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专题四:高中数学三角函数复习专题


高中数学三角函数复习专题
知识点整理: 一、角的概念的推广:
正负, 范围, 象限角, 坐标轴上的角;

二、角的集合的表示:
1、终边为一射线的角的集合: ? x x ? 2k? ? ? , k ? Z ? {? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z}
0

?

?

2、终边为一直线的角的集合: ?

?x x ? k? ? ?, k ? Z?;
?x 2k? ? ? ? x ? 2k? ? ?, k ? Z?

3、两射线介定的区域上的角的集合: ? 4、两直线介定的区域上的角的集合: ?

?x k? ? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z?;

三、 任意角的三角函数:
1、 弧长公式: l ? a R 2、 扇形的面积公式: S ?

R 为圆弧的半径, a 为圆心角弧度数, l 为弧长。

1 lR 2

R 为圆弧的半径, l 为弧长。

3、 三角函数定义:角 ? 中边上任意一点 P 为 ( x, y ) ,设 | OP |? r 则:

sin ? ?

y y x , cos ? ? , tan ? ? , r ? a 2 ? b2 。 x r r

反过来,角 ? 的终边上到原点的距离为 r 的点 P 的坐标可写为: P ? r cos ? , r sin ? ? 4、特殊角的三角函数值 α 0

? 6
1 2
3 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2

? 2
1

?
0

3? 2
-1

2?

sin ?

0

0

cos?

1

1 2
1

0

-1

0

1

tan ?

0

3 3

1

3

不存在

0

不存在

0

5、三角函数符号规律:第一象限全正,二正三切四余弦。 6、三角函数线: (判断正负、比较大小,解方程或不等式等) 如图,角 ? 的终边与单位圆交于点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 M,则 .

y P

T

过点 A(1,0)作 x 轴的切线,交角终边 OP 或其反向延长线于点 T , 则 。

o

M

A

x

7、同角三角函数关系式: ①倒数关系: tan a cot a ? 1 ②商数关系: tan a ?

sin a cos a

2 2 ③平方关系: sin a ? cos a ? 1

8、几个常用关系式 (1) sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? ;(三式之间可以互相表示.) 设 sin ? ? cos? ? t ?[? 2, 2 ] ,两边平方,得

1 ? sin ? ? cos? ? t 2 ? , sin ? ? cos? ?
2

t 2 ?1 , 2

又 1 ? 2 sin ? ? cos? ? 2 ? t ? , sin ? ? cos? ? ? 2 ? t 2 , 同理可以由 sin ? ? cos ? 或 sin ? ? cos ? 推出其余两式.

?? ? ? (2) 1 ? sin ? ? ? sin ? cos ? . 2 2? ?
(3)当 x ? ? 0, 当

2

? ?

??

? 时,有 sin x ? x ? tan x 且 sin x ? cos x ? 1 ; 2?

3? 3? ? x ? ? 时, sin x ? cos x ? 0 ; 时, sin x ? cos x ? 0 ;当 2 4 4 3? 3? 7? ?x? 当? ? x ? 时, sin x ? cos x ? ?1 ;当 时, sin x ? cos x ? 0 ; 2 2 4 7? ? x ? 2? 时, sin x ? cos x ? 0 。 当 4

?

?x?

(9)诱导公试
2

sin

cos
+ cos?

tan ? tan ?
? tan ? ? tan ? ? tan ?

?a

? sin ?
sin ? ? sin ?

? ?a ? ?a
2? ? a 2k? ? a

? cos? ? cos?

? sin ?
sin ?

cos?
cos?

tan?

三角函数值等于 ? 的同名三角函数值,前面加上一个把 ? 看作锐角时,原三角函数值的符 号;即:函数名不变,符号看象限

sin

cos

tan

? ?
2

??

?? 2 3? ?? 2 3? ?? 2
即:函数名改变,符号看象限: 记忆:

三角函数值等于 ? 的异名三角函数值,前 面加上一个把 ? 看作锐角时,原三角函数 值的符号;即:函数名不变,符号看象限,

sin( x ? ) ? cos( ? x) ? cos( x ? ) , cos( x ? ) ? sin( ? x) 4 4 4 4 4

?

?

?

?

?

四、两角和与差的三角函数:
1、两角和与差公式:

cos(? ? ? ) ? cosa cos ? ? sin a sin ? ,

cos ?( ? ? ) ? c o a scos ? ?s i n as i n ?

sin(a ? ? ) ? sin a cos ? ? cosa sin ? , sin(a ? ? ) ? sin a cos ? ? cosa sin ?
3

tan(a ? ? ) ?

tana ? tan ? tana ? tan ? a ? ?) ? , tan( 1 ? tan a tan ? 1 ? tan a tan ?

注意:公式的逆用或者变形 用 ......... . 2、二倍角公式:

sin 2a ? 2 sin a cos a ,
cos2a ? cos2 a ? sin 2 a ? 1 ? 2 sin 2 a ? 2 cos2 a ? 1 ,

tan 2a ?

2 tan a 1 ? tan 2 a

3、辅助角公式:

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) ? a 2 ? b 2 cos(x ? ? ) ,其中 tan ? ?
这里辅助角 ? 所在象限由 a , b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? = 例如: sin ? ? cos ? ?

a , b

2 sin(? ?

?
4

b 确定. a

);

) 等. 3 4、降幂公式 : (sin? ? cos? ) 2 ? 1 ? sin 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? cos 2 ? ? sin 2 ? ? , 2 2 2 ? 2 ? 升幂公式: 1 ? cos ? ? 2 sin , 1 ? cos ? ? 2 cos 2 2
5、变形公式: tan? ? tan ? ? tan( a ? ? )(1 ? tana tan ? )

sin ? ? 3 cos ? ? 2 sin(? ?

?

tan? ? tan ? ? tan(a ? ? )(1 ? tana tan ? )

五、三角函数的图像和性质: (其中 k ? z )
三角函数

y ? sin x
R

y ? cos x

y ? tan x

1、定义域 2、值域 3、最小正周期 4、奇偶性

R

x ? k? ?
R

?
2

[ ?1,1]
T ? 2?


[ ?1,1]
T ? 2?


T ??


4

5、单调性

2 ? 3? [2k? ? ,2k? ? ] ? 2 2

[2k? ?

?
2

,2k? ?

?

]?

[2k? ? ? ,2k? ] ? [2k? , (2k ? 1)? ] ?
(k? ?

?
2

, k? ?

?
2

)?

6、对称轴 7、对称中心

x ? k? ?

?
2

, (k ? Z )

x ? k? , (k ? Z )



(k?, 0) ,k ?Z
x ? 2k? ?

(k? ?

?
2

, 0)

k ( ?, 0) ,k ?Z 2

?
2

?

x ? 2k? ?

最值点

ymax ? 1
x ? 2k? ?

ymax ? 1
x ? 2k? ? ? ?



?
2

?

ymin ? ?1

ymin ? ?1
画三角函数的图像应先求函数的周期,然后用五点法画出函数一个周期的图像.

六、.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像与性质:
(本节知识考察一般能化成形如 y ? A sin(?x ? ? ) 图像及性质) 1、 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 和 y ? A cos(?x ? ? ) 的周期都是 T ?

2? |? |

?x ? ? ) 和 y ? A cot( ?x ? ? ) 的周期都是 T ? 2、 函数 y ? A tan(
3、五点法作 y ? A sin(?x ? ? ) 的简图,设 t ? ?x ? ? , t 取 0、

? |? |
? 3? 、? 、 、 2? 来求相 2 2

应 x 的值以及对应的 y 值再描点作图。 4、关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩。切记每一个变换 总是对字母 x 而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。 (附上 函数平移伸缩变换): 4、 函数的平移变换: (右) 平移 a 个单位 (左 (1) y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a)(a ? 0) 将 y ? f ( x) 图像沿 x 轴向左 加右减)
5

(下) 平移 b 个单位 (上 (2)y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? b(b ? 0) 将 y ? f ( x) 图像沿 y 轴向上 加下减) 5、函数的伸缩变换: ① y ? f ( x) ? y ? f (?x)(? ? 0) 将 y ? f ( x) 图像纵坐标不变,横坐标变为原来的

1

?

倍( ? ? 1缩短, 0 ? ? ? 1 伸长) ② y ? f ( x) ? y ? Af ( x)( A ? 0) 将 y ? f ( x) 图像横坐标不变,纵坐标变为原来的

A 倍( A ? 1伸长, 0 ? A ? 1 缩短) 6、函数的对称变换: ① y ? f ( x) ? y ? f (? x) ) 将 y ? f ( x) 图像沿 y 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 y 轴对称) ② y ? f ( x) ? y ? ? f ( x) 将 y ? f ( x) 图像沿 x 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 x 轴对称) ③ y ? f ( x) ? y ? f (| x |) 将 y ? f ( x) 图像在 y 轴右侧保留, 并把右侧图像绕 y 轴翻折到 左侧(偶函数局部翻折) ④ y ? f ( x) ? y ? f ( x) 保留 y ? f ( x) 在 x 轴上方图像,x 轴下方图像绕 x 轴翻折上去 (局 部翻动) 七、三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的 特点. (1)角的特点:因为在 ?ABC 中, A ? B ? C ? ? ,所以

sin(A ? B) ? sin C ; cos(A ? B) ? ? cosC ; tan(A ? B) ? ? tanC .
sin A? B C A? B C A? B C ? cos ; cos ? sin ; tan ? cot . 2 2 2 2 2 2

(2)三角形边、角关系使用正弦定理,余弦定理及三角形面积公式. (3)对任意 ?ABC , tan

A B B C C A ? tan ? tan ? tan ? tan ? tan ? 1 ; 2 2 2 2 2 2 在非直角 ?ABC 中, tan A ? tan B ? tan C ? tan A ? tan B ? tan C .
A , B , C 成等差数列的充分必要条件是 B ? 600 .
6

(4)在 ?ABC 中,熟记并会证明:

?ABC 是正三角形:则面积 S ?
1.三角形的面积公式:

3 2 3 a ,高 h ? a. 4 2

1 1 1 aha ? bhb ? ch c ( ha 、 hb 、 hc 分别表示 a , b , c 上的高) . 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B . 2 2 2 2 2 a sin B sin C b sin C sin A c 2 sin A sin B (3) S ? = = . 2 sin(B ? C ) 2 sin(C ? A) 2 sin( A ? B) 2 (4) S ? 2R sin A sin B sin C . ( R 为外接圆半径) abc (5) S ? . 4R 1 ? ? (6) S ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ; ? p ? (a ? b ? c) ? . 2 ? ? 1 (7) S ? ( a ? b ? c) r ? pr . 2
(1) S ? 2.直角三角形中各元素间的关系:
0 如图,在 ?ABC 中, C ? 90 , AB ? c , AC ? b , BC ? a .

(1)三边之间的关系: a ? b ? c . (勾股定理)
2 2 2

(2)锐角之间的关系: A ? B ? 90 ; (3)边角之间的关系: (锐角三角函数定义)
0

sin A ? cos B ?

a b a , cos A ? sin B ? , tan A ? cot B ? . c c b

(4)射影定理: 3.斜三角形中各元素间的关系: 如图 6-29,在 ?ABC 中, A , B , C 为其内角, a , b , c 分别表示 A , B , C 的对 边. (1)三角形内角和: A ? B ? C ? ? . (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的 比相等.

a b c ? ? ? 2 R ( R 为外接圆半径) sin A sin B sin C
( 3 )余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC . (4)射影定理: a ? b cos C ? c cos B , b ? a cos C ? c cos A , c ? a cos B ? b cos A . 它们的变形形式有: a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , C ? 2 R sin C ,
7

a?b?c a ? ? 2R ; sin A ? sin B ? sin C sin A a b c sin A ? , sin B ? , sin C ? ; 2R 2R 2R sin A a sin A a sin B b ? , ? ; ? , sin C c sin B b sin C c
a : b : c ? sin A : B sin : simC ,
b2 ? c2 ? a2 等等 2bc 4.解三角形: 由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求 其他未知元素的问题叫做解三角形. 广义地, 这里所说的元素还可以包括三角形的高、 中线、 角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可分为下面两种情 形:若给出的三角形是直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三角形是斜三角形,则 称为解斜三角形. 解斜三角形的主要依据是: 设△ABC 的三边为 a , b , c ,对应的三个角为 A , B , C . (1)角与角关系: A ? B ? C ? ? , (2)边与边关系: a ? b ? c , b ? c ? a , c ? a ? b , a ? b ? c , b ? c ? a , c ? a ? b . (3)边与角关系:正弦定理、余弦定理 (4)面积公式: 解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A , B , c ) ,由 A ? B ? C ? ? 求 C ,由正弦定理求 a , b . (2)已知两边和夹角(如 a , b , C ) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短边 所对的角,然后利用 A ? B ? C ? ? ,求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角(如 a 、 b 、 A ) ,应用正弦定理求 B ,由 A ? B ? C ? ? 求 C ,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况. (4)已知三边 a , b , c ,应余弦定理求 A , B ,再由 A ? B ? C ? ? ,求角 C . cos A ?

练习题
(一)选择题 1、 sin 330? 等于 A. ? ( B. ? ) C.

3 2

1 2

1 2

D.

3 2
( )

2、若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是 A.第一象限角

B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

3、 如果 1 弧度的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所对的弧长为 1 A. sin0.5 B.sin0.5 C.2sin0.5
8

(

)

D.tan0.5

4、在△ABC 中, “ A ? 30 °”是“ sin A ?
0

1 ”的( 2

)

A.仅充分条件 B.仅必要条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

cos ? 5、角 ? 的终边过点 ( ? b,4) ,且
A、3 B、-3 C、 ? 3

3 ? ? ,则 b 的值( 5
D、5



6、已知

?
2

? ? ? ? , sin(
4 3

?

3 ? ? ) ? ? ,则 tan(?-?)的值为( 2 5
3 4
D. ?



A.

3 4

B.

C. ?

4 3

7、 y ? (sin x ? cos x)2 ? 1是 A.最小正周期为 2 π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数

( ) B.最小正周期为 2 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

8、若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则

MN 的最大值为
A.1 B. 2

( C. 3

) D.2

9、为得到函数 y ? cos( x ? A.向左平移

?
3

) 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图像(



π 个长度单位 6 5π C.向左平移 个长度单位 6

π 个长度单位 6 5π D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移

9

10、正弦型函数在一个周期内的图象如图所示,则该函数的表达式是( y ? ? 2 A. y ? 2 sin( x ? ) B. y ? 2 sin( x ? )

)

4

C. y ? 2 sin( 2 x ?

?
8

4



D. y ? 2 sin( 2 x ?

?
8



?

π 4

o 3? 4

x

11、函数 y ? ? cos( A. ?2k? ?

x ? ? ) 的单调递增区间是( 2 3



? ? ? ?

4 2 ? ? ,2k? ? ? ?(k ? Z ) 3 3 ? 2 8 ? ? ,2k? ? ? ?(k ? Z ) 3 3 ?

B. ?4k? ? ? ,4k? ? ? ?(k ? Z ) 3 3 ? ? D. ?4k? ? ? ,4k? ? ? ? (k ? Z ) 3 3 ? ?

?

4

2 ?

C. ?2k? ?

?

2

8 ?

12、 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , 已知 A ? A.1 B.2 C. 3 ? 1

?
3

, a ? 3, b ? 1 , 则c ? (



D. 3

13、在△ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为(



A.

3 2 2

B.

3 3 2
2 2

C.

3 2
2

D. 3 3

14、 在 △ ABC 中, 已知 sin B ? sin C ? sin A ? 3 sin A sin C , 则 ?B 的大小为 (



A. 150?

B. 30 ?

C. 120?

D. 60 ?

15、?ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , 若 a 、b 、c 成等比数列, 且 c ? 2a , 则 cos B ? ( ) A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

(二)填空题 16、若 sin ? ? cos? ?

2 ,则 sin ? cos ? ?

.

10

17、已知函数 f ( x ) 是周期为 6 的奇函数,且 f (?1) ? 1 ,则 f (?5) ?



18、在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ?ABC 顶点 A(?4,0) 和 C (4,0) ,顶点 B 在椭圆

sin A ? sin C x2 y2 ? ________. ? ? 1 上,则 sin B 25 9
19、函数 y ? 1 ? 2 cos x ? lg(2 sin x ? 3) 的定义域 ___________

20、已知 f ( x) ? sin

n? (n ? N * ) ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (100) ? ______. 4

21、关于函数 f ( x) ? 4 sin( 2 x ?

?
3

)( x ? R ) ,其中正确的命题序号是___________.

(1) y ? f ( x) 的表达式可改写为 f ( x ) ? 4 cos( 2 x ? (2) y ? f ( x) 是以 2π 为最小正周期的周期函数; (3) y ? f ( x) 的图象关于点 (?

?
6

);

?
6

,0) 对称;

(4) y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ?

?
6

对称; _________

22、给出下列四个命题,则其中正确命题的序号为 (1)存在一个△ABC,使得 sin A ? cos A ? 1 (2)在△ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B (3)终边在 y 轴上的角的集合是{ ? | ? ?

k? ,k ?Z } 2

(4)在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象与函数 y ? x 的图象有三个公共点 (5)函数 y ? sin( x ?

?
2

) 在[0, ? ]上是减函数

11

(三)解答题 23、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且满足 cos

A 2 5 , ? 2 5

??? ? ??? ? (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 c ? 1 ,求 a 的值. AB ? AC ? 3 。

24、已知函数 f ( x) =2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ? 0,

0 9 6 ?? ? ? (Ⅱ)若 f ( x0 ) ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值. 0 5 ?4 2? 4 2 3

? ?? 2 上的最大值和最小值; ? 2? ? 0

12

强化训练
1. (2003 江苏)已知 x ? ( ? A.

? 4 ,0) , cos x ? ,则 tan 2 x ? 2 5
C.

(

)

7 24

B.

?

7 24

24 7

D. ?

24 7

2. (2003 北京春季)在 ?ABC 中,已知 A , B , C 成等差数列, 求 tan

A C A C ? tan ? 3 tan ? tan 的值. 2 2 2 2

3. (2003 北京)已知函数 f ( x) ? cos x ? 2 sin x cos x ? sin x
4 4

(1) 求 f ( x) 的最小正周期; (2) 若 x ? [0,

? ] ,求 f ( x) 的最大值,最小值. 2

4、 (2002 江苏)在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为( ) (A) (

? ?

? ? 5? 5? ? 5? 3? , ) ? (? , ) (B) ( , ? ) (C) ( , ) (D) ( , ? ) ? ( , ) 4 4 4 4 2 4 4 4 2

5、 (2002 上海)函数 y ? x ? sin | x |, x ? [?? , ? ] 的大致图像是( ) y y y y π π π π -π o π x -π o π x -π o π x -π o π -π
13

x





(A)

(B)

(C)

(D)

6、 (2002 北京)已知 f ( x) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数,当 0 ? x ? 3 时, f ( x) 的图像如图 所示,那么不等式 f ( x) cos x ? 0 的解集是---------------------------------------------------( ) (A) ( ?3,? (B) ( ?

?

,?1) ? (0,1) ? ( ,3) 2 2 (C) (?3,?1) ? (0,1) ? (1,3)
(D) ( ?3,?

?

) ? (0,1) ? ( ,3) 2 2

?

y

?

0

1

2

3

x

?
2

) ? (0,1) ? (1,3)


7、已知 sin ? ? sin ? ,那么下列命题成立的是( A.若 ? 、 ? 是第一象限角,则 cos? ? cos ? B.若 ? 、 ? 是第二象限角,则 tan? ? tan ? C.若 ? 、 ? 是第三象限角,则 cos? ? cos ? D.若 ? 、 ? 是第四象限角,则 tan? ? tan ? 8、下列命题中正确的是( A. y ? tan x 是增函数 C. y ? )

B. y ? sin x 在第一象限是增函数 D. y ? sin x 的反函数是 y ? arcsin x

? ? arccos x 是奇函数 2

9、函数 y ? sin( 2 x ? A.向左平移

? 单位 3 5? C.向左平移 单位 6

? ) 的图像是由函数 y ? sin 2 x 的图像( 3 ?
B.向右平移



6 5? D.向右平移 单位 6

单位

10、要得到函数 y ? 3 cos? 2 x ?

?? ? ? 的图像,可以将函数 y ? 3 sin 2 x 的图像( ) 4? ? ? ? A. 沿 x 轴向左平移 单位 B. 沿 x 轴向右平移 单位 8 8 ? ? C. 沿 x 轴向左平移 单位 D. 沿 x 轴向右平移 单位 4 4
?
2 ,? ? 0 )的图像.则 ω、φ 的值是( )

11、图 04 是函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) ( ? ?

14

10 ? ,? ? 11 6 10 ? B. ? ? ,? ? ? 11 6
A. ? ? C. ? ? 2 , ? ?

?

6

D. ? ? 2 , ? ? ?

?
6

?B , ?ABC 中, ?C 顺序成等差数列, 12、 若 ?A , 则 cos A ? cos C 的取值范围是______.
2 2

13、 sin x ? cos x ?

1 ? ? 3? ? , x ? ? ? , ? ,求 tan x 的值. 2 ? 5 ? 6

14、 (1)已知 sin(

1 ? , ? ? ( , ? ) ,求 sin 4? ; 4 4 6 2 sin 2 x ? 2 sin 2 x ? 3 5? 7? ?x? (2)已知 cos( x ? ) ? , ,求 的值。 4 5 4 4 1 ? tan x ? ? ) ? sin( ??) ?

?

?

15

15、 某观测站 C 在城 A 的南 20?西的方向上, 由 A 城出发有一条公路, 走向是南 40?东, 在C B A C 处测得距 为 31 千米的公路上 处有一人正沿公路向 城走去,走了 20 千米后,到达 D 处,此时 C 、 D 间距离为 21 千米,问这人还需走多少千米到达 A 城?

16

练习题参考答案:
1-5BCABA 6-10BDBCB 11-15CBBAB

16、

1 2

5
17、-1 18、 4 19、 [?

?
3

? 2k? ,

4? ? 2k? ] 3

20、 1 ? 2

21、(1)(3) 22、 (1)(2)(4)

A 5 3 4 A 2 5 sin ? cos A ? , sin A ? 23、 (1)由 cos ? 得 2 5 , 5 5 2 5 ??? ? ??? ? 因 AB ? AC ? 3 ,所以 bc=5,故 S?ABC ? 2
(2)由(1)bc=5,且 c=1,所以 b=5, 由余弦定理易得 a ? 2 5

24、 (Ⅰ)解:由 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ,得

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) . 6
所以 函数 f ( x) 的最小正周期为 ? . 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

?

? ?

??

? ?? ?? ? ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 6? ? 6? ?6 2?

?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6?
为-1.

? ?? ?? ? f ? ? ? ?1 ,所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最小值 ? 2? ?2?

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

? ?

??

?. 6?

又因为 f ( x0 ) ?

6 ?? 3 ? ? 2? 7? ? ? ?? ? ? , ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? .由 x0 ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? .从 5 6? 5 6 ? 3 6 ? ? ?4 2? ?

而 cos(2 x0 ?

?
6

) ? ? 1 ? sin 2 (2 x0 ?

?

4 ) ? ? ,所以 6 5

cos 2 x0 ? cos[( 2 x0 ?

?
6

)?

?
6

] ? cos( 2 x0 ?

?
6

) cos

?
6

? sin( 2 x0 ?

?
6

) sin

?
6

?

3?4 3 。 10

17

强化训练参考答案 1. D

2. ? A、B、C成等差数列,

? 2 cos( 2x ? ) , 4 ? ? 5? ? ? (1)T ? ? ; (2) x ? [0, ] , ? 2 x ? ? [ , ] , ? 2 cos( 2x ? ) ? [? 2 ,1] , 4 4 4 2 4 3? . f (x) m a x? 1,此时, x ? 0 , f (x) min ? ? 2 ,此时, x ? 8 4. C 5. C 6. B
2 2 2 2 3. f ( x ) ? (cos x ? sin x )(cos x ? sin x ) ? sin 2x ? cos 2x ? sin 2x ?

A?C ? B ? 60 0,A ? C ? 120 0, ? 60 0, 2 A C t an ?t an A C A C A C 2 2 得 3 ( 1 ? tan tan ) ? tan ? tan , 由t a n ( ? ) ? A C 2 2 2 2 2 2 1? t a n t a n 2 2 A C A C ? tan ? tan ? 3 tan tan ? 3 . 2 2 2 2

7、 当 ? ,? ? (0,

) 时, 由 sin ? ? sin ? 得 ? ? ? , 此时 cos? ? cos ? ; 当 ? ,? ? ( , ? ) 2 2 3? ? ? t a n? ; 当 ? , ? ? (? , ) 时 , 由 时 , 由 si n? ? si n? 得 , ? ? ? , 此 时 t a n 2 sin ? ? sin ? 得 , ? ? ? , 此 时 cos? ? cos ? ; 而 对 于 ? , ? 是 第 四 象 限 角 , 由

?

?

sin ? ? sin ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 1 ? ? tan2 ? ? tan2 ? ,? tan ? ? 0 , tan? ? 0 ? tan? ? tan ? ,故 2 cos ? cos2 ? 答案选 D 。 8、 y ? tan x 在每一个定义区间上都是增函数,但在其定义域内并不是增函数; y ? sin x 在 第一象限的每个区间上都是增函数,但在第一象限上并不是增函数; y ? arcsin x 只是 ? ? ? y ? sin x , x ? [ ? , ] ]的反函数;令 f ( x) ? ? arccos x , 2 2 2 ? ? ? 则 f (? x) ? ? arccos( ? x) ? arccos x ? ? ? f ( x) ,所以 y ? ? arccos x 是奇函数。故 2 2 2 答案选 C ? 2? ? ) ; y ? sin 2 x 图 9、 y ? sin 2 x 图像向左平移 单位后得: y ? sin 2( x ? ) ? sin( 2 x ? 3 3 3 ? ? ? 像,向右平移 单位后得 y ? sin 2( x ? ) ? sin( 2 x ? ) ; y ? sin 2 x 图像向左平移 6` 6 3
18

5? 5? ? 5? ) ? sin( 2 x ? ) ? sin( 2 x ? ) ; y ? sin 2 x 图像向右 单位后得: y ? sin 2( x ? 6` 6 3 3 5? 5? ? 5? ) ? sin( 2 x ? ) ? sin( 2 x ? ) ,故答案选 D . 平移 单位后得: y ? sin 2( x ? 6` 6 3 3 10、分析:我们知道,当 a ? 0 时,把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴向右移 a 个单位,便得到 函数 y ? f ( x ? a) 的图像,把函数 f ( x) 的图像沿 x 轴向左平移 a 个单位,便得到函数

?? ? y ? f ( x ? a) 的图像.本题中 y ? 3 cos? 2 x ? ? 与 y ? 3 sin 2 x 的对应法则不同,应当把 4? ? 它们变为“ y ? f ( x) 与 y ? f ( x ? a) ”的形式后,再讨论平移关系.因为我们关心的是
对函数 y ? 3 sin 2 x 的图像平移,所以要把 y ? 3 cos? 2 x ?

y ? 3 sin(2 x ? ? ) 的形式.由正弦曲线和余弦曲线的关系,不难看出,把余弦曲线沿 x 轴 ? ?? ? 向右平移 ,就得到正弦曲线,即是 cos? x ? ? ? sin x (这与诱导公式的结论是一致 2 2? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? 的) . 利用这个关系, 可以得到: 3 cos? 2 x ? ? ? 3 cos?? 2 x ? ? ? ? ? 3 sin ? 2 x ? ? . 4? 4? 4 ? 2? ? ? ?? 问题成为:把函数 y ? 3 sin 2 x 的图像沿 x 轴进行怎样的平移,可以得到函数 ?? ? y ? 3 sin? 2 x ? ? 的图像? 4? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? 如果 y ? 3 sin 2 x ? f ( x) , 那么 y ? 3 sin? 2 x ? ? ? 3 sin ?2? x ? ?? ? f ? x ? ? . 可 4? 8 ?? 8? ? ? ? ? ? ?? ? 见,把函数 y ? 3 sin 2 x 的图像向左移 个单位后,可得到函数 y ? 3 sin? 2 x ? ? 的图像, 8 4? ? ?? ? 即得到函数 y ? 3 cos? 2 x ? ? 的图像.因此选 A . 4? ? 说明:这个题目有两点值得注意:一是函数 y ? f ( x) 的图像与函数 y ? f ( x ? a) 的图 像的平移关系 (平移方向, 平移量) ; 二是对法则 “f ” 的理解. 只有把两个函数整理成 f ( x) 与 f ( x ? a) 的形式后,才可讨论它们沿 x 轴的平移问题.例如“把函数 y ? ? tan x 的图像 ? 沿 x 轴进行怎样的平移,就可得到函数 y ? tan( ? x) 的图像”的问题.就应该考虑 3 ? ? y ? ? tan x 与 y ? ? tan( x ? ) 这两个函数.它们是 y ? f ( x) 与 y ? f ( x ? ) 的关系.可 3 3 见,只要把函数 y ? ? tan x 的图像沿 x 轴右移 ? ? 个单位,就能得到函数 y ? tan( ? x) 的图 3 3
像. 11、分析:图 04 给我们提供的“信息”是:

? ?

??

? 变形,变到 4?

19

11? ,0) 在图像上; 12 11? (2)函数的最小正周期 T ? AB ? . 12 ? ?2 sin ? ? 1, ? ?? ? ? 11 ? 可见: ?2 sin ? ? ? ? ? 0, ? 12 ? ? ? 2? 11 ? ? . ? 12 ?? ? ? ∵ ? ? ,由 2 sin ? ? 1 得 ? ? , 6 2 11?? ? 2? ?? ? ? ?? ? 2? ? ? 11 ? 11 ? k? ?k ? Z ? , 由 sin? ? ? ? sin? ? ? 0 ,得 12 6? 12 ? 12 ? ? 12 k ? 2 , ?k ? Z? .由 2? ? 11? ,得 ? ? 24 . ∴ ?? 11 11 ? 12 10 24 满足 0 ? ? ? 时, k ? 1 或 k ? 2 .由此得到 ? 1 ? ,? 2 ? 2 .分析到这里,只否 11 11 10 定了 B 、 D .为选出正确答案,关键在于确定 ? ? 及 ? 2 ? 2 中哪个符合题意.为此, 11
(1)点 (0,1 )、 ( 还要仔细地从图 04 中“挖掘”出有用的“信息” . 注意到

12 10 T 11? ? 11? ? BC ? ,即 ? ,因此 ? ? .这样就排除了 ? ? . 11 11 2 12 ? 12

根据以上分析知,应选 C. 说明:因为函数 y ? A sin(?x ? ? ) 是周期函数,所以仅靠图像上的三个点,不能完全

? 的值. 确定 A 、 本题虽然给出了 ? ? 0 , ? ? ?、

? ? 11 ? 的条件, 但是仅靠 (0,1) 、 0? , ? ?, 2 ? 12 ?

两点, 能完全确定 ? 、? 的值. 在确定 ? 的过程中, 比较隐蔽的条件 起了重要作用.

T 11? 2? ) ? ? T( T ? ? 2 12

12、分析:因为 ? A , ? B , ?C 顺序成等差数列,所以 2 B ? ?A ? ?C ,

?B ? 600 , ?A ? ?C ? 1200 ,对 cos2 A ? cos2 C 用降幂变形,得
cos 2 A ? cos 2 C ? 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2C 1 ? ? 1 ? (cos 2 A ? cos 2C ) 2 2 2

1 ? 1 ? cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? 1 ? cos( A ? C ) , 2
由 ? 120 ? A ? C ? 120 ,知 ?
0 0

1 1 5 ? cos( A ? C ) ? 1 ,所以 cos 2 A ? cos 2 C ? [ , ] . 2 2 4
20

13、分析与解: x ? ( ?

? 3?
6 , 2

) 跨越了四个象限,如果角 x 真能落在各象限内,那么 tan x 值
3? 时, sin x ? 0 , cos x ? 0 ,与 2

的符号就有正有负.为便于求出 tan x 的值,不妨先“审查”一下角 x 的实际范围. 根据正弦曲线和余弦曲线;当 ? ? x ?

sin x ? cos x ?

1 矛盾. 可见, 角 x 的终边不在第三象限. 当角 x 在第一象限时,sin x ? 0 , 5

cos x ? 0 ,这时有 sin x ? cos x ?

?sin x ? cos x ?2
?

? 1 ? 2 sin x ? cos x ? 1 ,又与

sin x ? cos x ?

1 矛盾. 5

3 ? cos x ? 1 , 6 2 2 ? 1 1 3 ?1 由正弦曲线知:? ? sin x ? 0 ,这时 ? ? sin x ? cos x ? 1 ,可见 x ? (? ,0] . 6 2 5 2 3? 2 2 ? x ? ? ,由正弦曲线及余弦曲线知 0 ? sin x ? 如果 ? , ? 1 ? cos x ? ? , 4 2 2 1 ? 3? ? 这时 sin x ? cos x ? 0 ? ,可见 x ? ? ,? ? . 5 ?4 ? ? 3? 1 ) ,根据正切曲线知 根据以上分析可以看出:满足 sin x ? cos x ? 的角 x ? ( , 2 4 5 1 tan x ? ?1 .由 sin x ? cos x ? ,等式两端平方得: 5 1 1 2 2 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin x ? cos x ? ,即: cos x ?tan x ? 2 tan x ? 1? ? , 25 25 tan2 x ? 2 tan x ? 1 1 2 ? ,整理得: 12 tan x ? 25 tan x ? 12 ? 0 , 2 25 1 ? tan x 3 4 4 解之得: tan x ? ? 或 tan x ? ? .注意到 tan x ? ?1 ,∴ tan x ? ? . 4 3 3
可见角 x 的终边不会位于 (0,

?

) .如果 ?

? x ? 0 .由余弦曲线知:

说明:有些三角函数的题目,为了考查学生对“某区间上任意值”与“某区间上特殊值” 的区分能力,常把已知条件中的区间给“大” .这时往往先要进行“缩小”区间的工作. 14、解 (1)∵ ? ?

?
4

?

?
4

?? ?

?
2

,? sin(

?
4

? ? ) ? cos(

?
4

??) ,

? sin(

??) 4 4 4 1 ? 1 1 1 2 2 ? sin( ? 2? ) ? cos 2? ) ? ,又∵ ? ? 2? ? 2? , cos 2? ? , sin 2? ? ? , 3 2 2 2 6 3 4 2 . ? sin(2? ) ? 2 sin 2? ? cos 2? ? ? 9 4
本题也可以这样解:
21

?

? ? ) ? sin(

?

? ? ) ? sin(

?

? ? ) ? cos(

?

? ? 2 2 ? sin( ? ? ) ? sin( ? ? ) ? (sin ? ? cos? ) ? (cos? ? sin ? ) 4 4 2 2 1 1 1 (cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? cos 2? ? ; 2 2 6
也可以用积化和差公式:

1 ? 1 1 (cos 2? ? cos ) ? cos 2? ? , 4 4 2 2 2 6 ? 3? ? 4 ,2? ) 知 sin( x ? ) ? ? , 法一:由 x ? ? ( 4 2 4 5 sin( ? ? ) ? sin( ??) ? ? cos x ? cos( x ?

?

?

?

4

?

?

4

) ? cos( x ?

?

4

) ? cos

?

4

? sin( x ?

?

4

) ? sin

?

4

5? 3? 3 4 2 ?x? ,由 cos x ? 0 可知, , ? 2? ? 2?? 4 2 10 10 10 7 2 于是 sin x ? ? , tan ? ? 7 , 10 2 7 7 2 ? (? ) ? (? 2 ) ? 2 ? (? 2)2 28 10 10 10 ?? , ∴原式= 1? 7 75

?

2 sin x cos x(cos x ? sin ? ) 法二:原式= = cos x ? sin x

sin 2 x ? 2 sin(x ? 2 cos(x ?

?
4

)

) 4 ? ? ? ? ? ? cos( 2 x ? ) tan( x ? ) ? ?[1 ? cos 2 ( x ? )] ? tan( x ? ) , 2 4 4 4 ? 3 ? 4 28 而 cos( x ? ) ? , tan( x ? ) ? ? ,代入得:原式=- . 75 4 3 4 5 ? ? 注三角函数求值,要重视角与角的关系,如 ? x 与 ? x 互余(广义) , 4 4 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 等.
15、解:根据题意得图 02, 其中 BC ? 31 千米, BD ? 20 千米, CD ? 21 千米,

?

?CAB ? 600 ,设 ?ACD ? ? , ?CDB ? ? . 在 ?CDB 中,由余弦定理得:
CD 2 ? BD 2 ? BC 2 212 ? 20 2 ? 312 1 ? ?? , 2 ? CD ? BD 2 ? 21 ? 20 7 4 3 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? . 7 sin? ? sin ? 180? ? ?CAD ? ?CDA ? ? sin ? 180? ? 60? ? 180? ? ? ? cos ? ?
? sin?? ? 60?? ? sin ? cos 60? ? cos ? sin 60? ? 4 3 1 1 3 5 3 ? ? ? ? . 7 2 7 2 14

22

在 ?ACD 中,由正弦定理得: AD ?

CD 21 5 3 21 5 3 ? sin ? ? ? ? ? ? 15 . sin A sin 60? 14 3 14 2

此人还得走 15 千米到达 A 城. 说明:运用解三角形的知识解决实际问题时,关键是把题设条件转化为三角形中的已知 元素,然后解三角形求之.

23


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