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第二章 圆锥曲线与方程单元测试B


第二章
一、选择题:

圆锥曲线与方程单元测试 B
( x ? 1) ? y
2 2

1.已知 A(-1,0),B(1,0),点 C(x,y)满足: A.6
2

x?4

?

1 2

,则 AC ? BC ? ( D.不能确定



B.4

C.2

2. 抛物线 y ? 2 px 与直线 ax ? y ? 4 ? 0 交于 A、B 两点,其中点 A 的坐标为(1,2) , 设抛物线的焦点为 F,则|FA|+|FB|等于( A.7 3.双曲线
x a
2 2



B. 3 5
? y b
2 2

C.6

D.5

? 1( a , b ? 0 ) 的左、右焦点分别为 F1、F2,过焦点 F2 且垂直于 x 轴的弦为

AB,若 ? AF 1 B ? 90 ? ,则双曲线的离心率为 ( A. 4.若椭圆
1 2

) D.
1 2

(2 ?
2 2

2)
2 2

B. 2 ? 1
x
2

C. 2 ? 1
? y
2

(2 ?

2)

x a

?

y b

? 1 ( a ? b ? 0 ) 和双曲线

m

n

? 1 ( m , n ? 0 ) 有相同的焦点 F1、F2,P 是

两曲线的交点,则 PF 1 ? PF 2 的值是( A. b ?
n
1 4 x

) C. b ? n D. a ? m
2

B.
2

a ?

m

5.已知 F 是抛物线 y = A. x 2 = 2 y -1

的焦点, 是该抛物线上的动点, P 则线段 PF 中点的轨迹方程是 ( )
1 16

B. x 2 = 2 y -

C. x 2 = y -

1 2

D. x 2 = 2 y - 2

6. 给出下列结论,其中正确的是 ( ) A.渐近线方程为 y ? ? B.抛物线 y ? ?
1 2
b a x ? a ? 0 , b ? 0 ? 的双曲线的标准方程一定是

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

x 的准线方程是 x ?
2

1 2

C.等轴双曲线的离心率是 2
x m
2

2 2

D.椭圆

?

y n
2

2 2

? 1? m ? 0 , n ? 0 ? 的焦点坐标是 F1 ?

?

m

2

? n ,0 , F 2
2

? ?

m

2

? n ,0
2

?

7.已知圆 x ? y ? 6 x ? 7 ? 0 与抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的准线相切,则 p 为( )
2

A、1

B、2

C、3

D、4
P

8. 一 个 椭 圆 中 心 在 原 点 , 焦 点 F1 , F 2 在 x 轴 上 ,
第 1 页 共 6 页

(2,

3 )是椭圆上一点,且

| P F1 | 、 F1 F 2 | 、 P F 2 | 成等差数列,则椭圆方程为 | |
x
2

( )
x
2

A.

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

?

y

2

?1

8

6 x
2

16 y k
B .( ? 1 2, 0 )
2

6

8

4

16

4

2

9.双曲线

?

? 1 的离心率 e ? (1, 2 ) ,则 k 的取值范围是(



4
A .( ? ? , 0 )

C .( ? 3, 0 )
2

D .( ? 6 0, ? 1 2 )

10. 方程 mx ? ny 是( )

? 0 与 mx

? ny

2

? 1 ( m ? n ? 0 ) 的曲线在同一坐标系中的示意图应

B A 二、填空题: 11. F1 , F 2 是椭圆 是
x
2 2

B

C

D

4

? y ? 1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上运动,则 | P F1 |?| P F 2 | 的最大值


2

12.已知抛物线 y ? a x ? 1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的 三角形面积为 .
7 18

13.在△ABC 中,AB=BC, c o s B ? ? 离心率 e= .
2

.若以 A、B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的

14.已知 F 是抛物线 C : y ? 4 x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A, B 两点.设
FA ? FB

,则

FA



FB

的比值等于
1 2



三、解答题: 15.(1)已知双曲线的渐近线方程为 y ? ?
18 5 5

x ,焦距为 10,求双曲线的标准方程。

(2)已知两准线间的距离为

,焦距为 2 5 ,求椭圆的标准方程。

第 2 页 共 6 页

16.已知抛物线 y ? 2 x ,过点 Q ( 2,1) 作一条直线交抛物线于 A、B 两点,试求弦
2

AB 的中点的轨迹方程。

17.已知 F (1, 0 ) 是中心在原点的椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的一个焦点,P 是椭圆上的点. 定点

m

8

A ( 2 , 1)在椭圆内,求: (1)|PA|+|PF|的最小值; (2)|PA|+3|PF|的最小值。

18.直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3 x ? y ? 1 相交于 A、B 两点,是否存在实数 a 使 A、B 两点关
2 2

于直线 y ? 2 x 对称?若存在,求出实数 a ;若不存在,说明理由。

第 3 页 共 6 页

19.已知圆锥曲线 C 经过定点 P(3, 2 3 ) ,它的一个焦点为 F(1,0) ,对应于该焦点的 准线为 x=-1,斜率为 2 的直线 ? 交圆锥曲线 C 于 A、B 两点,且 |AB|= 3 5 ,求圆锥 曲线 C 和直线 ? 的方程。

20.如图,在 Rt△ABC 中,∠CAB= 90 ,AB=2,AC=

?

2 2

. 一曲线 E 过点 C,动点 P 在曲

线 E 上运动,且保持 PA ? PB 的值不变,直线 m⊥AB 于 O,AO=BO. (1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程; (2)设 D 为直线 m 上一点, OD ? AC ,过点 D 引 直线 l 交曲线 E 于 M、N 两点,且保持直线 l 与 AB 成 45 角,求四边形 MANB 的面积. A O m B
?

C

第 4 页 共 6 页

参考答案
一、选择题: 1—5:BACDA 二、填空题: 6—10:CBABA

3

11. 4 三、解答题: 15. (1)
x
2

12. 2

13. 8

14. 3 ? 2 2

?

y

2

? 1或

y

2

?

x

2

?1

20 x
2

5 y
2

5 x
2

20 y
2

(2)

?

? 1或

?

?1

9

4

4

9

16.

(y ?

1 2

) ? x?
2

7 4

17. (1) 6 ? 1 0 ; (2)7 18. 解:满足条件的 a 不存在。 假设存在实数 a 使 A,B 关于直线 y=2x 对称,设 A,B 的坐标为(x1,y1)、 2,y2 ) (x , 即 y1+y2=2(x1+x2) 又 y1=ax1+1, y2=ax2+1 故 y1+y2=a(x1+x2)+2 所以 a(x1+x2)+2= 2(x1+x2) 即(2-a)(x1+x2)= 2 ① 将 y=ax+1 代入双曲线方程 3x2-y2=1,得 (3 ? a ) x ? 2 a x ? 2 ? 0
2 2

点 A,B 的横坐标即这个方程的两实根,由韦达定理有 x1 ? x 2 ? 由①②得 ( 2 ? a ) ? 显然直线 y ?
3 2 2a 3?a
2

2a 3?a
2



? 2 ? a ?

3 2

x ? 1与 y ? 2 x 不垂直,故满足条件的实数 a 不存在。 PF d ? 4 4 ?1

19. 解:设圆锥曲线 C 的离心率为 e, P 到 ? 的距离为 d,则 e= ∴圆锥曲线 C 是抛物线 ∵
P 2 ?1

∴P=2

∴抛物线方程为 y2=4x 设 ? 的方程为 y=2x+b,A(x1y1),B(x2,y2) 由 y=2x+b y2=4x 消去 y,整理得:4x2+4(b-1)x+b2=0 则 x1+x2=-(b-1) x1x2=
b
2

4
第 5 页 共 6 页

∴|AB|= (1 ? k )[( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ] ?
2 2

5 (1 ? 2 b )

又∵|AB|= 3 5 ∴1-2b=9, ∴b=-4 故直线 ? 的方程为 y=2x-4 综上所述:圆锥曲线 C 的方程为 y2=4x,直线 ? 的方程为 y=2x-4 20. 解: (1)以 AB、m 所在直线分别为 x 轴、y 轴,O 为原点建立直角坐标系.
? PA ? PB ? CA ? CB ? 2 2 ? 2
2

? 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

2

?

2 2

?

3 2 2

? 2

2

∴动点的轨迹是椭圆,设其半长轴、半短轴长分别为 a、b,半焦距为 c,则
a ? 2 , c ? 1, b ?
x
2

a

2

?c

2

?1

y C A N O M D B

∴曲线 E 方程为

? y

2

?1

2
? 2 ? ?, (2)由题设知, D ? 0 , ? 2 ? ? ?

x

? 由 直 线 l 与 AB 成 45 角 , 可 设 直 线 方 程 为 y ? x ?

2 2

,代入椭圆方程整理得

3x

2

? 2 2x ?1 ? 0

设 M ? x 1 , y 1 ?, N ? x 2 , y 2 ? ,

? 2 2 , ? x1 ? x 2 ? ? ? 3 则? ?x ? x ? ? 1 2 ? 1 3 ?
1 2 AB ? y 1 ? y 2

所 以 , 四 边 形 MANB 的 面 积 S ?

?

1

? 2 ? ? ? ? ? x2 ? ? 2 ? x1 ? ? 2 2 ? ? ? ? ?

2 ? ? 2 ? ?

? x1 ? x 2 ?
? 2 2 ?? ? 3 ?
2

? x1

? x 2 ? ? 4 x1 x 2
2

=

? 2 5 ? 1? ? ? 4? ? ? ? ? 3 ? 3? ?

第 6 页 共 6 页


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