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第11单元·


排列组合与二项式定理(高考+模拟)

姓名


m n 1、设 m、n 都是不大于 6 的自然数,则方程 C6 x 2 ? C6 y 2 ? 1表示双曲线的个数是(

A.6 2、 2 ? x A.-1

B.12
8
4

C.16

r />D.15 ( D.2 )

?

? 展开式中不含 x 项的系数的和为 ..
B.0 C.1

3、将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张,其中 标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 A.12 种
3

( D.54 种



B.18 种
4 2004

C.36 种
3

4、在(1+x) +(1+x) +…+(1+x) A.C 4 2004 B.C 4 2005

的展开式中 x 的系数等于 C.2C 3 2004 D.2C 3 2005





5、某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中的 甲、 乙排在相邻两天, 丙不排在 10 月 1 日, 丁不排在 10 月 7 日, 则不同的安排方案共有 ( ) A.504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D.1108 种 6、由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( ) (A)72 (B)96 (C) 108 (D)144 7、如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要求每个点涂一 种颜色,且图中每条线段的两个端点不同色,则不同的涂色方法用有 (A)288 种 (B)264 种 (C)240 种 (D)168 种( ) 8、在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信 息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置 上的数字相同的信息个数为 ( ) A.10 B.11 C.12 D.15 9、用 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字组成无重复数字的三位数中能被 9 整除的个数为( ) A.14 B.16 C.18 D.24 10、用 1,2,3 这三个数字组成四位数,规定这三个数字必须都使用,但相同的数字不能相邻, 以这样的方式组成的四位数共有 ( ) A.9个 B.18个 C.12个 D.36个 11、现有 5 位同学准备一起做一项游戏,他们的身高各不相同。现在要从他们 5 个人当中选择 出若干人组成 A, B 两个小组,每个小组都至少有 1 人,并且要求 B 组中最矮的那个同学的 身高要比 A 组中最高的那个同学还要高。则不同的选法共有 A. 50种 B. 49种 C. 48种 D. 47种 ( )

12、2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排.若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位 女生相邻, 则不同排法的种数为 ( ) A.36 B.42 C. 48 D.60 13、设集合 A={0,2,4}、B={1,3,5},分别从 A、B 中任取 2 个元素组成无 重复 数字的四位数,

其中能被 5 整除的数共有( ) A.24 个 B.48 个 C.64 个 D.116 个 14、 为预防和控制甲流感, 某学校医务室欲将 23 支相同的温度计分发到高三年级 10 个班级中, 要求分发到每个班级的温度计不少于 2 支,则不同的分发方式共有 ( ) A、120 种 B、175 种 C、220 种 D、820 种 15、设 m、n 是正整数,整式 f ( x ) =(1-2x) +(1-5x) 中含 x 的一次项的系数为-16, 则含 x 项的系数是
2 9 2 m n

A.-13

B.6
2

C.79 +a 3 (x-1) C.255
3

D.37 (
11



16、 (x +1) x-2) =a 0 +a 1 (x-1)+ a 2 (x-1) 已知 ( a 2 +a 3 +…+ a 11 的值为 A.0 B.2

+…+a 11 (x-1) ,则 a 1 + ( )

D.-2

17、登山运动员 10 人,平均分为两组,其中熟悉道路的 4 人,每组都需要 2 人,那么不同的 分配方法种数是 A.30
2

( B.60 C.120 D.240



18、 (1 ? x ? x )( x ? ) 的展开式中的常数项为_________.
6

1 x

19、将 3 个不同的小球放入编号分别为 1,2,3,4,5,6 的盒子内,6 号盒中至少有一个球 的方法种数是 20、设 (5 x ?
3

1 n ) 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N=240,则展开 x

式中的常数项为_____. 21、如图,正五边形 ABCDE 中,若把顶点 A、B、C、D、E 染上红、黄、绿、 三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同,则不同的染色方 法共有 种.

22、由0,1,2,…,9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中,个位 数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为 个.
1 2 3 n 23、化简 Cn +2 Cn +3 Cn +…+n Cn =



24、有 A、B、C、D、E 五位学生参加网页设计比赛,决出了第一到第五的名次.A、B 两位学 生去问成绩,教师对 A 说:你的名次不知道,但肯定没得第一名;又对 B 说:你不是最后一 名. 请你分析一下, 这五位学生的名次排列共有_____________种不同的可能. (用数字作答) 25、已知等式 ( x ? 2 x ? 2) ? a0 ? a1( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) ?? ? a9 ( x ? 1) ? a10 ( x ? 1)
2 5 2 9 10



?a
n ?1

10

n

=



? na
n ?1

10

n

=

排列组合与二项式定理(高考+模拟) 答案
m n 1、 【2010·重庆高考四月试卷】设 m、n 都是不大于 6 的自然数,则方程 C6 x 2 ? C6 y 2 ? 1 表

示双曲线的个数是( A.6 B.12

) C.16 D.15

m x n 【答案】C, 【解析】? C6 共有 4 种可能,而 C6 与 C6 相互独立,故共有 4 ? 4 ? 16 种可能。

2、 【2010?江西理数】 A.-1 【答案】B B.0

? 2 ? x ? 展开式中不含 x 项的系数的和为( ..
8
4



C.1

D.2

【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质,重点考查实践意识和创新能力,体现正难则
8 反。采用赋值法,令 x=1 得:系数和为 1,减去 x 项系数 C8 20 (?1)8 ? 1 即为所求,答案为 0.
4

3、 【2010?全国卷 2 理数】将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若 每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( A.12 种 【答案】B 【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有 种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两 B.18 种 C.36 种 D.54 种 )

个有

种方法,共有
3

种,故选 B.
4 2004

4、 【2010·成都一模】在(1+x) +(1+x) +…+(1+x) A.C 4 2004 【答案】B 【解析】含 x 的系数为 C 3 +C 3 +C 3 +…+C 3 =C 4 . 2004 2005 3 4 5
3

的展开式中 x 的系数等于(

3



B.C 4 2005

C.2C 3 2004

D.2C 3 2005

5、 【2010?重庆理数】某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班, 每天 1 人, 每人值班 1 天, 若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安 排方案共有( ) A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种 【答案】C 【解析】分两类:甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 2 ? A2 A4 A4 种方法
2 1 4

甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号,共有

2 4 1 1 3 4 A2 ( A4 ? A3 A3 A3 ) 种方法

故共有 1008 种不同的排法 6、 【2010?四川理数】由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶 数的个数是( )

(A)72 (B)96 (C) 108 【答案】C 【解析】先选一个偶数字排个位,有 3 种选法

(D)144

①若 5 在十位或十万位,则 1、3 有三个位置可排,3

2 A32 A2 =24 个 2 2 A2 A2 =12 个

②若 5 排在百位、千位或万位,则 1、3 只有两个位置可排,共 3 算上个位偶数字的排法,共计 3(24+12)=108 个 7、 【2010?天津理数】 如图, 用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色, 要求每个点涂一种颜色, 且图中每条线段的两个端点 涂不同颜色,则不同的涂色方法用( ) (A)288 种 (B)264 种 (C)240 种 (D)168 种 【答案】D 【解析】 本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想, 属于 难题。 (1) B,D,E,F 用四种颜色,则有 (2) B,D,E,F 用三种颜色,则有 (3) B,D,E,F 用两种颜色,则有
4 A4 ?1?1 ? 24 种涂色方法;

3 3 A4 ? 2 ? 2 ? A4 ? 2 ?1? 2 ? 192 种涂色方法; 2 A4 ? 2 ? 2 ? 48 种涂色方法;

所以共有 24+192+48=264 种不同的涂色方法。 8、 【2010 ?湖南理数】在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示 一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应 位置上的数字相同的信息个数为( ) A.10 B.11 C.12 D.15

9、 【湖北省武汉市 2010 届高中毕业生四月调研测试】用 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字组成无

重复数字的三位数中能被 9 整除的个数为( ) A.14 B.16 C.18 D.24 【答案】B 【解析】因为三位数被 9 整除, 所以各个数位数字之和是 9 的倍数,所以分成这样几组数:{0, 3 1 2 4,5};{1,3,5};{2,3,4},所以共有:2A +C A =16。 3 2 2 10、 【湖北省襄樊五中 2010 届高三年级 5 月调研测试】用 1,2,3 这三个数字组成四位数,规 定这三个数字必须都使用,但相同的数字不能相邻,以这样的方式组成的四位数共有 ( ) A.9个 B.18个 C.12个 D.36个 【答案】B 1 2 【解析】相同的数字可以是 1,2,3 三种情况:当相同数字中间间隔一个数字时,有 C A 个 2 2 2 1 情况;相同数字中间间隔两个数字时,有 A 种情况。由分类计数原理,四位数的总数为:3C 2 2 2 2 A +3 A =18. 2 2 11、 【2010·广东省四月调研】现有 5 位同学准备一起做一项游戏,他们的身高各不相同。现 在要从他们 5 个人当中选择出若干人组成 A, B 两个小组,每个小组都至少有 1 人,并且要 求 B 组中最矮的那个同学的身高要比 A 组中最高的那个同学还要高。则不同的选法共有 A. 50种 【答案】B 【解析】 5 位同学按身高的不同由矮到高分别编号为 1, 3, 5, 给 2, 4, 组成集合 M ? ?1,2,3,4,5? 若小组 A 中最高者为 1,则能使 B 中最矮者高于 A 中最高者的小组 B 是 ?2,3,4,5? 的非空子集, 这样的子集有 C4 ? C4 ? C4 ? C4 ? 2 ?1 ? 15 个,∴不同的选法有 15 个;②若 A 中最高
1 2 3 4 4

B. 49种

C. 48种

D. 47种

者为 2,则这样的小组 A 有 2 个: ?2? 、 ?1, 2? ,能使 B 中最矮者高于 A 中最高者的小组 B 是 ?3,4,5? 的非空子集, 这样的子集(小组 B) 2 ?1 ?7 个,∴不同的选法有 2 ? 7 ? 14 有
3

个;③若 A 中最高者为 3,则这样的小组 A 有 4 个: ?3? 、 ?1,3? 、 ?2,3? 、 ?1, 2,3? ,能 使 B 中最矮者高于 A 中最高者的小组 B 是 ?4,5? 的非空子集,这样的子集(小组 B)有

22 ? 1 ? 3 个,∴不同的选法有 4 ? 3 ? 12 个;④若 A 中最高者为 4,则这样的小组 A 有 8
个: ?4? 、 ?1, 4? 、 ?2,4? 、 ?3, 4? 、 ?1,2,4? 、 ?1,3, 4? 、 ?2,3,4? 、 ?1,2,3,4? ,能使 B

中最矮者高于 A 中最高者的小组 B 只有 ?5? 1 个,∴不同的选法有 8 个。

∴综上,

所有不同的选法是 15 ? 14 ? 12 ? 8 ? 49 个,∴选 B. 12、 【2010·崇文一模】2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排.若男生甲不站两端,3 位女 生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数为 ( ) A.36 B.42 C. 48 D.60 【答案】C 【解析】不妨将 5 个位置从左到右编号为 1,2,3,4,5.于是甲只能位于 2,3,4 号位. i) 当甲位于 2 号位时,3 位女生必须分别位于 1,3,4 位或者 1,4,5 位.于是相应的排法 3 总数为 2 A3 ? 12 ; ii) 当甲位于 3 号位时,3 位女生必须分别位于 1,2,4 位或者 1,2,5 位或者 1,4,5 或 3 者 2,4,5 位.于是相应的排法总数为 4 A3 ? 24 .
3 iii) 当甲位于 4 号位时,情形与 i)相同.排法总数为 2 A3 ? 12 .

综上,知本题所有的排法数为 12+24+12=48. 13、 【2010·全国大联考高三第五次联考】设集合 A={0,2,4}、B={1,3,5},分别从 A、B 中任 取 2 个元素组成无 重复 数字的四位数,其中能被 5 整除的数共有( ) A.24 个 B.48 个 C.64 个 D.116 个 【答案】C 1 2 3 1 2 3 【解析】(1)只含 0 不含 5 的有:C C A =12;(2)只含 5 不含 0 的有:C C A =12;(3)含有 0 2 2 3 2 2 3 1 1 3 1 1 1 2 和 5 的有: 在个位时, C C A =24; 在个位时, C C A A =16。 ①0 有 ②5 有 共有 12+12+24+16=64。 2 2 3 2 2 2 2 选 C。 14、 【2010·江西赣州十一县(市)高三年级第二学期期中联考】为预防和控制甲流感,某学 校医务室欲将 23 支相同的温度计分发到高三年级 10 个班级中, 要求分发到每个班级的温度计 不少于 2 支,则不同的分发方式共有 A、120 种 B、175 种 C、220 种 D、820 种 【答案】C 【解析】先给每个班发一支温度计,剩下的 13 支要求每班至少发一支,用隔板法,在 12 个空 9 3 隙中插入 9 个板,有 C = C =220 种分发方式。 12 12 15、 【2010·浙江省六校联考】设 m、n 是正整数,整式 f ( x ) =(1-2x) +(1-5x) 中含 x 的一次项的系数为-16,则含 x 项的系数是( 【答案】D
1 1 【解析】由题意得 Cm ·(-2)+ Cn ·(-5)=-16.? 2m +5n=16.又? m、n 是正整数,
2 m n



?

2 2 m=3、n=2.? 展开式中含 x 2 项的系数是 C3 ·(-2) 2 + C2 ·(-5) 2 =12+15=37.
2 9 2

16、 【2010·浙江温州二模】 x +1) x -2) =a 0 +a 1 (x- 1)+ a 2 (x- 1) ( (

+a 3 (x- 1)

3

+…+a 11 (x-1) ,则 a 1 + a 2 +a 3 +…+ a 11 的值为( A.0 【答案】B B.2 C.255 D.-2

11



【解析】令 x=1,得 2×(-1)= a 0 ,令 x=2,得(2 +1)×0= a 0 + a 1 + a 2 +a 3 +…+ a 11 , 联立得:a 1 + a 2 +a 3 +…+ a 11 =2 17、 【2010·唐山一中期末】登山运动员 10 人,平均分为两组,其中熟悉道路的 4 人,每组都 需要 2 人,那么不同的分配方法种数是 A.30 【答案】B 【解析】先将 4 个熟悉道路的人平均分成两组有
2 2 C4 ? C2 .再将余下的 6 人平均分成两组有 2 A2

2

B.60

C.120

D.240

3 C6 ? 3 C3 1 2 .然后这四个组自由搭配还有 A2 种,故最终分配方法有 C 2 ·C 3 =60(种) . 4 6 2 2 A2

18、 【2010?辽宁理数】 (1 ? x ? x )( x ? ) 的展开式中的常数项为_________.
2 6

1 x

【命题立意】本题考查了二项展开式的通项,考查了二项式常数项的求解方法 【答案】-5
r 3 【解析】( x ? ) 的展开式的通项为 Tr ?1 ? C6 (?1)r x6?2r , r=3 时,T4 ? ?C6 ? ?20 , 当
2

1 x

4 当 r=4 时, T5 ? ?C6 ? 15 ,因此常数项为-20+15=-5

19、 【2010·浙江省杭州市第二次质检】将3个不同的小球放入编号分别为1,2,3,4,5,6 的盒子内,6号盒中至少有一个球的方法种数是 【答案】91 3 3 【解析】6 -5 =91。 20、 【2010·甘肃省第二次大联考】设 (5 x ?
3

1 n ) 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数 x

之和为 N,若 M-N=240,则展开式中的常数项为_____. 【答案】-20 【解析】 各项系数和为 (5 ? 1) , 二项式系数和为 2 , M-N=240, 由
n
n

得 n ? 4 ,解得常数项为-20. 21、 【2010·浙江六校五月联考】 如图,正五边形 ABCDE 中,若

把顶点 A、B、C、D、E 染上红、黄、绿、三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同, 则不同的染色方法共有 __种.

【答案】30 【解析】将图中五个点分成三组:AC、BD、E;AC、BE、D;AD、BE、C;AD、CE、B;BD、CE、 3 A。共五种情况,于是有 5A =30 种涂色方法。 3 22、[2010·天津市十二区县重点中学二模】由0,1,2,…,9这十个数字组成的、无重复数 字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为 个. 【答案】210 2 2 1 1 2 2 2 【解析】当个位与百位数字为 0,8 时,有 A A ;当个位与百位为 1,9 时,有 A A A 。共 A A 8 2 7 7 2 8 2 1 1 2 + A A A =210。 7 7 2
1 2 3 n 23、 【2010·河南鹤壁市第二次质检】化简 Cn +2 Cn +3 Cn +…+n Cn =



【答案】n·2 【 解

n?1





?

k kCn

=

k ?1 nCn ?1



?


n?1



0 1 2 3 n?1 0 1 2 3 n?1 = nCn ?1 +n Cn?1 +n Cn?1 +n Cn?1 +…+n Cn?1 = n(Cn?1 + Cn?1 + Cn?1 + Cn?1 +…+ Cn?1 )=n·2



24、 【2010·河北承德一中期末】有 A、B、C、D、E 五位学生参加网页设计比赛,决出了第一 到第五的名次.A、B 两位学生去问成绩,教师对 A 说:你的名次不知道,但肯定没得第一名; 又对 B 说:你不是最后一名.请你分析一下,这五位学生的名次排列共有_____________种不 同的可能. (用数字作答) 【答案】78 25、已知等式 ( x ? 2 x ? 2) ? a0 ? a1( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) ?? ? a9 ( x ? 1) ? a10 ( x ? 1)
2 5 2 9 10



? an =
n ?1

10



? na
n ?1

10

n

=

【答案】31;160(求导)


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