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高二数学必修5模块测试题 (1)


高二数学必修 5 模块测试题
(时间:120 分钟 分值:150 分)

一.选择题(共 10 题,每题 5 分,共计 50 分)
2 1.已知数列 2, 5, 2, 11 , ? , 则 2 5 是这个数列的(



A.第六项 2. x ?
4 x

B.第七项

C.第八项 ) C. 4

D.第九项

( x ? 0 ) 的最小值是(

A.2

B. 2 2

D.8 )

{ 3. a n } 是首项 a 1 ? 1 , 公差 d ? 3 的等差数列, 如果 a n ? 2005 , 则序号 n 等于 ( A.667 B.668 C.669 D.670

4.已知 △ A B C 中, a ? A. 1 3 5 ?
1 a 1 b

2

, b ? 3 , B ? 60 ? ,那么角 A 等于( C. 4 5 ?
1 a



B. 90 ?
1 a?b

D. 30 ? ) D. ? a ? )
?b

5.设 a ? b ? 0 ,则下列不等式中不成立的是( A.
?

B.

?

C. a ? ? b

6.在等比数列 ? a n ? 中,若 a n ? 0 且 a 3 a 7 ? 6 4 , a 5 的值为( A.2 B.4 C.6 D.8

7.在 △ A B C 中,角 C 为最大角,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 0 ,则 △ A B C 是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形



D.形状不确定 )

6 8. 点(3, 1) 和点 ( ? 4,) 在直线 3 x ? 2 y ? a ? 0 两侧,则 a 的范围是(

A. a ? ? 7 或 a ? 2 4

B. ? 24 ? a ? 7

C. a ? ? 7 或 a ? 2 4 )
? bc

D. ? 7 ? a ? 24

9.四个不相等的正数 a,b,c,d 成等差数列,则( A.
a? d 2 ? bc

B.

a?d 2

?

bc
an ?

C.
3

a? d 2
*

D.

a?d 2

?

bc

10.已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 0 , a n ? 1 ?

3a n ? 1

(n ? N )

,则 a 20 =(
3 2



A. ? 3

B.0

C. 3

D.

二.填空题(共 4 题,每题 5 分,共计 20 分)

11.不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为
? x ? y ≥ 2, ? 12.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ≤ 2, 则 z ? 2 x ? y ? 0 ≤ y ≤ 3, ?



的最大值是_______

13.已知 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x 14.

?4

y

的最小值为 , an ?
1 2


a n ?1

若 数 列 ?a n ? 满 足 : a 1 ? 1 .

, n

=1,2,3, … . 则

a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

三.解答题(共 6 题,总分为 80 分)
15.(本小题满分 14 分)等差数列 { a n } 的前 n 项和记为 S n ,已知 a 10 ? 30 , a 20 ? 50 . (1)求数列 { a n } 的通项 a n ; (2)若 S n ? 242 ,求 n ; (3)令 b n ? 2 a
n

? 10

,求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .

16. (本小题满分 12 分)若不等式 ( a ? 2 ) x 2 ? 2 ( a ? 2 ) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,试 确定实数 a 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分)如图,测量河对岸的塔高 A B 时,可以选与塔底 B 在同一水平 面内的两个测点 C 与 D . 现测得 ? B C D ? ? , ? B D C ? ? , C D ? s , 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 A B .

18. (本小题满分 14 分)已知 △ A B C 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 A B 的长; (II)若 △ A B C 的面积为 sin C ,求角 C 的度数.
6 1

19 . 本 小 题 满 分 14 分 ) 运 货 卡 车 以 每 小 时 x 千 米 的 速 度 匀 速 行 驶 130 千 米 (
( 5 0? x ? 100)
(2 ? x
2

(单位:千米/小时) .假设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油 14 元.

) 升,司机的工资是每小时

360

(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.

20. (本小题满分 14 分)设 { a n } 是等差数列, {b n } 是各项都为正数的等比数列,且
a1 ? b1 ? 1 , a 3 ? b5 ? 2 1 , a 5 ? b3 ? 1 3

(Ⅰ)求 { a n } , {b n } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?
? an ? ? ? bn ?

的前 n 项和 S n .

高二必修 5 模块测试题答案
一.选择题(共 10 题,每题 5 分,总分 50 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 C 5 B 6 D 7 B 8 D 9 B 10 A

二.填空题(共 4 题,每题 5 分) 11. ?x | x ? 3或 x ? ? 1? 12.7
13. 2 2 14. 2 ? 1
n

三.解答题(共 6 大题,共 80 分) 15.(本小题满分 14 分)解: (1)由 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d , a 10 ? 30 , a 20 ? 50 ,得方程组
? a 1 ? 9 d ? 30 ? ? a 1 ? 19 d ? 50



……………2 分 ……………4 分 ……………5 分 ……………7 分

解得 a 1 ? 12 , d ? 2 .

? a n ? 12 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 10 .

(2)由 S n ? na 1 ? 得方程 12 n ?
2

n ( n ? 1) 2

d , S n ? 242

n ( n ? 1)

? 2 ? 242

…………8 分 …………… 10 分
? 2
2n

解得 n ? 11 或 n ? ? 22 (舍去) (3)由(1)得 b n ? 2 a
? b n ?1 bn ? 4
n ?1 n
n

? 10

? 2

2 n ? 10 ? 10

? 4

n

,………11 分

? 4

4

? { b n } 是首项是

4,公比 q ? 4 的等比数列。………12 分
n

? 数列 { b n } 的前 n

项和 T n ?

4 ? (1 ? 4 ) 1? 4

?

4 3

( 4 ? 1) .…………14
n



16.(本小题满分 12 分)解: 当 a ? 2 时,原不等式变形为 ? 4 ? 0 ,恒成立, 即 a ? 2 满足条件; ……………………3 分 当 a ? 2 时,要使不等式 ( a ? 2 ) x 2 ? 2 ( a ? 2 ) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立, 必 须
a?2? 0

? ? 4(a ? 2) ? 4 ? 4(a ? 2) ? 0
2

…………………9 分

a ? 2 ?2? a ? 2

,解得, ? 2 ? a ? 2 .

…………………11 分

综上所述, a 的取值范围是 ? 2 ? a ? 2 .………………12 分 17. (本小题满分 12 分)解:在 △ B C D 中, ? C B D ? π ? ? ? ? . 由正弦定理得 所以 BC ?
BC sin ? B D C ? CD sin ? C B D
s ? sin ? sin( ? ? ? )

…………2 分

. .

……………6 分 ………………9 分

CD sin ? BDC sin ? CBD

?

在 R t△ A B C 中,

AB ? BC tan ? ACB ?

s ? tan ? sin ? sin( ? ? ? )

……………11 分

答:塔高 AB 为

s ? tan ? sin ? sin( ? ? ? )

.…………12 分

18. (本小题满分 14 分)解: (I)由题意及正弦定理,得 A B ? B C ? A C ? 2 ? 1
BC ? AC ? 2 AB

①,

②, ……………………4 分 ………………………6 分
1 1 6
2

两式相减,得 A B ? 1 .
2

(II)由 △ A B C 的面积 BC ? AC ? sin C ? 由余弦定理,得 cos C ?
AC ? BC
2

sin C

,得 BC ? AC ?

1 3

,…………8 分

? AB

2

2 AC ? BC
2

…………………10 分
2

?

( AC ? BC ) ? 2 AC ? BC ? AB 2 AC ? BC

?

1 2

………………12 分

所以 C ? 60 ? .

……………14 分
(h)

19. (本小题满分 14 分)解: (1)设行车所用时间为 t ? 130
x
y ? 130 x ? 2 ? (2 ? x
2

,

………1 分

)?

14 ? 130 x

, x ? [5 0,1 0 0 ]

………5 分

360

所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是
y ? 130 ? 18 x ? 2 ? 130 360 x, x ? [5 0 ,1 0 0 ]

(或: y ?

2340 x

?

13 18

x,

x ? [5 0 ,1 0 0 ]

)…7 分

(2) y ? 1 3 0 ? 1 8 ?
x

2 ? 130 360

x ? 26 10

………10 分 ………12 分
10

仅当 1 3 0 ? 1 8
x

?

2 ? 130 360

x,即 x ? 18 10

时,上述不等式中等号成立

答:当 x ? 1 8

10

时,这次行车的总费用最低,最低费用为 2 6

元………14 分

20. (本小题满分 14 分) (Ⅰ) ? a n ? 的公差为 d , b n ? 的公比为 q , 解: 设 则依题意有 q ? 0 ?
?1 ? 2 d ? q 4 ? 2 1, ? 且? 2 ?1 ? 4 d ? q ? 1 3, ?



…………4 分

所以…………2 分 解得 d ? 2 , q ? 2 .
bn ? q
n ?1

a n ? 1 ? ( n ? 1) d ? 2 n ? 1 ,

……………6 分

? 2

n ?1

. .

……………8 分 ……………9 分
2n ? 3 2 2n ? 3 2 2 2
n?3 n?2

(Ⅱ)
Sn ? 1 ?

an bn

?

2n ? 1 2
n ?1

3 2
1

?

5 2 5
2

?? ? ?? ?

? ?

2n ? 1 2 2n ? 1 2
n?2 n ?1

,① ,②
2
n?2

2Sn ? 2 ? 3 ?

2

②-①得 S n ? 2 ? 2 ?

?

2 2
2

?? ? 2

?

2n ? 1 2
n ?1



……………12 分

1 1 1 ? 2n ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? ? n ?1 2 2 2 2 ? ?

1? ? 2 ? 2? 2 1?

1
n ?1

1 2

?

2n ? 1 2
n ?1

? 6?

2n ? 3 2
n ?1



…………………14 分



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