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江西师大附中、临川一中2013届高三12月联考理科数学试卷


江西师大附中、临川一中 2013 届高三 12 月联考试卷

理科数学
注意事项
1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写好自己的准考证号、姓名等相关信息。 2.选择题的答案选出后,把答案填在答题卡的相应位置,不能答在试题卷上。 3.答第 II 卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。作

图时可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所 指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。

第Ⅰ卷
(本卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中有且只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置.) 1 1.设全集为 R,集合 A ? ?x || x |? 2?, B ? {x | ? 0} ,则 A? B ? ( ) x ?1 [? [? ( [ A. 2 , 2] B. 2 , 1) C.1 , 2] D. ?2 , +? ) 2 2.如果 ? 1 + mi ( m? R , i 表示虚数单位),那么 m ? ( ) 1? i A.1 B. ? 1 C.2 D.0 2? 3.若 a ? 20.5 , b ? log? 3 , c ? log 2 sin ,则( ) 5 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. b ? c ? a 2 2 x y 4.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y2 ? 4x 的焦点重合,且双曲线的 a b 离心率等于 5 ,则该双曲线的方程为( ) 2 2 x y y2 x2 4 ?1 A. 5x 2 ? y 2 ? 1 B. ? C. ? ? 1 5 4 5 4 5 5 D. 5x 2 ? y 2 ? 1 4 5.在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 + a2 + a3 +?+ a7 ,则 k ?( ) A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 ? 6.已知直线 l , m ,平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出四个命题: ①若 ? ∥ , ? ③若 ? ? ? , l∥ ④若 l∥ 则 ? ? ? . 则l ? m; ②若 l ? m , ? ∥ ; 则 则 m; m, 其 中真命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 7.已知偶函数 f ( x) ? A sin(?x + ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像如图所 示.若

f(x) = sin(2?x)

??? ? y 1 △KLM 为等腰直角三角形,且 | KL |? 1 ,则 f ( ) 的值为( ) 6 3 3 O K 1 1 x L A. ? B. ? C. ? D. 4 4 4 2 M ? x + y ?1 ? 8.已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? ax + by (a ? 0, b ? 0) 的 ?2 x ? y ? 2 ?

3 4 + 的最小值为( ) a b A. 14 B. 7 C. 18 D. 13 ?(3 ? a) x ? 3 ( x ? 7) 9.已知函数 f ( x ) ? ? x?6 ,若数列 {an } 满足 an ? f (n) (n ? N+ ) ,且 (x ? 7) ?a 对任意的正整数 m, n (m ? n) 都有 (m ? n)(am ? an ) ? 0 成立,那么实数 a 的取
最大值为 7,则 值范围是( 9 A. [ ,3) 4 D. (1, 3) )

9 B. ( ,3) 4

C. ( 2,3 )

1 ? ?x + , x ? 0 10.已知函数 f ( x) ? ? ,则关于 x 的方程 f (2x2 + x) ? a ( a ? 2 )的根 x ? x3 + 3, x ? 0 ?
的个数不可能为( A.3 ) B. 4 C. 5 D. 6

第Ⅱ卷
(本卷共 11 小题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相 应位置. 11.圆 C : x2 + y2 ? 4 被直线 l : x ? y + 1 ? 0 所截得的弦长为 . ??? ? ??? ? 12.已知四点 A(1, 2), B(3, 4), C (?2, 2), D(?3,5) ,则向量 AB 在向量 CD 方向上的射 影为 . 13.某三棱锥的三视图如右(尺寸的长度单位为 m ). m3 . 则该三棱锥的体积为 1 3 3 14.有这样一道题:“在 ? ABC 中,已知 a ? 3 , 主视图 左视图 A+C , 2cos2 ( ) ? ( 2 ?1) cos B ,求 2 角 A.”已知该题的答案是 A ? 60? , 若横线 处的条件为三角形中某一边的长度,则此条件 2 2 应为 . 俯视图 cos ? x , x ? R ,给出下列四个命题: 15.已知函数 f ( x) ? 2 ( x + 1)( x 2 ? 4 x + 5) ① 函数 f ( x) 是周期函数;

2

②函数 f ( x) 既有最大值又有最小值; ③ 函数 f ( x) 的图像有对称轴; ④对于任意 x ? (?1, 0) ,函数 f (x) 的导函数 f '( x) ? 0 . 其中真命题的序号是 .(请写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写在答题卡相位置,应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. ?? ? x x x 16.(本小题满分 12 分)已知向量 m ? (2sin , 2sin 2 ?1), n ? (cos , ? 3) ,函数 4 4 4 ?? ? f ( x) ? m ? n . (1) 求函数 f ( x) 的最大值,并写出相应 x 的取值集合;
? 10 (2) 若 f (? + ) ? ,且 ? ? (0, ? ) ,求 tan ? 的值.
3 5

17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? xk + b (其中 k,b ? R 且 k , b 为常数) 的图像经过 A (4, 2) 、B (16, 4) 两点. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)如果函数 g ( x) 与 f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称,解关于 x 的不等式: g ( x) + g ( x ? 2) ? 2a( x ? 2) + 4 .

18. (本小题满分 12 分)已知命题 p:函数 f ( x) ? a2 x2 + ax ? 2 在 [?1,1] 内有且仅 1 3 有一个零点.命题 q: x2 + 3(a +1) x + 2 ? 0 在区间 [ , ] 内恒成立.若命题“p 或 2 2 q”是假命题,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)已知圆柱 OO1 底面半径为 1,高为 ? ,ABCD 是圆柱的 一个轴截面.动点 M 从点 B 出发沿着圆柱的侧面到达点 D,其距离最短时在侧 面留下的曲线 ? 如图所示.将轴截面 ABCD 绕着轴 OO1 逆时针旋转 ? (0 ? ? ? ? ) 后,边 B1C1 与曲线 ? 相交于点 P. (1) 求曲线 ? 长度;

(2) 当 ? ?

?
2

时,求点 C1 到平面 APB 的距离;

(3) 是否存在 ? ,使得二面角 D ? AB ? P 的大小为

若存在,求出线段 BP 的长度;若不存在,请说明理由.

? ?D 4 D1

C1
O1
C

P

A

?

B1

O

B

A1

20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x2 + k | ln x ?1|, g( x) ? x | x ? k | ?2 ,其 中0?k ?4. (1) 讨论函数 f ( x) 的单调性,并求出 f ( x) 的极值; (2) 若对于任意 x1 ?[1, +?) ,都存在 x2 ?[2, +?) ,使得 f ( x1 ) ? g( x2 ) ,求实数

k 的取值范围.

2 2 21. (本小题满分 14 分) 已知各项均为正数的数列 {an } 满足 a n +1 ? 2a n + a n a n +1 ,

且 a2 + a4 ? 2a3 + 4 ,其中 n ? N * . (1) 求数列 {an } 的通项公式; nan (2) 设数列 {bn }满足 bn ? ,是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 (2n + 1) ? 2 n b1 , bm , bn 成等比数列?若存在,求出所有的 m、n 的值;若不存在,请说明理由. (3) 令 cn ?
( n + 1) 2 + 1 * ,记数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn (n ? N ) ,证明: n( n + 1) an + 2

5 1 ? Sn ? . 16 2

江西师大附中、临川一中 2013 届高三联考

理科数学参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中有且只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置.) 1 1.设全集为 R,集合 A ? ?x || x |? 2?, B ? {x | ? 0} ,则 A? B ? ( C ) x ?1 [? [? ( [ A. 2 , 2] B. 2 , 1) C.1 , 2] D. ?2 , +? ) 2 2.如果 ? 1 + mi ( m? R , i 表示虚数单位),那么 m ? ( A ) 1? i A.1 B. ? 1 C.2 D.0 2? 3.若 a ? 20.5 , b ? log? 3 , c ? log 2 sin ,则( A ) 5 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. b ? c ? a 2 2 x y 4.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y2 ? 4x 的焦点重合,且双曲线的 a b 离心率等于 5 ,则该双曲线的方程为( D ) x2 y2 y2 x2 4 ?1 A. 5x 2 ? y 2 ? 1 B. ? C. ? ? 1 5 4 5 4 5 5 D. 5x 2 ? y 2 ? 1 4 5.在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 + a2 + a3 +?+ a7 ,则 k ?( A ) A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 ? 6.已知直线 l , m ,平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出四个命题: ①若 ? ∥ , ? ③若 ? ? ? , l∥ ④若 l∥ 则 ? ? ? . 则l ? m; ②若 l ? m , ? ∥ ; 则 则 m; m, 其 中真命题的个数是( C ) A.4 B.3 C.2 D.1 7.已知偶函数 f ( x) ? A sin(?x + ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像如图所 示.若 ??? ? y 1 △KLM 为等腰直角三角形,且 | KL |? 1 ,则 f ( ) 的值为( C ) 6
f(x) = sin(2?x)

O

K
M

L

x

A. ?

3 4

B. ?

1 4

C. ?

1 2

D.

3 4

? x + y ?1 ? 8.已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? ax + by (a ? 0, b ? 0) 的 ?2 x ? y ? 2 ?

3 4 + 的最小值为( B ) a b A. 14 B. 7 C. 18 D. 13 ?(3 ? a) x ? 3 ( x ? 7) 9.已知函数 f ( x ) ? ? x?6 ,若数列 {an } 满足 an ? f (n) (n ? N+ ) ,且 (x ? 7) ?a 对任意的正整数 m, n (m ? n) 都有 (m ? n)(am ? an ) ? 0 成立,那么实数 a 的取 值范围是( C ) 9 9 A. [ ,3) B. ( ,3) C. ( 2,3 ) 4 4 D. (1, 3)
最大值为 7,则

1 ? ?x + , x ? 0 10.已知函数 f ( x) ? ? ,则关于 x 的方程 f (2x2 + x) ? a ( a ? 2 )的根 x ? x3 + 3, x ? 0 ? 的个数不可能为( A ) A.3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相 应位置. 11.圆 C : x2 + y2 ? 4 被直线 l : x ? y + 1 ? 0 所截得的弦长为 14 . ??? ? ??? ? 12.已知四点 A(1, 2), B(3, 4), C (?2, 2), D(?3,5) ,则向量 AB 在向量 CD 方向上的射

2 10 影为 5 .
13.某三棱锥的三视图如右(尺寸的长度单位为 m ). m3 . 则该三棱锥的体积为 4 14.有这样一道题:“在 ? ABC 中,已知 a ? 3 , A+C , 2cos2 ( ) ? ( 2 ?1) cos B ,求 2 角 A.”已知该题的答案是 A ? 60? , 若横线 处的条件为三角形中某一边的长度,则此条件 应为 c ?

2 3 主视图 1 3 左视图

6+ 2 . 2

2 俯视图

2

15.已知函数 f ( x) ?

cos ? x , x ? R ,给出下列四个命题: ( x + 1)( x 2 ? 4 x + 5) ① 函数 f ( x) 是周期函数;
2

②函数 f ( x) 既有最大值又有最小值; ③ 函数 f ( x) 的图像有对称轴; ④对于任意 x ? (?1, 0) ,函数 f (x) 的导函数 f '( x) ? 0 . 其中真命题的序号是 ②③ .(请写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写在答题卡相位置,应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. ?? ? x x x 16.(本小题满分 12 分)已知向量 m ? (2sin , 2sin 2 ?1), n ? (cos , ? 3) ,函数 4 4 4 ?? ? f ( x) ? m ? n . (1) 求函数 f ( x) 的最大值,并写出相应 x 的取值集合;
? 10 (2) 若 f (? + ) ? ,且 ? ? (0, ? ) ,求 tan ? 的值.
3 5

解析:(1) ?? ? x x x x x x ? f ( x) ? m ? n ? 2sin cos + 3(1 ? 2sin 2 ) ? sin + 3 cos ? 2sin( + ) 4 4 4 2 2 2 3 x ? ? ? 所以,当 + ? 2k? + ,即当 x ? 4k? + (k ? Z ) 时, fmax ? 2 。 2 3 2 3 ? 10 (2)由(1)得: f (? + ? ) ? 2sin(? + ? ) ? 2cos ? ,所以 cos ? ,从 2 10 3 2 2 2 而 ? 4 cos ? ? 2cos2 ?1 ? ? 。 2 5 3 由于 ? ? (0, ? ) ,所以 sin ? ? 。 5 sin ? 3 于是, tan ? ? ?? 。 cos ? 4 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? xk + b (其中 k,b ? R 且 k , b 为常数) 的图像经过 A (4, 2) 、B (16, 4) 两点. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)如果函数 g ( x) 与 f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称,解关于 x 的不等式: g ( x) + g ( x ? 2) ? 2a( x ? 2) + 4 .

? 2 ? 4k + b 1 解析:(1) ? ? b ? 0, k ? ? f ( x) ? x 。 k 2 ?4 ? 16 + b (2)设 M ( x, y ) 是曲线 y ? g ( x ) 上任意一点,由于函数 g ( x) 与 f ( x) 的图像关 于直线 y ? x 对称,所以 M ( x, y ) 关于直线 y ? x 的对称点 M / ( y, x) 必在曲线
y ? f ( x) 上,所以 x ?

y ,即 y ? x2 ,所以 g( x) ? x2 ( x ? 0) 。于是

x?2?0 ? g ( x) + g ( x ? 2) ? 2a( x ? 2) + 4 ? ? 2 2 ? x + ( x ? 2) ? 2a( x ? 2) + 4 x?2 ? ?? ?( x ? a )( x ? 2) ? 0

① 若 a ? 2 ,则不等式的解为 x ? 2 ; ② 若 a ? 2 ,则不等式的解为 x ? a 。 18. (本小题满分 12 分)已知命题 p:函数 f ( x) ? a2 x2 + ax ? 2 在 [?1,1] 内有且仅 1 3 有一个零点.命题 q: x2 + 3(a +1) x + 2 ? 0 在区间 [ , ] 内恒成立.若命题“p 或 2 2 q”是假命题,求实数 a 的取值范围. 解析:先考查命题 p: 2 1 由 a2x2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,显然 a≠0,∴x=- 或 x=

a

a

?|2|≤1, ?a ∵方程 a x +ax-2=0 在[-1,1]上有且仅有一解,故? 1 ?|a|>1 ?
2 2



?|1|≤1, ?a ?2 ?|a|>1. ?
∴-2<a≤-1 或 1≤a<2. 再考查命题 q: 2? ?1 3? ?1 3? ? ∵x∈? , ?,∴3(a+1)≤-?x+ ?在? , ?上恒成立. x? ?2 2? ?2 2? ? 1 ? 9 9 5 ? 易知?(x+ )?max= ,故只需 3(a+1) ≤- 即可.解得 a≤- . x ? 2 2 2 ? ∵命题“p 或 q”是假命题,∴命题 p 和命题 q 都是假命题, 5 ∴a 的取值范围为{a| - <a≤-2 或-1<a<1 或 a≥2}. 2 19.(本小题满分 12 分)已知圆柱 OO1 底面半径为 1,高为 ? ,ABCD 是圆柱的 一个轴截面.动点 M 从点 B 出发沿着圆柱的侧面到达点 D,其距离最短时在侧 面留下的曲线 ? 如图所示.将轴截面 ABCD 绕着轴 OO1 逆时针旋转 ? (0 ? ? ? ? ) 后,边 B1C1 与曲线 ? 相交于点 P. (1) 求曲线 ? 长度; (2) 当 ? ? ? / 2 时,求点 C1 到平面 APB 的距离; (3) 是否存在 ? ,使得二面角 D ? AB ? P 的大小为 ? / 4 ?若存在,求出线段 BP 的长度; 若不存在,请说明理由.
C1
D

O1

C

D

C1

C

D1
P

P

A

?

B1

O

B

A

B1

B

解法一: (1)将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边 BA,曲线 ? 就 是对角线 BD。由于 AB ? ? r ? ? , AD ? ? ,所以这实际上是一个正方形. 所以曲线 ? 的长度为 BD ? 2? . 时,点 B1 恰好为 AB 的中点,所以 P 为 B1C1 中点,故点 C1 到平 2 面 APB 的距离与点 B1 到平面 APB 的距离相等。 连结 AP、BP,OP. 由 AB ? B1P 且 AB ? AB1 知: AB ? 平面 APB. 1 从而平面 AB1P ? 平面 APB。 1 作 B1H ? OP 于 H,则 B1H ? 平面 APB。 所以, B1H 即为点 B1 到平面 APB 的距离。
C1
D

(2)当 ? ?

?

O1

C

D1
P
H

? ? 在 Rt?OB1P 中, OB1 ? 1, B1P ? BB1 ? , B1 ? 2 A B O 2 ? ? +4 A1 所以 OP ? 12 + ( ) 2 ? 。于是: 2 2 ? 1? OB1 ? B1 P ? ? 2 ? B1 H = ? 。 所以, C1 到平面 APB 的距离为 点 。 OP ?2 +4 ?2 +4 ?2 +4 2
(3)由于二面角 D ? AB ? B1 为直二面角,故只要考查二面角 P ? AB ? B1 是否为 可。 过 B1 作 B1Q ? AB 于 Q,连结 PQ。 由于 B1Q ? AB , B1P ? AB ,所以 AB ? 平面 B1PQ , 所以 AB ? PQ 。 于是 ?PQB1 即为二面角 P ? AB ? B1 的平面角。 ? 在 Rt? PB Q 中, B Q ? sin ? , B P ? BB ? ? 。
1

? 即 4
C1
C

D

O1

D1
P
B1
Q

,则需 B1P ? BQ ,即 sin ? ? ? 。 1 4 令 f ( x) ? sin x ? x (0 ? x ? ? ) ,则 f ' ( x) ? cos x ?1 ? 0 , 故 f ( x) 在 (0, ? ) 单调递减。所以 f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 若 ?PQB1 ?

?

1

1

1

A

?

O

B

A1

sin x ? x 在 (0, ? ) 上 (0, ? ) 恒成立。故不存在 ? ? (0, ? ) ,使 sin ? ? ? 。也就是说, ? 不存在 ? ? (0, ? ) ,使二面角 D ? AB ? B1 为 。 4 解法二:如图,以 O 为原点,OB 所在直线为 x 轴,过 O 与 OB 垂直的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系。则 A(?1, 0, 0), B(1, 0, 0) , B1 (cos? ,sin? ,0) 。由于 ? B1P ? BB1 ? ? ,所以 P(cos ? ,sin ? ,? ) , C1 (cos? ,sin? , ? ) ,于是 ??? ? ??? ? AP ? (cos ? + 1,sin ? , ? ) , AB ? (2, 0, 0) 。
z

C1
D

O1

C

D1
P y A
?

B1
Q

O

B

x

A1

(1)同解法一;
??? ? ??? ? ?? ? ? 时, AB ? (1,1, ) , AB ? (2, 0, 0) ,所以 m ? (0, ? ,1) 是平面 APB 2 2 2 的一个法向量。 ???? ? 又, OC1 ? (0,1, ? ) ,所以点 C1 到平面 APB 的距离为

(2)当 ? ?

?

?? ???? ? | ?? +? | | m ? C1O | ? ?? 。 h? ? 2 ? |m| ?2 ?2 +4 1+ 4 ?? ? x(cos ? + 1) + y ? sin ? + z ? ? ? 0 (3) m ? ( x, y, z ) 是平面 APB 的一个法向量, ? 设 则 , 2x + 0 + 0 ? 0 ? ?? 取 m ? (0, ?? , sin ? ) 。 ? 又 n ? (1, 0, 0) 是平面 DAB 的一个法向量。 ?? ? ?? ? m?n sin ? 2 由 cos ? m, n ?? ?? ? ? 得: sin ? ? ? 。以下同解法一。 | m|?| n | ? 2 + sin 2 ? 2

20、(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x2 + k | ln x ?1|, g( x) ? x | x ? k | ?2 ,其 中0?k ?4。 (1)讨论函数 f ( x) 的单调性,并求出 f ( x) 的极值;

(2)若对于任意 x1 ?[1, +?) ,都存在 x2 ?[2, +?) ,使得 f ( x1 ) ? g( x2 ) ,求实 数 k 的取值范围。 ? 2 x2 ? k (0 ? x ? e) ? x ? x2 ? k ln x + k (0 ? x ? e) ? ' 解析:(1) f ( x) ? ? 2 ,所以 f ( x) ? ? 。 2 x2 + k ? x ? k ln x + k ( x ? e) ? ( x ? e) ? x ? k k 易知, f ( x) 在 (0, ) 单调递减,在 ( , +?) 单调递增。 2 2 k 3k k k 所以 f 极小 ? f ( ) ? ? ln . 2 2 2 2 1 (2) ? k ? 4 . 3
2 2 21.(本小题满分 14 分)已知各项均为正数的数列 {an } 满足 a n +1 ? 2a n + a n a n +1 ,

且 a2 + a4 ? 2a3 + 4 ,其中 n ? N * . (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 设数列 {bn } 满足 bn ?
nan ,是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 (2n + 1) ? 2 n

b1 , bm , bn 成等比数列?若存在,求出所有的 m, n 的值;若不存在,请说明理由。
(3) 令 cn ?
5 1 ? Sn ? 。 16 2
2 2 解析:(1) 因为 a n +1 ? 2a n + a n a n +1 ,即 (an+1 + an )(2an ? an+1 ) ? 0

( n + 1) 2 + 1 ,记数列 {cn } 的前 n 项和为 S n ,其中 n ? N * ,证明: n( n + 1) an + 2

又 an ? 0 ,所以有 2an ? an+1 ? 0 ,即 2an ? an+1 所以数列 ?an ?是公比为 2 的等比数列. 由 a2 + a4 ? 2a3 + 4 得 2a1 + 8a1 ? 8a1 + 4 ,解得 a1 ? 2 。 n 从而,数列 ?an ?的通项公式为 a n ? 2 (n ? N* ) 。 (2) bn ? 即
nan m 2 1 n n ) ? ( ), ,若 b1 , bm , bn 成等比数列,则 ( n = (2n + 1) ? 2 2n + 1 2m + 1 3 2n + 1

m2 n ? . 2 4m + 4m + 1 6n + 3 m2 n 3 ?2m 2 + 4m + 1 ? 由 2 ,可得 ? , n m2 4m + 4m + 1 6n + 3 6 6 所以 ?2m2 + 4m + 1 ? 0 ,解得: 1 ? 。 ? m ? 1+ 2 2

又 m ? N* ,且 m ? 1,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 . 故当且仅当 m ? 2 , n ? 12 .使得 b1, bm , bn 成等比数列。

(3) cn ?

(n + 1)2 + 1 1 n2 + 2n + 2 ? ? n(n + 1)2n+2 2 n(n + 1) ? 2n+1

? 1 ? n2 + n n+2 ? ? + n +1 n +1 ? 2 ? n(n + 1)2 n(n + 1) ? 2 ? ? 1? 1 1 1 ? ? n +1 + ? n n +1 ? 2 ?2 n ? 2 (n + 1)2 ?
? 1 1 1 1? 1 1 1 1 1 1 ? )+( ? ) +?+ ( ? ) ∴ Sn ? ( 2 + ? + n +1 ) + ?( 2 2 3 n n +1 ? 2 2 2 2 ? 1? 2 2 ? 2 2 ?2 3?2 n ? 2 ( n + 1) ? 2 ? 1 1 (1 ? n ) ? 1 22 1 2 + 1 ?1 ? ? ? ? 2 (n + 1) ? 2n +1 ? 1 2 2? ? 1? 2 1? 1 n + 2? ? ?1 ? ( ) n+1 ? 2? 2 n +1 ? ? 1 n+1 n + 2 1 n+1 1 1 n + 2 1 1+1 1 + 2 3 易知 ( ) ? 0< ? ( ) (1 + ) 递减,∴ ( )n+1 ? ?( ) ? ? 2 n +1 2 n +1 2 n +1 2 1 +1 8 5 1 1 n+2 1 5 1 ] ? ,即 ? Sn ? 。 ∴ ? [1 ? ( )n+1 ? 16 2 2 n +1 2 16 2


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