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2014世纪金榜课时提升作业(五) 第二章 第二节


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课时提升作业(五)
一、填空题 1.(2013·宿迁模拟)函数 y=log2(2x-x2)的单调增区间为___________. 2.函数 f(x)=|x|和 g(x)=x(2-x)的单调增区间依次是______

_____. 3.给定函数① y ? x 2, ② y ? log 1 ? x ? 1?, ③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上
2

1

是单调减函数的序号是___________. 4.函数 f ? x ? ? x ? x 2 的单调增区间为___________.
x ? ?e ? k, x ? 0, 5.(2013·南京模拟)已知函数 f ? x ? ? ? 是 R 上的单调增函数,则实 ? ??1 ? k ? x ? k, x>0

数 k 的取值范围是___________. 6.(2013·南通模拟)已知函数 f(x)=log5(x2-ax-1)在区间(1,+∞)上为单调增函 数,则 a 的取值范围是_______________.
x ? ? 2 ? a, x>2, 7.设函数 f ? x ? ? ? 若 f(x)的值域为 R, 则常数 a 的取值范围是________. 2 ? ? x ? a , x ? 2.

8.(能力挑战题)如图所示,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,2), 且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1,x2,其中-2<x1<-1,0<x2<1.下列结论: ①4a-2b+c<0; ②2a-b<0; ③a<-1; ④b2+8a>4ac. 其中正确结论的序号是____________.

-1-

9.函数 y=-(x-3)|x|的单调增区间是___________. 10.对于任意实数 a,b,定义 min{a,b}=?
?a,a ? b, 设函数 f(x)=-x+3, ?b,a>b.

g(x)=log2x,则函数 h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是___________. 11.设函数 f ? x ? ? ?
?? x ? a, x<1,
x ?2 , x ? 1

的最小值为 2,则实数 a 的取值范围是___________.

12.(能力挑战题)若函数 f(x)=|logax|(0<a<1)在区间(a,3a-1)上单调递减,则 实数 a 的取值范围是______________. 二、解答题 13.已知 f ? x ?=
x (x ? a). x ?a

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)上单调递增. (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求 a 的取值范围. 14.(2013·徐州模拟)若函数 f(x)为定义域 D 上的单调函数,且存在区间 [a,b]?D,(其中 a<b),使当 x∈[a,b]时,f(x)的取值范围为[a,b] , 则称函数 f(x)是 D 上的正函数,区间[a,b]叫做等域区间. (1)已知 f ? x ? ? x 是[0,+∞)上的正函数,求 f(x)的等域区间. (2)试探究是否存在实数 m,使得函数 g(x)=x2+m 是(-∞,0)上的正函数?若存 在,请求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

-2-

答案解析
1.【解析】由 2x-x2>0,得 0<x<2. 函数 y=2x-x2 在(0,2)上的单调增区间为(0,1]. 即为所求区间. 答案:(0,1] 2.【解析】 f ? x ? ? x ? ?
? x,x ? 0, ?? x,x<0,

?函数 f(x)的递增区间是[0,+≦), g(x)=x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1, 对称轴是直线 x=1,a=-1<0. ?函数 g(x)的单调递增区间为(-≦,1]. 答案: [0,+≦),(-≦,1] 3.【解析】① y ? x 2 在 x>0 时是单调增函数, ② y ? log 1 ? x ? 1? 在 x>-1 时是单调减函数.
2

1

③y=|x-1|在 x∈(0,1)时是单调减函数. ④y=2x+1 在 x∈R 上是单调增函数. 答案:②③ 4.【解析】由 x-x2≥0 得 0≤x≤1,即函数 f(x)的定义域为[0,1] ,设 t=x-x2, 则 t ? ?x 2 ? x ? ?(x ? )2 ? , 从而 t 在 上是单调增函数,在 上是单调减函 [ ,1] [0, ] 数,又 y ? t 在[0,+≦)上是单调增函数,故函数 f ? x ? ? x ? x 2 的单调增区间为
1 [0, ] . 2

1 2

1 4

1 2

1 2

答案: [0, ] 【误区警示】本题求解时易忽视 x-x2≥0 而导致错误.
-3-

1 2

5.【解析】由题意: ? 答案: [ , 1)
1 2

?1 ? k>0, 1 ? ? k<1. 2 ?1 ? k ? k,

?a ? 1, 6.【解析】由 ? 解得 a≤0. ?2 ? ?1 ? a ? 1 ? 0,

答案:(-≦,0] 7.【解析】当 x>2 时,f(x)>4+a,当 x≤2 时,f(x)≤2+a2,由题意知 2+a2≥4+a, 解得 a≥2 或 a≤-1. 答案:(-≦,-1]∪[2,+≦) 8.【解析】由图知:抛物线的开口向下,则 a<0;抛物线的对称轴 x ? ? 且 c>0. ①由图可得:当 x=-2 时,y<0,即 4a-2b+c<0,故①正确; ②已知 x ? ?
b 且 a<0,所以 2a-b<0,故②正确; > ? 1, 2a b > ? 1, 2a

③已知抛物线经过(-1,2),即 a-b+c=2(ⅰ),由图知:当 x=1 时,y<0, 即 a+b+c<0(ⅱ),由①知:4a-2b+c<0(ⅲ);联立(ⅰ)(ⅱ),得:a+c<1;联 立(ⅰ)(ⅲ)得:2a-c<-4;故 3a<-3,即 a<-1;所以③正确; ④由于抛物线的对称轴大于-1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于 2,即:
4ac ? b 2 2 2 >2, 由于 a<0,所以 4ac-b <8a,即 b +8a>4ac,故④正确, 4a

因此正确的结论是①②③④. 答案:①②③④
2 ? ? ? x +3x,x ? 0, 9.【解析】 y= ? ? x ? 3? x = ? 2 ? ? x ? 3x,x ? 0.

作出该函数的图象,观察图象知增区间为 [0,] .
-4-

3 2

答案: [0, ] 10.【解析】 依题意,h ? x ?=?
0<x ? 2, ?log 2 x, 当 0<x≤2 时,h(x)=log2x 是增函数; ?? x+3,x>2.

3 2

当 x>2 时,h(x)=3-x 是减函数, ?h(x)=min{f(x),g(x)}在 x=2 时,取得最大值 h(2)=1. 答案:1 11.【解析】当 x≥1 时,f(x)≥2,当 x<1 时,f(x)>a-1,由题意知,a-1≥2, ?a≥3. 答案:[3,+≦) 12.【思路点拨】画出函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的图象,确定其单调区间,再列 不等式求解. 【解析】作出 f(x)的图象,由图象可知 f(x)=|logax|在(0,1]上递减,在 (1,+≦)上递增,所以 0<a<3a-1≤1,解得 ? a ? , 此即为 a 的取值范围. 答案: ( , ] 13.【解析】(1)任设 x1<x2<-2, 则 f ? x 1 ? ? f ? x 2 ?=
2 ? x1 ? x 2 ? x1 x ? 2 ? . x1+2 x 2+2 (x1+2)(x 2+2)

1 2

2 3

1 2 2 3

≧(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,
-5-

?f(x1)<f(x2), ?f(x)在(-≦,-2)上单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则
f ? x1 ?-f ? x 2 ?= x1 x a(x 2-x1 ) - 2 = . x1 ? a x 2-a (x1-a) ? x 2 ? a ?

≧a>0,x2-x1>0, ?要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,?a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1] . 14.【解析】(1)≧ f ? x ? ? x 是[0,+≦)上的正函数, f ? x ? ? x 在[0,+≦)上单 调递增, ?当 x∈[a,b]时, ? ?
?f ? a ? ? a, ? ?f ? b ? ? b,

即? ?

? a ? a, ? ? b ? b,

解得 a=0,b=1.?函数 f(x)的等域区间为[0,1]. (2)存在.≧函数 g(x)=x2+m 是(-≦,0)上的减函数, ?当 x∈[a,b]时, ? ?
?g ? a ? ? b, ? ?g ? b ? ? a,

即?

?a 2 ? m ? b, ? 2 ? ? b ? m ? a,

两式相减得 a2-b2=b-a,?b=-(a+1). 代入 a2+m=b 中,得 a2+a+m+1=0. ≧a<b<0,且 b=-(a+1),? ?1<a< ? ,
2 故关于 a 的方程 a2+a+m+1=0 在区间 (?1, ? ) 内有实数解.令 h(a)=a +a+m+1,

1 2

1 2

?h ? ?1?>0, 3 ? 则? 解得 m∈( ?1, ? ). 1 4 ?h( ? )<0, ? 2

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