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湖北省武汉市华中师大一附中2015届高考数学适应性试卷(文科)(5月份)


湖北省武汉市华中师大一附中 2015 届高考数学适应性试卷(文 科) (5 月份)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设 a 是实数,且 A. B. 1
2

是实数,则 a=() C. D.2

2. (5 分)已知

集合 M={x|x ﹣5x<0},N={x|p<x<6},若 M∩N={|2<x<q},则 p+q 等于() A.6 B. 7 C. 8 D.9 3. (5 分)下列说法中不正确的是() A.若命题 p:?x0∈R,使得 x0 ﹣x0+1<0,则¬p:?x∈R,都有 x ﹣x+1≥0. B. 存在无数个 α、β∈R,使得等式 sin(α﹣β)=sinαcosβ+cosαsinβ 成立 C. 命题“在△ ABC 中,若 sinA=sinB,则 A=B”的逆否命题是真命题 D.“p∧q 为真”是“p∨q 为真”的必要不充分条件 4. (5 分)在等比数列{an}中,公比 q>1,a1+am=17,a2am﹣1=16,前 m 项和 Sm=31,则项数 m 等于() A.4 B. 5 C. 6 D.7 5. (5 分)已知函数 f(x)=sinx+λcosx 的图象的一个对称中心是点( =λsinxcosx+sin x 的图象的一条对称轴是直线() A.x= B.x=
2 2 2 2 2

,0) ,则函数 g(x)

C.x=

D.x=﹣

6. (5 分) 已知直线 3x+4y﹣15=0 与圆 x +y =25 交于 A、 B 两点, 点 C 在圆 O 上, 且 S△ ABC=8, 则满足条件的点 C 的个数为() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 7. (5 分)某几何体的三视图如图所示,当 xy 最大时,该几何体的体积为()

A.2

B. 4

C. 8

D.16

8. (5 分)在平面直角坐标系 xoy 中,点 M(x,y)的坐标满足不等式组

,已知

N(1,﹣1)且 A.0

?

的最小值为﹣1,则实数 m=() B. 2 C. 5 D.6

9. (5 分)已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数对(x1,y1)∈M,都存在(x2, y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合: ①M={(x,y)|y= }; ②M={(x,y)|y=log2x};③M={(x,y)|y=e ﹣2}; ④M={(x,y)|y=sinx+1};其中是“垂直对点集”的序号是() A.①④ B.②③ C.③④
2 x

D.②④

10. (5 分)设函数 f(x)满足 x f′(x)+2xf(x)= A.有极大值,无极小值 C. 既有极大值又有极小值

,f(2)=

,则 x>0 时,f(x) ()

B. 有极小值,无极大值 D.既无极大值也无极小值

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上.答错位置、书写不清、模棱两可均不得分. 11. (5 分)要从已编号 1~360 的 360 件产品中随机抽取 30 件进行检验,用系统抽样的方法 抽出样本.若在抽出的样本中有一个编号为 105,则在抽出的样本中最小的编号为. 12. (5 分)已知向量 为. 13. (5 分)若执行如图所示的程序框图后,输出的结果是﹣29,则判断框中的整数 k 的值是. 为单位向量,且 =﹣ ,向量 与 + 共线,则| + |的最小值

14. (5 分)在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 M,则满足∠AMB<90°的概率为.

15. (5 分)已知 f(x)= 是.

,若 f(a)>f(﹣a) ,则实数 a 的取值范围

16. (5 分)已知 F 为抛物线 y =2px(p>0)的焦点,抛物线的准线与双曲线

2



=1(a

>0,b>0)的两条渐近线分别交于 A、B 两点.若△ AFB 为直角三角形,则双曲线的离心率 为.

17. (5 分)已知 f(x)=min{2

,|x﹣2|},其中 min{a,b}=

,若动直线 y=m 与函

数 y=f(x)的图象有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1,x2,x3. (1)m 的取值范围是; (2)当 x1x2x3 取最大值时,m=.

三、解答题:本大题 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列. (1)若 =﹣ ,b= ,求 a+c 的值;

(2)求 2sinA﹣sinC 的取值范围. 19. (12 分)已知各项均不相等的等差数列{an}的前五项和 S5=20,且 a1,a3,a7 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Tn 为数列{ 取值范围. 20. (13 分)在三棱锥 P﹣ABC 中,△ PAB 是等边三角形,PA⊥AC,PB⊥BC. (1)证明:AB⊥PC; (2)若 PC=2,且平面 PAC⊥平面 PBC,求三棱锥 P﹣ABC 的体积. }的前 n 项和,若存在 n∈N ,使得 Tn﹣λan+1≥0 成立.求实数 λ 的
*

21. (14 分)已知函数 f(x)= ﹣lnx,g(x)=e

x﹣1

+a﹣lnx,其中 e=2.71828…,a∈R.

(1)求 f(x)的零点; (2)求 g(x)的极值; (3)如果 s,t,r 满足|s﹣r|<|t﹣r|,那么称 s 比 t 更靠近 r.当 a≥2 且 x≥1 时,试比较 和 e
1 x﹣

+a 哪个更靠近 lnx,并说明理由.

22. (14 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的一个焦点为 F(1,0) ,且过点(﹣1, ) ,右

顶点为 A,经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于 B,C 两点. (1)求椭圆方程; (2)记△ AOB 和△ AOC 的面积分别为 S1 和 S2,求|S1﹣S2|的最大值; (3)在 x 轴上是否存在一点 T,使得点 B 关于 x 轴的对称点落在直线 TC 上?若存在,则求 出 T 点坐标;若不存在,请说明理由.

湖北省武汉市华中师大一附中 2015 届高考数学适应性试 卷(文科) (5 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设 a 是实数,且 A. B. 1 是实数,则 a=() C. D.2

考点: 复数代数形式的混合运算. 分析: 复数分母实数化,化简为 a+bi(a、b∈R)的形式,虚部等于 0,可求得结果. 解答: 解.设 a 是实数, a=1, 故选 B. = 是实数,则

点评: 本题考查复数代数形式的运算,复数的分类,是基础题. 2. (5 分)已知集合 M={x|x ﹣5x<0},N={x|p<x<6},若 M∩N={|2<x<q},则 p+q 等于() A.6 B. 7 C. 8 D.9 考点: 交集及其运算;一元二次不等式的解法. 专题: 常规题型;计算题. 分析: 求出集合 M 中不等式的解集,确定出 M,根据 M 与 N 的交集即可确定 p 与 q 的值, 进而确定出 p+q 的值. 解答: 解:由集合 M 中的不等式得:0<x<5,即 M={x|0<x<5}, ∵N={x|p<x<6},M∩N={|2<x<q}, ∴p=2,q=5, 则 p+q=7. 故选 B. 点评: 此题考查了交集及其运算,以及一元二次不等式的解法,熟练掌握交集的定义是解 本题的关键. 3. (5 分)下列说法中不正确的是() 2 2 A.若命题 p:?x0∈R,使得 x0 ﹣x0+1<0,则¬p:?x∈R,都有 x ﹣x+1≥0. B. 存在无数个 α、β∈R,使得等式 sin(α﹣β)=sinαcosβ+cosαsinβ 成立 C. 命题“在△ ABC 中,若 sinA=sinB,则 A=B”的逆否命题是真命题 D.“p∧q 为真”是“p∨q 为真”的必要不充分条件 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: (A)利用命题否定定义即可判断出正误; (B)利用正弦的和差公式验证即可. (C)有原命题的真假判断逆否命题的真假. (D)利用联接词的真假判断来判断. 解答: 解: (A)命题 p:?x0∈R,使得 x0 x0+1<0,则¬p:?x∈R,均有 x x+1≥0,正确; (B)sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣sinβcosα=sinαcosβ+cosαsinβ.可得 sinβcosα=0,所以只要 β=kπ, α 任意,或者 α=2kπ+ ,β 任意.故 B 正确.
2﹣ 2﹣ 2

(C)“在△ ABC 中,若 sinA=sinB,则 A=B”为假命题,则其逆否命题为假命题.故 C 错误. (D) p∧q 为真, 则 p, q 均为真命题, p∨q 为真, 则 p, q 至少一个为真, 所以“p∧q 为真”是“p∨q 为真”的必要不充分条件为真命题.故 D 正确. 故选:C 点评: 本题主要考查存在性命题的否定、正弦和差公式、原命题与逆否命题的真假判断、 联接词的真假判断等知识点,考查范围大,是 2015 届高考常考题型. 4. (5 分)在等比数列{an}中,公比 q>1,a1+am=17,a2am﹣1=16,前 m 项和 Sm=31,则项数 m 等于() A.4 B. 5 C. 6 D.7

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用等比数列的性质,结合公比 q>1,a1+am=17,a2am﹣1=16,求出 a1=1,am=16, 利用前 m 项和 Sm=31,求出 q,即可求出 m. 解答: 解:∵等比数列{an}中,公比 q>1,a1+am=17,a2am﹣1=16, ∴a1+am=17,a1am=16, ∴a1=1,am=16, ∵Sm=31, ∴ ∴q=2, ∴2 =16, ∴m=5, 故选:B. 点评: 本题考查等比数列的通项与求和,考查学生的计算能力,比较基础.
m﹣1

=31,

5. (5 分)已知函数 f(x)=sinx+λcosx 的图象的一个对称中心是点( =λsinxcosx+sin x 的图象的一条对称轴是直线() A.x= B.x= C.x=
2

,0) ,则函数 g(x)

D.x=﹣

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的对称性. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由对称中心可得 λ=﹣ 令 2x+ =kπ+ , 代入 g (x) 由三角函数公式化简可得 g (x) = ﹣sin (2x+ ) ,

解 x 可得对称轴,对照选项可得. ,0) ,

解答: 解:∵f(x)=sinx+λcosx 的图象的一个对称中心是点( ∴f( )=sin +λcos =
2

+ λ=0,解得 λ=﹣



∴g(x)=﹣ = sin2x+

sinxcosx+sin x

= ﹣sin(2x+ 令 2x+ =kπ+

) , 可得 x= + + ,k∈Z,

∴函数的对称轴为 x=

,k∈Z, 符合题意,

结合四个选项可知,当 k=﹣1 时 x=﹣

故选:D 点评: 本题考查两角和与差的三角函数,涉及三角函数对称性,属中档题. 6. (5 分) 已知直线 3x+4y﹣15=0 与圆 x +y =25 交于 A、 B 两点, 点 C 在圆 O 上, 且 S△ ABC=8, 则满足条件的点 C 的个数为() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: 由条件求得半径为 5,弦心距等于 3、点 C 到弦的距离为 2,从而得出结论. 解答: 解:圆心(0,0)到直线 3x+4y﹣15=0 的距离为 d= =3,圆的半径为 r=5,
2 2

故弦长 AB=8. 再由 S△ ABC=8,可得点 C 到直线 3x+4y﹣15=0 的距离为 2, 再根据点 C 在圆 O 上,可得满足条件的点 C 的个数为 3, 故选:C. 点评: 本题主要考查直线和圆相交的性质, 点到直线的距离公式的应用, 求得弦心距等于 3、 点 C 到直线 3x+4y﹣15=0 的距离为 2,是解题的关键,属于基础题. 7. (5 分)某几何体的三视图如图所示,当 xy 最大时,该几何体的体积为()

A.2

B. 4

C. 8

D.16

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 首先,根据三视图,得到该几何体的具体的结构特征,然后,建立关系式: ,然后,求解当 xy 最大时,该几何体的具体的结构,从而求 解其体积. 解答: 解:由三视图,得 该几何体为三棱锥, 有 ∴x +y =128, ∵xy≤ 此时,V= × ×2 ,当且仅当 x=y=8 时,等号成立, ×6×8=16 ,
2 2



故选:D. 点评: 本题重点考查了三视图、几何体的体积计算等知识,属于中档题.

8. (5 分)在平面直角坐标系 xoy 中,点 M(x,y)的坐标满足不等式组

,已知

N(1,﹣1)且 A.0

?

的最小值为﹣1,则实数 m=() B. 2 C. 5 D.6

考点: 简单线性规划. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用向量数量积的定义将目标函数进行化简,结合 z 的几何意义进行求解即可. 解答: 解:∵ 的最小值为﹣1,

∴x﹣y 的最小值为﹣1, 设 z=x﹣y,解:作作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=x﹣y,得 y=x﹣z 表示,斜率为 1 纵截距为﹣z 的一组平行直线, ∵x﹣y 的最小值为﹣1, ∴作出直线 x﹣y=﹣1, 则直线 x﹣y=﹣1 与 y=2x﹣1 相交于 A,此时 A 为一个边界点, 由 ,解得 ,即 A(2,3) ,

此时 A 也在直线 x+y=m 上, 则 m=2+3=5,即直线为 x+y=5, 平移直线 y=x﹣z,当直线 y=x﹣z 经过点 A 时,直线 y=x﹣z 的截距最大,此时 z 最小,此时 zmin=2﹣3=﹣1, 满足条件. 故 m=5, 故选:C.

点评: 本题主要考查线性规划的基本应用, 利用 z 的几何意义以及向量数量积将目标函数进 行化简是解决本题的关键. ,注意利用数形结合来解决.

9. (5 分)已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数对(x1,y1)∈M,都存在(x2, y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合: ①M={(x,y)|y= }; ②M={(x,y)|y=log2x};③M={(x,y)|y=e ﹣2}; ④M={(x,y)|y=sinx+1};其中是“垂直对点集”的序号是() A.①④ B.②③ C.③④
x

D.②④

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;推理和证明. 分析: 由题意可得:集合 M 是“垂直对点集”,即满足:曲线 y=f(x)上过任意一点与原点 的直线,都存在过另一点与原点的直线与之垂直. 解答: 解:由题意可得:集合 M 是“垂直对点集”,即满足:曲线 y=f(x)上过任意一点与 原点的直线,都存在过另一点与原点的直线与之垂直. ①M={(x,y)|y= },假设集合 M 是“垂直对点集”,则存在两点(x1, ) , (x2, ) ,满



?

=﹣1,化为

=﹣1,无解,因此假设不成立,即集合 M 不是“垂直对点集”,

②M={ (x, y) |y=log2x}, (x>0) , 取 (1, 0) , 则不存在点 (x2, log2x2) (x2>0) , 满足 1×x2+0=0, 因此集合 M 不是“垂直对点集”; x 对于③M={(x,y)|y=e ﹣2},其图象过点(0,﹣1) ,且向右向上无限延展,向左向下无限 x 延展,所以,据图可知,在图象上任取一点 A,连 OA,过原点作 OA 的垂线 OB 必与 y=e ﹣ x 2 的图象相交,即一定存在点 B,使得 OB⊥OA 成立,故 M={(x,y)|y=e ﹣2}是“垂直对点 集”. 对于④M={(x,y)|y=sinx+1},画出函数图象,在图象上任取一点 A,连 OA,过原点作直 线 OA 的垂线 OB,因为 y=sinx+1 的图象沿 x 轴向左向右无限延展,且与 x 轴相切,因此直线 OB 总会与 y=sinx+1 的图象相交.所以 M={(x,y)|y=sinx+1}是“垂直对点集”,故④符合; 综上可得:只有③④是“垂直对点集”. 故选:C 点评: 本题考查了新定义“垂直对点集”、直线垂直与斜率的关系,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题.
2

10. (5 分)设函数 f(x)满足 x f′(x)+2xf(x)= A.有极大值,无极小值 C. 既有极大值又有极小值

,f(2)=

,则 x>0 时,f(x) ()

B. 有极小值,无极大值 D.既无极大值也无极小值

考点: 函数在某点取得极值的条件;导数的运算. 专题: 压轴题;导数的综合应用. 分析: 令 F(x)=x f(x) ,利用导数的运算法则,确定 f′(x)= 函数,确定函数的单调性,即可求得结论.
2

,再构造新

解答: 解:∵函数 f(x)满足 ∴ 令 F(x)=x f(x) ,则 F′(x)= F(2)=4?f(2)= .
2







,得 f′(x)=



令 φ(x)=e ﹣2F(x) ,则 φ′(x)=e ﹣2F′(x)=

x

x



∴φ(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 2 ∴φ(x)的最小值为 φ(2)=e ﹣2F(2)=0. ∴φ(x)≥0. 又 x>0,∴f′(x)≥0. ∴f(x)在(0,+∞)单调递增. ∴f(x)既无极大值也无极小值. 故选 D. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查学生分析解决问题的能 力,难度较大. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上.答错位置、书写不清、模棱两可均不得分. 11. (5 分)要从已编号 1~360 的 360 件产品中随机抽取 30 件进行检验,用系统抽样的方法 抽出样本.若在抽出的样本中有一个编号为 105,则在抽出的样本中最小的编号为 9. 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样的定义先求出样本间隔,然后进行求解. 解答: 解:样本间隔为 360÷30=12, 若在抽出的样本中有一个编号为 105, 则 105÷12=8…9, 则第一个编号为 9, 故答案为:9 点评: 本题主要考查系统抽样的应用,根据条件求出第一个编号是解决本题的关键.

12. (5 分)已知向量 为 .

为单位向量,且

=﹣ ,向量 与 + 共线,则| + |的最小值

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 向量 = 为单位向量,且 =﹣ ,可得 =120°.不妨取 =(1,0) , = .再利

.由向量 与 + 共线,可得

用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵向量 ∴1×1× ∴ =120°. . 为单位向量,且 =﹣ , =﹣ ,

不妨取 =(1,0) , = ∴ = .

∵向量 与 + 共线, ∴ ∴ = = . = ,当且仅当 时取等 .

∴| + |= 号. ∴| + |的最小值为 故答案为: . .

点评: 本题考查了数量积定义及其运算性质、二次函数的单调性,考查了计算能力,属于 中档题. 13. (5 分)若执行如图所示的程序框图后,输出的结果是﹣29,则判断框中的整数 k 的值是 5.

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,n 的值,当 n=5 时应该不满足条件 5<k,输出 S 的值为﹣29,从而可得判断框中的整数 k 的值是 5. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 n=1,S=1 满足条件 n<k,S=﹣1,n=2 满足条件 n<k,S=﹣5,n=3 满足条件 n<k,S=﹣13,n=4 满足条件 n<k,S=﹣29,n=5 由题意,此时应该不满足条件 5<k,输出 S 的值为﹣29, 则判断框中的整数 k 的值是 5, 故答案为:5. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属 于基础题.

14. (5 分) 在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 M, 则满足∠AMB<90°的概率为



考点: 专题: 分析: 解答:

几何概型. 概率与统计. 利用已知条件推出满足题目条件的图形面积,利用几何概型求解即可. 解:在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 M,则满足∠AMB>90°的 M 所在区 =

域如图阴影部分,是以 1 为半径的半圆以及内部部分,满足几何概型, ∠AMB<90°的概率为: 故答案为: . .

点评: 本题考查几何概型的求法,考查计算能力.

15. (5 分)已知 f(x)= 是(﹣1,0)∪(1,+∞) .

,若 f(a)>f(﹣a) ,则实数 a 的取值范围

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中函数的解析式,先分析出函数为奇函数,进而将 f(a)>f(﹣a)转化为 f (a)>0,分类讨论可得满足条件的实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)= ,

∴当 x>0 时,﹣x<0, f(﹣x)=﹣lnx=﹣f(x) , 当 x<0 时,﹣x>0, f(﹣x)=ln(﹣x)=﹣f(x) , 即 f(﹣x)=﹣f(x)恒成立, 若 f(a)>f(﹣a)时,f(a)>0, 当 a>0 时,lna>0,a>1, 当 a<0 时,﹣ln(﹣a)>0,即 ln(﹣a)<0,即 0<﹣a<1,即﹣1<a<0. 综上实数 a 的取值范围是(﹣1,0)∪(1,+∞) . 故答案为: (﹣1,0)∪(1,+∞) 点评: 本题考查的知识点是分段函数的应用,其中分析出函数为奇函数,进而将 f(a)>f (﹣a)转化为 f(a)>0,是解答的关键.

16. (5 分)已知 F 为抛物线 y =2px(p>0)的焦点,抛物线的准线与双曲线

2



=1(a

>0,b>0)的两条渐近线分别交于 A、B 两点.若△ AFB 为直角三角形,则双曲线的离心率 为 . 考点: 抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 由已知条件推导出 A,B 两点的纵坐标,△ AFB 为直角三角形, 双曲线的离心率. 解答: 解:∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0) ,

=p,由此能求出

∴双曲线的渐近线方程是 y=± x, 抛物线 y =2px 的焦点坐标(
2 2

) ,

又∵抛物线 y =2px 的准线方程为 x=﹣ ,
2

∵双曲线 点,



=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y =2px 的准线分别交于 A,B 两

∴A,B 两点的纵坐标分别是 y= ∵△AFB 为直角三角形,∴

和 y=﹣


2 2 2

=p,即 b=2a,c ﹣a =4a ,

∴e= . 故答案为: . 点评: 本题考查抛物线解得性质以及双曲线的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审 题,注意函数与方程思想的合理运用.

17. (5 分)已知 f(x)=min{2

,|x﹣2|},其中 min{a,b}=

,若动直线 y=m 与函

数 y=f(x)的图象有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1,x2,x3. (1)m 的取值范围是 (2)当 x1x2x3 取最大值时,m= ; .

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)表达式作出函数 f(x)的图象,由图象可求得符合条件的 m 的取值范围, 不妨设 0<x1<x2<2<x3,通过解方程可用 m 将 x1,x2,x3 分别表示出来,利用基本不等式 即可求得 x1?x2?x3 取最大值时 m 的值. 解答: 解: (1)由函数 y=f(x)的图象可知 m 的最大值为 A 点纵坐标, 2 解方程:2 =2﹣x,即 4x=4﹣4x+x ,解得 x=4﹣2 , ∴|4﹣2 ﹣2|=2 ﹣2, ∴m 的取值范围是: (2)不妨设 0<x1<x2<2<x3, 则由 2 =m 得 x1= , ;

由|x2﹣2|=2﹣x2=m,得 x2=2﹣m,且 2﹣m>0,

由|x3﹣2|=x3﹣2=m,得 x3=m+2,且 m+2>0, ∴x1?x2?x3=
2

?(2﹣m)?(2+m)
2

= ?m ?(4﹣m )

≤ ? = ,
2 2

当且仅当 m =4﹣m .即 m= ∴x1?x2?x3 取最大值时,m= 故答案为:

时取得等号, ; , .

点评: 本题考查函数与方程的综合运用,考查基本不等式在求函数最值中的应用,考查数 形结合思想, 考查学生综合运用知识分析解决新问题的能力, 注意解题方法的积累, 属于难题. 三、解答题:本大题 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列. (1)若 =﹣ ,b= ,求 a+c 的值;

(2)求 2sinA﹣sinC 的取值范围. 考点: 余弦定理的应用;数列的应用;向量在几何中的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)通过 A,B,C 成等差数列,求得 B 的值,通过已知的向量积求得 ac 的值,代 入余弦定理即可求出 a+c. (2)通过两角和公式对 2sinA﹣sinC,再根据 C 的范围和余弦函数的单调性求出 2sinA﹣sinC 的取值范围. 解答: 解: (1)∵A,B,C 成等差数列, ∴B= ∵ ? . =﹣ ,

∴accos(π﹣B)=﹣ , ∴ ac= ,即 ac=3. ∵b= ,b =a +c ﹣2accosB, 2 2 2 ∴a +c ﹣ac=3,即(a+c) ﹣3ac=3. 2 ∴(a+c) =12,所以 a+c=2 . (2)2sinA﹣sinC=2sin( ∵0<C< ∴ , , ) . , ) . ﹣C)﹣sinC=2( cosC+ sinC)﹣sinC= cosC.
2 2 2

cosC∈(﹣

∴2sinA﹣sinC 的取值范围是(﹣

点评: 本题主要考查了余弦定理的应用.解决本题的关键就是充分利用了余弦定理的性质. 19. (12 分)已知各项均不相等的等差数列{an}的前五项和 S5=20,且 a1,a3,a7 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Tn 为数列{ 取值范围. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: (1)设数列{an}的公差为 d,运用等差数列的求和公式和等比数列的性质,解方程 可得 a1=2,d=1,再由等差数列的通项即可得到; (2)运用裂项相消求和,求得 Tn,再由参数分离和基本不等式即可得到所求范围. 解答: 解: (1)设数列{an}的公差为 d,由已知得 }的前 n 项和,若存在 n∈N ,使得 Tn﹣λan+1≥0 成立.求实数 λ 的
*

即为





,由 d≠0,即有



故 an=2+n﹣1=n+1; (2) ∴
*

=

=

﹣ = ﹣ = ,

∵存在 n∈N ,使得 Tn﹣λan+1≥0 成立,

∴存在 n∈N ,使得

*

﹣λ(n+2)≥0 成立,

即 λ≤

有解,

即有 λ≤[

]max,



=



=

,n=2 时取等号





点评: 本题考查等差数列的通项和求和公式的运用,同时考查等比数列的性质,以及数列 的求和方法:裂项相消求和,运用参数分离和基本不等式是解题的关键. 20. (13 分)在三棱锥 P﹣ABC 中,△ PAB 是等边三角形,PA⊥AC,PB⊥BC. (1)证明:AB⊥PC; (2)若 PC=2,且平面 PAC⊥平面 PBC,求三棱锥 P﹣ABC 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)求出 AC 和 BC,取 AB 中点 M,连结 PM,CM,说明 AB⊥PM,AB⊥MC, 证明 AB⊥平面 PMC,然后证明 AB⊥PC. (2)在平面 PAC 内作 AD⊥PC,垂足为 D,连结 BD,证明 ABD 为等腰直角三角形,设 AB=PA=PB=a,求解 a,然后求解底面面积以及体积即可. 解答: 解: (1) 证明: 在 Rt△ PAC 和 Rt△ PBC 中 取 AB 中点 M,连结 PM,CM,则 AB⊥PM,AB⊥MC, ∴AB⊥平面 PMC,而 PC?平面 PMC,∴AB⊥PC…(6 分) (2)在平面 PAC 内作 AD⊥PC,垂足为 D,连结 BD ∵平面 PAC⊥平面 PBC,∴AD⊥平面 PBC,又 BD?平面 PBC, ∴AD⊥BD,又 Rt△ PAC≌RtPBC, ∴AD=BD,∴△ABD 为等腰直角三角形 …(9 分) 设 AB=PA=PB=a,则

在 Rt△ PAC 中:由 PA?AC=PC?AD, 得 解得 ∴ ∴ …(11 分) , .…(13 分) ,

点评: 本题考查几何体的体积的求法,直线与平面垂直的判定与性质的应用,考查空间想 象能力以及计算能力.
x﹣1

21. (14 分)已知函数 f(x)= ﹣lnx,g(x)=e (1)求 f(x)的零点; (2)求 g(x)的极值;

+a﹣lnx,其中 e=2.71828…,a∈R.

(3)如果 s,t,r 满足|s﹣r|<|t﹣r|,那么称 s 比 t 更靠近 r.当 a≥2 且 x≥1 时,试比较 和 e
1

x﹣

+a 哪个更靠近 lnx,并说明理由.

考点: 利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求出函数的导数,得到当 0<x≤e 时,f(x)≥0;当 x>e 时,f(x)<0,即可 求 f(x)的零点; (2)求出函数的导数,确定 x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)递减,当 x∈(1,+∞)时, g'(x)>0,g(x)递增,即可求 g(x)的极值; (3)当 1≤x≤e 时,推出|f(x)|<|g(x)|,说明 比 e
x﹣1

+a 更靠近 lnx.当 x>e 时,通过作
x﹣1

差,构造新函数,利用二次求导,判断函数的单调性,证明 比 e 解答: 解: (1)∵f(x)= ﹣lnx,∴f′(x)=﹣ ﹣ ,

+a 更靠近 lnx.

∴f(x)= ﹣lnx 在(0,+∞)上是减函数,又 f(e)=0 ∴当 0<x≤e 时,f(x)≥0;当 x>e 时,f(x)<0. ∴x=e 是 f(x)的唯一零点.…(3 分)

(2)∵g(x)=e

x﹣1

+a﹣lnx,∴

,g″(x)=e

x﹣1

+

>0,

∴g'(x)在(0,+∞)上为增函数,又 g'(1)=0, ∴x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)递减,当 x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)递增 ∴x=1 为 g(x)的极小值点,极小值为 g(1)=a+1,g(x)无极大值.…(6 分) (3)当 1≤x≤e 时,|f(x)|﹣|g(x)|= ﹣e 设 m(x)= ﹣e
x﹣1 x﹣1

﹣a ,∴m(x)在[1,+∞)上为减函

﹣a,则

数 ∴m(x)≤m(1)=e﹣1﹣a,∵a≥2,∴m(x)<0, ∴|f(x)|<|g(x)|,∴ 比 e 当 x>e 时,
x﹣1

+a 更靠近 lnx…(9 分)

设 n(x)=2lnx﹣e

x﹣1

﹣a,则

,n″(x)=﹣

<0 ,

∴n'(x)在(e,+∞)上为减函数,∴ ∴n(x)在(e,+∞)上为减函数,∴n(x)<n(e)=2﹣a﹣e ∴ 比e
x﹣1 e﹣1

<0,∴|f(x)|<|g(x)|

+a 更靠近 lnx…(12 分)
x﹣1

综上,在 a≥2,x≥1 时, 比 e

+a 更靠近 lnx.…(14 分)

点评: 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述函数的单调 性等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用, 对考生的逻辑推理能力与运算求解有较 高要求.

22. (14 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的一个焦点为 F(1,0) ,且过点(﹣1, ) ,右

顶点为 A,经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于 B,C 两点. (1)求椭圆方程; (2)记△ AOB 和△ AOC 的面积分别为 S1 和 S2,求|S1﹣S2|的最大值; (3)在 x 轴上是否存在一点 T,使得点 B 关于 x 轴的对称点落在直线 TC 上?若存在,则求 出 T 点坐标;若不存在,请说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用焦点为 F(1,0) ,且过点(﹣1, ) ,列出方程,然后求解椭圆方程. (2)设直线 l 方程为:x=my+1.与椭圆联立,设 B(x1,y1) ,C(x2,y2) , (y1>0,y2<0) , 利用韦达定理,通过当 m=0 时,显然|S1﹣S2|=0;当 m≠0 时, ,求解|S1﹣S2|的最大值. (3)假设在 x 轴上存在一点 T(t,0)满足已知条件,利用 kTB=﹣kTC,求出 t﹒说明存在点 T(4,0)满足条件.

解答: 解: (1)由已知得

,解得



∴椭圆方程为:

…(3 分)

(2)设直线 l 方程为:x=my+1. 2 2 联立 C 得(3m +4)y +6my﹣9=0 设 B(x1,y1) ,C(x2,y2) , (y1>0,y2<0) ,则 当 m=0 时,显然|S1﹣S2|=0; 当 m≠0 时, = =

当且仅当 综合得

,即

时取等号 .…(8 分)

时,|S1﹣S2|的最大值为

(3)假设在 x 轴上存在一点 T(t,0)满足已知条件,则 kTB=﹣kTC 即 ?y1(my2+1﹣t)+y2(my1+1﹣t)=0?2my1y2+(1﹣t) (y1+y2) =0 整理得: (4﹣t)?m=0, ∵m 任意,∴t=4﹒故存在点 T(4,0)满足条件﹒…(14 分)

点评: 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,椭圆方程的求法,存在性问题的处理 方法,韦达定理以及基本不等式的应用,考查计算能力.


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