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2011年全国高中数学联赛试题


2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.
1.设集合 A ? ?a1 , a2 , a3 , a4 ?,若中所有 A 三元子集的三个元素之和组成的集合为 B ? ?? 1,3,5,8?,则 集合 A ? ____________. 2.函数 f ?x ? ?

x2 ?1 的值域为____________. x ?1
1 1 2 3 ? ? 2 2 , ?a ? b ? ? 4?ab ? ,则 loga b ? ____________. a b

3.设 a , b 为正实数,

4.如果 cos5 ? ? sin 5 ? ? 7 sin 3 ? ? cos3 ? ,? ? ?0,2? ?,那么 ? 的取值范围是____________. 5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人参加, 每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为____________. (用数字作答) 6. 在四面体 ABCD 中, 已知 ?ADB ? ?BDC ? ?CDA ? 600 , AD ? BD ? 3, CD ? 2, 则四面体 ABCD 的 外接球的半径为____________. 7.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点, C 为抛物线上的一点, ?ACB ? 90 ,则点 C 的
0

?

?

坐标为____________. 8.已知 an ? C
n 200

? 6
3

? ?

200 ? n

? 1 ? ?? ? ?n ? 1,2,?,95? ,则数列 ?an ?中整数项的个数为____________. ? 2?
? b ?1 ? ?, ? b?2?

n

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9. (本题满分 16 分)设函数 f ?x? ? lg?x ? 1? ,实数 a, b?a ? b? 满足 f ?a ? ? f ? ?

f ?10a ? 6b ? 21? ? 4 lg 2 ,求 a , b 的值.
10. (本题满分 20 分)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2t ? 3?t ? R, t ? ?1?,

an?1 ?

?2t

n ?1

? 3 an ? 2?t ? 1?t n ? 1 ?n ? N ? ? . an ? 2t n ? 1

?

(1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 an ?1 与 an 的大小.

11. (本题满分 20 分)作斜率为

1 x2 y2 ? 1 交于 A, B 两点(如图) 的直线 l 与椭圆 C : ? ,且 P 3 2 , 2 3 36 4
y P O A x B

?

?

在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上;

(2)若 ?APB ? 60 ,求△ PAB 的面积.
0

2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 9:40—12:10

二、 (本题满分 40 分)证明:对任意整数 n ? 4 ,存在一个 n 次多项式
f ( x) ? x n ? a n?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0

具有如下性质: (1) a 0 , a1 , ? , a n ?1 均为正整数; (2)对任意正整数 m ,及任意 k (k ? 2) 个互不相同的正整数 r1 , r2 , ?, rk ,均有
f (m) ? f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) .

三、 (本题满分 50 分)设 a1 , a 2 , ? , a n (n ? 4) 是给定的正实数, a1 ? a 2 ? ? ? a n .对任意正实 数 r ,满足
a j ? ai ak ? a j ? r (1 ? i ? j ? k ? n) 的三元数组 (i, j, k ) 的个数记为 f n (r ) .

证明: f n (r ) ?

n2 . 4

四、 (本题满分 50 分) 设 A 是一个 3? 9 的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数. 称 A 中的一个 m ? n (1 ? m ? 3, 1 ? n ? 9) 方格表为“好矩形” ,若它的所有数的和为 10 的倍数.称 A 中的一个 1?1 的小方格为“坏格” ,若它不包含于任何一个“好矩形” .求 A 中“坏格”个数 的最大值.

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圆锥曲线

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双曲线
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抛物线
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直线与圆锥曲线的位置关系
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轨迹与轨迹方程的求法
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定点、定值、最值和参变量范围问题
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数列 数列 数列 数列

2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 8:00—9:20

一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1 . 设 集 合 A ? {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } , 若 A 中 所 有 三 元 子 集 的 三 个 元 素 之 和 组 成 的 集 合 为
B ? {?1, 3, 5, 8} ,则集合 A ?



2.函数 f ( x) ?

x 2 ?1 x ?1

的值域为



3.设 a , b 为正实数, ? ? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4(ab) 3 ,则 loga b ?

1 a

1 b



4.如果 cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? ) , ? ? [0,2? ) ,那么 ? 的取值范围是



5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个 项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数 为 . (用数字作答)

6. 在四面体 ABCD中, 已知 ?ADB? ?BDC? ?CDA? 60? ,AD ? BD ? 3 , 则四面体 ABCD CD ? 2 , 的外接球的半径为 .

7.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点, C 为抛物线上的一点, ?ACB ? 90? ,则 点 C 的坐标为 .

3 8.已知 a n ? C n 200?? 6 ?

200? n

? 1 ? ? ?? ? ? (n ? 1,2, ? ,95) ,则数列 {a n } 中整数项的个数为 ? 2?

n



二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 设 函 数 f ( x) ?| lg(x ? 1) | , 实 数 a, b(a ? b) 满 足 f (a) ? f (?
f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,求 a , b 的值.

b ?1 ), b?2

10 .( 本 小 题 满 分 20 分 ) 已 知 数 列 {a n } 满 足 : a1 ? 2t ? 3 (t ? R 且 t ? ?1) ,
a n ?1 ? (2t n ?1 ? 3)a n ? 2(t ? 1)t n ? 1 a n ? 2t ? 1
n

(n ? N * ) .

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 an ?1 与 a n 的大小.

11. (本小题满分 20 分)作斜率为 的直线 l 与椭圆 C :

1 3

x2 y2 ? ?1 36 4

y P O A x B

交于 A, B 两点(如图所示) ,且 P(3 2 , 2 ) 在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ?APB ? 60? ,求△ PAB的面积.

2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 9:40—12:10

二、 (本题满分 40 分)证明:对任意整数 n ? 4 ,存在一个 n 次多项式
f ( x) ? x n ? a n?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0

具有如下性质: (1) a 0 , a1 , ? , a n ?1 均为正整数; (2)对任意正整数 m ,及任意 k (k ? 2) 个互不相同的正整数 r1 , r2 , ?, rk ,均有
f (m) ? f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) .

三、 (本题满分 50 分)设 a1 , a 2 , ? , a n (n ? 4) 是给定的正实数, a1 ? a 2 ? ? ? a n .对任意正实

数 r ,满足

a j ? ai ak ? a j

? r (1 ? i ? j ? k ? n) 的三元数组 (i, j, k ) 的个数记为 f n (r ) .

证明: f n (r ) ?

n2 . 4

四、 (本题满分 50 分) 设 A 是一个 3? 9 的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数. 称 A 中的一个 m ? n (1 ? m ? 3, 1 ? n ? 9) 方格表为“好矩形” ,若它的所有数的和为 10 的倍数.称 A 中的一个 1?1 的小方格为“坏格” ,若它不包含于任何一个“好矩形” .求 A 中“坏格”个数 的最大值.

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双曲线
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抛物线
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直线与圆锥曲线的位置关系
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轨迹与轨迹方程的求法
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定点、定值、最值和参变量范围问题
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