tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

韦达定理讲解


韦达定理
执教者:虞申君

一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式:
2 ? b ? b ? 4ac 2a

X1,2=

解下列方程并完成填空: (1)x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 两根 x1 x2 4 -4
1 2

(3) 2

x2+3x-2=0 两根和 两根积 X1+x2 x 1x 2 12 7 -3 -4

方程
x2-7x+12=0 x2+3x-4=0
2x2+3x-2=0

3
1

-2

-

3 2

-1

一元二次方程的根与系数的关系: (韦达定理) 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 , 那么X1+x2=
-

b a

c , X1x2= a

注:能用韦达定理的前提条件为△≥0

韦达(1540-1603)

韦达定理的证明:

? b ? b 2 ? 4ac x1 ? 2a
X1+x2=

? b ? b 2 ? 4ac x2 ? 2a

b ? 2b = = 2a a
X 1 x 2=

? b ? b 2 ? 4ac 2a

+

? b ? b 2 ? 4ac 2a

? b ? b 2 ? 4ac 2a



? b ? b 2 ? 4ac 2a
4ac 4a 2

=

(?b) 2 ? ( b 2 ? 4ac) 2 4a 2

=

c = a

如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ,X2,那么X1+X2= -P , X1X2= q

说出下列各方程的两根之和与两根之积: 1、 x2 - 2x - 1=0 2、 2x2 1 3x + 2 =0

x1+x2=2
3 x1+x2= 2

x1x2=-1
1 x 1 x 2= 4

3、 2x2 - 6x =0
4、 3x2 =4

x1+x2=3
x1+x2=0

x1x2=0
4 x1x2= 3

例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 求: (1) 1 ? 1 (2) x 2+x 2
x1 x2



1

2

解:由题意可知x1+x2= (1)
1 x 1 ? 1 x 2

2 3

, x1 ·x2=-3
? 2 3 ?3

=

x1 ? x 2 x1 x 2

=

=

2 9

(2)∵ (x1+x2)2= x12+x22 +2x1x2 ∴x12+x22

=(x1+x2)2

-2x x

4 2 2 1 2 =(- 3 ) -2×(-3)=6 9

例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解:设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程,得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程,得 k= - 2 由韦达定理,得x1●2=3k 即2 x1 =-6 ∴ x1 =-3 答:方程的另一个根是-3 , k的值是-2。

例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解二: 设方程的另一个根为x1. x1 +2= k+1 由韦达定理,得 x1 ●2= 3k

解这方程组,得

x1 =-3 k =-2

答:方程的另一个根是-3 , k的值是-2。

已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根, 分别根据下列条件求出p和q的值: (1) x1 = 1, x2 =2 (3) x1 = 7

(2) x1 = 3, x2 = -6
7

, x2 =

(4) x1 = -2+ 5 , x2 = -2- 5
q 3

解: 由韦达定理,得

∴p= -3(x1+x2)
(1)p= -9 (2)p= 9 (3)p= 0 (4)p= 12 q= 6

x1+x2p= - , 3 x · q=3 x1 ·x2 1 x2=

q= -54 q= -21 q= -3

1、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值。

解:设方程的另一个根为x1, 19 16 则x1+1= 3 , ∴ x1= 3 , 又x1 1=


m 3

,

∴ m= 3x1 = 16 x1+x2= - 2 , x1 ·x2= ? 3

2、设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,求(x1+1)(x2+1)的值。

由韦达定理,得 解:

∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1

2 =-2+( ? 3 2

)+1=

?

5 2

1、韦达定理及其推论
2、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时,注意两个隐含条件: (1)二次项系数a≠0 (2)根的判别式△ ≥0

1、当k为何值时,方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解:设方程两根分别为x1,x2(x1>x2),则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由韦达定理得x1+x2= ∴(

解得k1=9,k2= -3

k ?1 2 k ?3 ) ?4 ?1 2 2

k ?1 2

,

k ?3 x1x2= 2

当k=9或-3时,由于△≥0,∴k的值为9或-3。

2、设x1,x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根,且 x12+x22=4,求k的值。
解:由方程有两个实数根,得

? ? 4(k ? 1) 2 ? 4k 2 ? 0

即-8k+4≥0

?k ?

由韦达定理得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4,得2k2-8k+4=4

1 2

解得k1=0 , k2=4

经检验, k2=4不合题意,舍去。 ∴ k=0


推荐相关:

浅谈韦达定理的应用

但是,如果学生能理解并且应用韦达定理的话,此题的解题思路就会显而易见,并能简化解题过程。所以, 我认为借助几种典型的题型来讲解和归纳韦达定理的重要性,是很有...


韦达定理及其应用

韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学 竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1.求代数式的值 应用韦达定理...


韦达定理经典例题

韦达定理经典例题_初三数学_数学_初中教育_教育专区。一元二次方程根与系数的关系培优训练 例 1.已知 x1 、x2 是关于 x 的一元二次方程 4x 2 ? 4(m ? ...


第3讲韦达定理

小班辅导讲义学生: 科目: 第 阶段第 次课 教师:课题 一元二次方程与韦达定理 1、理解并掌握一元二次方程根的判别式 2、理解并掌握根与系数的关系(韦达定理)...


韦达定理的应用讲义

韦达定理的应用讲义_初二数学_数学_初中教育_教育专区。一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 复习引入 填写下列表格 x1...


第三讲 韦达定理

第三讲一、 韦达定理 学习目标:熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系(通常称...二、 题型讲解 2 例 1:已知方程 2x ? 2 x ? 1 ? 0 的两根为 ? 、 ...


解析大题(不用韦达定理)

解析大题(不用韦达定理)_数学_高中教育_教育专区。不用韦达定理的解析几何题,近几年的热点解析几何中不用韦达定理试题 1、 【2015 年海淀二模】已知椭圆 C : ...


数学里的韦达定理

数学里的韦达定理_数学_初中教育_教育专区。很多人都知道数学里的韦达定理,但都不知道有多重要韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在中学数学教学和中考...


韦达定理及其运算

韦达定理及其运算_数学_自然科学_专业资料。一元二次方程 ax^2+bx+c (a 不为 0)中 设两个根为 x 和 y 则 x+y=-b/a xy=c/a 韦达定理在更高次方...


韦达定理(常见经典题型)

3、韦达定理 2 成都戴是中考高考学校峨眉校区 初三 周老师 一、 一元二次方程的基本概念及解法 1、已知关于 x 的方程 x 2+bx+a=0 有一个根是-a(a≠0...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com