ? 16 )

.
f (x) ? 1

在 区 间 [ a ? 3, a ? 4 ] 上 不 等 式
2a
2

恒成立,等价于不等式
13 ? 4 41 ? a ? 13 ? 4 41

log

a

(2a

2

? 12 a ? 16 ) ? 1

成立,从而

? 12 a ? 16 ? a

,即 2 a 2
? 3 2

? 13 a ? 16 ? 0

,解得



易知

13 ? 4

41

,所以不符合.

------------------------------------------15 分 ------------------------------------------20 分

综上可知: a 的取值范围为 ( 0 ,1) .

1-3


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