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2016高考数学二轮复习 专题6 解析几何 专题综合检测六 理


专题综合检测(六)
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) y 2 2 1.如果实数 x,y 满足等式(x-2) +y =3,那么 的最大值是(D) x A. 1 2 B. 3 3 C. 3 2 D. 3

2.(2014·上海卷

)已知 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不同
? ?a1x+b1y=1, 的点,则关于 x 和 y 的方程组? 的解的情况是(B) ?a2x+b2y=1 ?

A.无论 k,P1,P2 如何,总是无解 B.无论 k,P1,P2 如何,总有唯一解 C.存在 k,P1,P2,使之恰有两解 D.存在 k,P1,P2,使之有无穷多解 解析:由题意,直线 y=kx+1 一定不过原点 O,P,Q 是直线 y=kx+1 上不同的两点,
? ?a1x+b1y=1, → → 则OP与OQ不平行,因此 a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程组? 一定有唯一解. ?a2x+b2y=1 ?

x y 3. 已知椭圆 2+ =1(a>5)的两个焦点为 F1, F2, 且|F1F2|=8, 弦 AB 过点 F1, 则△ABF2 a 25 的周长为(D) A.10 B.20 C.2 41 D.4 41

2

2

4. 已知直线 l1: (3+m)x+4y=5-3m 与 l2: 2x+(5+m)y=8 平行, 则实数 m 的值为(A) A.-7 B.-1

13 C.-1 或-7 D. 3 x y 5.椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,P 为椭圆上的一点,已知 PF1⊥PF2,则△F1PF2 的面 25 9 积为(A) A.9 B.12
2 2 2 2

C.10 D.8

x y 6.椭圆 + =1 上的点到直线 x+2y- 2=0 的最大距离是(D) 16 4 A.3 B. 11 C. 2 2 D. 10
2 2

x y 7.(2014·全国大纲卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心 a b

1

率为

3 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为(A) 3
2 2

x y A. + =1 3 2 C. x y + =1 12 8
2 2

x 2 B. +y =1 3 x y D. + =1 12 4
2 2

2

c 3 2 2 2 2 解析:如图,∵e= = ,∴a= 3c,∴b =a -c =2c ,∵△AF1B 的周长为|AF1|+ a 3 |AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4 3,∴a= 3,∴c=1,∴b =2,∴所 x y 求的椭圆成为 + =1.故选 A. 3 2
2 2 2

8.已知点 P 是椭圆 16x +25y =400 上一点,且在 x 轴上方,F1,F2 分别是椭圆的左、 右焦点,直线 PF2 的斜率为-4 3,则△PF1F2 的面积是(C) A.24 3 B.12 3 C.6 3 D.3 3
2 2

2

2

x y 9.(2014·天津卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y= a b 2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为(A) x y A. - =1 5 20 C. 3x 3y - =1 25 100
2 2 2 2

x y B. - =1 20 5 3x 3y D. - =1 100 25
2 2

2

2

b 解析: 由已知得 =2,∴b=2a,在方程 y=2x+10 中令 y=0,得 x=-5,∴-c=-5, a x y 2 2 2 2 2 2 ∴c =a +b =5a =25,a =5,b =20,∴所求双曲线的方程为 - =1.故选 A. 5 20 x y 10.如果椭圆 + =1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是(D) 36 9 A.x-2y=0 B.x+2y-4=0
2 2 2 2

C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0

2

11.(2015·烟台质检)一个椭圆中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,P(2, 3)是椭圆 上一点且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为(A) x y A. + =1 8 6 x y C. + =1 8 4
2 2 2 2

x y B. + =1 16 6 x y D. + =1 16 4
2 2 2 2

2

2

x y 4 3 解析:设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0).由点(2, 3)在椭圆上知 2+ 2=1.又 a b a b c 1 2 |PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即 2a=2·2c, = ,又 c = a 2 a -b ,联立解得 a =8,b =6. x y 12.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F,椭圆与过原点的直线交于 A,B 两点, a b 4 连接 AF,BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为(B) 5 A. 3 5 4 B. C. 5 7 5 6 D. 7
2 2 2 2 2 2 2 2

解析:如图,在△AFB 中,由余弦定理,得|AF| =|AB|+|BF| -2|AB||BF|cos∠ABF, 4 2 2 2 2 2 2 ∴6 =10 +|BF| -20|BF|× ,解得|BF|=8.∴|AF| +|BF| =|AB| ,△AFB 为直角三角形. 5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) x y x y 13.与椭圆 + =1 具有相同的离心率且过点(2,- 3)的椭圆的标准方程是 + = 4 3 8 6 3y 4x 1 或 + =1. 25 25 1 14.(2015·新课标Ⅱ卷)已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为 y=± x,则该双 2 x 2 曲线的标准方程为 -y =1. 4
2 2 2 2 2 2 2

3

1 解析:法一:∵ 双曲线的渐近线方程为 y=± x, 2 ∴ 可设双曲线的方程为 x -4y =λ (λ ≠0). ∵ 双曲线过点(4, 3), ∴ λ =16-4×( 3) =4, x 2 ∴ 双曲线的标准方程为 -y =1. 4 1 法二:∵ 渐近线 y= x 过点(4,2),而 3<2, 2 1 1 ∴ 点(4, 3)在渐近线 y= x 的下方,在 y=- x 的上方(如图). 2 2 ∴ 双曲线的焦点在 x 轴上,故可设双曲线方程为 x y 2- 2=1(a>0,b>0). a b 由已知条件可得 b 1 ? ?a=2, ?a =4, ? 解得? ?16 3 ? ?b =1, - =1, ? ?a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x 2 ∴ 双曲线的标准方程为 -y =1. 4 15. 若过定点(-1, 0)且斜率为 k 的直线与圆 x +4x+y -5=0 在第一象限内的部分有 交点,则 k 的取值范围是(0, 5). 16.(2015·陕西卷)若抛物线 y =2px(p>0)的准线经过双曲线 x -y =1 的一个焦点, 则 p=2 2. p 解析:抛物线的准线方程为 x=- ,p>0,双曲线的焦点为 F1(- 2,0),F2( 2,0), 2 p 所以- =- 2,p=2 2. 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(10 分)已知椭圆 C 的焦点为 F1(-2 2,0)和 F2(2 2,0),长轴长为 6,设直线 y =x+2 交椭圆 C 于 A,B 两点,求线段 AB 的中点坐标. 解析:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c=2 2,a=3,从而 b=1,所以其标 x 2 准方程是 +y =1. 9
2 2 2 2 2 2

2

4

x ? ? +y2=1, 2 联立方程组? 9 消去 y 得 10x +36x+27=0. ? ?y=x+2, 18 x1+x2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0),那么 x1+x2=- ,x0= = 5 2 9 1 - ,所以 y0=x0+2= . 5 5

2

? 9 1? 也就是说线段 AB 中点坐标为?- , ?. ? 5 5?
x y 14 18.(12 分)已知双曲线与椭圆 + =1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方 9 25 5 程. 4 解析:由于椭圆焦点为 F(0,±4),离心率为 e= ,所以双曲线的焦点为 F(0,±4), 5 离心率为 2,从而 c=4,a=2,b=2 3. y x 所以双曲线方程为 - =1. 4 12 x y 19. (12 分)(2014·新课标Ⅱ卷)设 F1, F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, a b M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 → → (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. 分析:本题第(1)问,可结合 MF2 与 x 轴垂直、由勾股定理及椭圆定义求出椭圆的离心 率;对第(2)问题,观察到 MF2 是三角形的中位线,然后结合向量的坐标运算及椭圆方程, 可求出 a,b. 解析:由题意知, |MF2| 3 3 5 = ,所以|MF2|= c,由勾股定理可得:|MF1|= c,由椭圆定 2c 4 2 2
2 2 2 2 2 2

3 5 1 义可得: c+ c=2a,解得 C 的离心率为 . 2 2 2 (2)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线 b → → → → 2 段 MF1 的中点,故 =4,即 b =4a,由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|,设 N(x1,y1),由题意 a
2

? 2 ? ?2(-c-x1)=c, ?x1=- c, 2 代入 c 的方程得9c2+ 12=1,将 b2=4a 及 c 知 y1<0,则? 即? 4a b ?-2y1=2 ? ?
3

?y1=-1,

9c 1 9(a -4a) 1 2 2 = a -b 代入 2+ 2=1 得: + =1,解得 a=7,b=2 7. 2 4a b 4a 4a
5

2

2

8 3 20. (12 分)求两条渐近线为 x±2y=0 且截直线 x-y-3=0 所得弦长为 的双曲线方 3 程. 解析:设双曲线方程为 x -4y =λ .
? ?x -4y =λ , 2 联立方程组? 消去 y 得 3x -24x+(36+λ )=0. ?x-y-3=0, ?
2 2 2 2

设 直 线 被 双 曲 线 截 得 的 弦 为 AB , 且 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 那 么 x +x =8, ? ? 36+λ ?x x = 3 , ? ?Δ =24 -12(36+λ )>0,
1 2 1 2 2

那么|AB|= (1+k )[(x1+x2) -4x1x2]=

2

2

? (1+1)?8 -4× ?
2

36+λ 3

?= ? ?

8(12-λ ) 8 3 = , 3 3
2

x 2 解得 λ =4,所以所求双曲线方程是 -y =1. 4 21.(12 分)已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x -y =1 交于 A,B 两点. (1)若以线段 AB 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值; 1 (2)是否存在这样的实数 a,使 A,B 两点关于直线 y= x 对称?说明理由. 2
?3x -y =1, ? 解析:(1)联立方程? ? ?y=ax+1,
2 2 2 2

消去 y 得(3-a )x -2ax-2=0. x +x = , 3-a ? ? 2 设 A(x ,y ),B(x ,y ),那么? x x =- , 3-a ? ?Δ =(2a) +8(3-a )>0. 2a
1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2

2

2

6

→ → 由于以线段 AB 为直径的圆经过原点,那么OA⊥OB,即 x1x2+y1y2=0. -2 2a 2 2 所以 x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,得(a +1)× 2+a× 2+1=0,a <6,解得 a 3-a 3-a =±1.
? ?3x1-y1=1, 1 (2)假定存在这样的 a,使 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y= x 对称,那么? 2 2 2 ?3x2-y2=1, ?
2 2

两式相减得 3(x1-x2)=y1-y2, y1-y2 3(x1+x2) 从而 = .① x1-x2 y1+y2 y +y 1 x +x = × , ? ? 2 2 2 1 因为 A(x ,y ),B(x ,y )关于直线 y= x 对称,所以? 代入①式得 2 y -y ?x -x =-2, ?
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

2

2

2

2

到:-2=6,矛盾. 1 也就是说:不存在这样的实数 a,使 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y= x 对称. 2

7

x y 22.(12 分)(2015·陕西卷)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的半焦距为 c,原点 O 到经 a b 1 过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为 c. 2

2

2

(1)求椭圆 E 的离心率; 5 2 2 (2)如图,AB 是圆 M:(x+2) +(y-1) = 的一条直径,若椭圆 E 经过 A,B 两点,求椭 2 圆 E 的方程. 解析:(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx+cy-bc=0, 则原点 O 到该直线的距离 d= bc b +c
2 2



bc , a

1 c 3 2 2 由 d= c,得 a=2b=2 a -c ,解得离心率 = . 2 a 2 (2)解法一:由(1)知,椭圆 E 的方程为 x +4y =4b .① 依题意,圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点,且|AB|= 10. 易知,AB 与 x 轴不垂直,设其方程为 y=k(x+2)+1,代入①得 (1+4k )x +8k(2k+1)x+4(2k+1) -4b =0. 8k(2k+1) 4(2k+1) -4b 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= . 2 2 1+4k 1+4k 8k(2k+1) 1 由 x1+x2=-4,得- =-4,解得 k= . 2 1+4k 2 从而 x1x2=8-2b .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

于是|AB|= = 5 2

2 ?1? 1+? ? |x1-x2| ?2?
2 2

(x1+x2) -4x1x2= 10(b -2).
2 2

由|AB|= 10,得 10(b -2)= 10,解得 b =3. x y 故椭圆 E 的方程为 + =1. 12 3
8
2 2

解法二:由(1)知,椭圆 E 的方程为 x +4y =4b .② 依题意,点 A,B 关于圆心 M(-2,1)对称,且|AB|= 10. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+4y1=4b ,x2+4y2=4b , 两式相减并结合 x1+x2=-4,y1+y2=2,得 -4(x1-x2)+8(y1-y2)=0. 易知 AB 与 x 轴不垂直,则 x1≠x2, y1-y2 1 所以 AB 的斜率 kAB= = . x1-x2 2 1 因此直线 AB 的方程为 y= (x+2)+1,代入②得 2 x +4x+8-2b =0. 所以 x1+x2=-4,x1x2=8-2b . 于是|AB|= = 2 ?1? 1+? ? |x1-x2| ?2?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

5 2 2 (x1+x2) -4x1x2= 10(b -2). 2
2

由|AB|= 10,得 10(b -2)= 10, 解得 b =3. x y 故椭圆 E 的方程为 + =1. 12 3
2 2 2

9


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