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韦达定理讲解


韦达定理
执教者:虞申君

一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式:
2 ? b ? b ? 4ac 2a

X1,2=

解下列方程并完成填空: (1)x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 两根 x1 x2 4 -4
1 2

(3) 2

x2+3x-2=0 两根和 两根积 X1+x2 x 1x 2 12 7 -3 -4

方程
x2-7x+12=0 x2+3x-4=0
2x2+3x-2=0

3
1

-2

-

3 2

-1

一元二次方程的根与系数的关系: (韦达定理) 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 , 那么X1+x2=
-

b a

c , X1x2= a

注:能用韦达定理的前提条件为△≥0

韦达(1540-1603)

韦达定理的证明:

? b ? b 2 ? 4ac x1 ? 2a
X1+x2=

? b ? b 2 ? 4ac x2 ? 2a

b ? 2b = = 2a a
X 1 x 2=

? b ? b 2 ? 4ac 2a

+

? b ? b 2 ? 4ac 2a

? b ? b 2 ? 4ac 2a



? b ? b 2 ? 4ac 2a
4ac 4a 2

=

(?b) 2 ? ( b 2 ? 4ac) 2 4a 2

=

c = a

如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ,X2,那么X1+X2= -P , X1X2= q

说出下列各方程的两根之和与两根之积: 1、 x2 - 2x - 1=0 2、 2x2 1 3x + 2 =0

x1+x2=2
3 x1+x2= 2

x1x2=-1
1 x 1 x 2= 4

3、 2x2 - 6x =0
4、 3x2 =4

x1+x2=3
x1+x2=0

x1x2=0
4 x1x2= 3

例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 求: (1) 1 ? 1 (2) x 2+x 2
x1 x2



1

2

解:由题意可知x1+x2= (1)
1 x 1 ? 1 x 2

2 3

, x1 ·x2=-3
? 2 3 ?3

=

x1 ? x 2 x1 x 2

=

=

2 9

(2)∵ (x1+x2)2= x12+x22 +2x1x2 ∴x12+x22

=(x1+x2)2

-2x x

4 2 2 1 2 =(- 3 ) -2×(-3)=6 9

例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解:设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程,得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程,得 k= - 2 由韦达定理,得x1●2=3k 即2 x1 =-6 ∴ x1 =-3 答:方程的另一个根是-3 , k的值是-2。

例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解二: 设方程的另一个根为x1. x1 +2= k+1 由韦达定理,得 x1 ●2= 3k

解这方程组,得

x1 =-3 k =-2

答:方程的另一个根是-3 , k的值是-2。

已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根, 分别根据下列条件求出p和q的值: (1) x1 = 1, x2 =2 (3) x1 = 7

(2) x1 = 3, x2 = -6
7

, x2 =

(4) x1 = -2+ 5 , x2 = -2- 5
q 3

解: 由韦达定理,得

∴p= -3(x1+x2)
(1)p= -9 (2)p= 9 (3)p= 0 (4)p= 12 q= 6

x1+x2p= - , 3 x · q=3 x1 ·x2 1 x2=

q= -54 q= -21 q= -3

1、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值。

解:设方程的另一个根为x1, 19 16 则x1+1= 3 , ∴ x1= 3 , 又x1 1=


m 3

,

∴ m= 3x1 = 16 x1+x2= - 2 , x1 ·x2= ? 3

2、设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,求(x1+1)(x2+1)的值。

由韦达定理,得 解:

∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1

2 =-2+( ? 3 2

)+1=

?

5 2

1、韦达定理及其推论
2、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时,注意两个隐含条件: (1)二次项系数a≠0 (2)根的判别式△ ≥0

1、当k为何值时,方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解:设方程两根分别为x1,x2(x1>x2),则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由韦达定理得x1+x2= ∴(

解得k1=9,k2= -3

k ?1 2 k ?3 ) ?4 ?1 2 2

k ?1 2

,

k ?3 x1x2= 2

当k=9或-3时,由于△≥0,∴k的值为9或-3。

2、设x1,x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根,且 x12+x22=4,求k的值。
解:由方程有两个实数根,得

? ? 4(k ? 1) 2 ? 4k 2 ? 0

即-8k+4≥0

?k ?

由韦达定理得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4,得2k2-8k+4=4

1 2

解得k1=0 , k2=4

经检验, k2=4不合题意,舍去。 ∴ k=0


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