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2016年专项练习题集-数列、等比数列、等比数列的判断与证明


2016 年专项练习题集-数列、等比数列、等比数列的判断与证明 1.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: Sn?1 ? ? Sn?1 ? (? ? 1)Sn ? 2(? ? 0, n ? 2) ,若 数列 ?an ?1 ? 是等比数列,则实数 ? 的值等于( A. 1 B. ?1 C. )

1 3

D. 3 【分值】

5 【答案】D 【易错点】不知如何对递推关系式进行变形。 【考查方向】本题主要考查了等比数列的判定、通项公式的应用,在近几年的各省高考题出 现的频率较高,常与等比数列的定义及性质交汇命题。 【解题思路】把已知数列递推式变形,由数列 ?an +1? 是等比数列求实数 ? 的值。 【解析】试题分析:由 Sn?1 ? ? Sn?1 ? (? ? 1)Sn ? 2 整理得 Sn?1 ? Sn?1 ? ? (Sn ? Sn?1 ) ? 2 ,化 简得:an?1 ? ? an ? 2 ,得 an ?1 ? 1 ? ? an ? 3 ? ? (an ?

3

?

) ,由于数列 {an ? 1} 是等比数列,所以

3

?

? 1 ,解得 ? ? 3 ,故选 D.

2.已知数列 ?an ? 与 ?bn ? 的各项均为正数, 且满足关系式:an ln 3 ? 列 ?an ? 是等差数列”是“数列 ?bn ? 是等比数列”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也必要条件 )

?

bn

1

1 dx(n ? N * ) , 则 “数 x

【分值】5 【答案】C 【易错点】对等差数列与等比数列的定义不清楚导致本题出错。 【考查方向】 本题主要考查了充分条件与必要条件的判断及等差数列与等比数列的定义、 定 积分的计算等知识点,是高考考察的重点内容,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常 与不等式、等差数列、等比数列的概念、定积分的计算等知识点交汇命题。 【解题思路】根据充分条件与必要条件的定义结合等差数列与等比数列的定义进行判断。 【解析】 试题分析: 由 an ln 3 ?

?

bn

1

1 dx 整理得:bn ? 3an (n ? N * ) 当数列 ?an ? 是公差为 d 的 x

等差数列时,

bn 3an ? an?1 ? 3d ,所以数列 ?bn ? 是等比数列;当数列 ?bn ? 是公比为 q 的等比 bn?1 3

数列时,

bn 3an 所以数列 ?an ? 是等差数列; 因此 “数 ? an?1 ? 3an ?an?1 ? q,? an ? an?1 ? log3 q , bn?1 3

列 ?an ? 是等差数列”是“数列 ?bn ? 是等比数列”的充要条件.故选择 C。 3. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 前 100 项和 S100 ? ( A. 0 B. )

Sn Sn ?1 ? n ? cos( n?)( n ? N *, n ? 2) ,则数列 {an } 的 n 2 2

2 ? 2101 3
101

C. 2 ? 2 D.

2 100 (2 ? 1) 3

【分值】5 【答案】B 【易错点】

【考查方向】本题主要考查了等差数列、等比数列的判断,在近几年的各省高考题出现的频 率较高,常与等差数列、等比数列的定义、三角函数等知识点交汇命题。 【解题思路】 先根据

Sn Sn ?1 ? n ? cos(n?)(n ? N * , n ? 2) 得出递推关系式:an ? 2n cos(n?) , 2n 2


再利用等比数列的定义进行判断,从而求出 S100 【解析】试题分析:由 可得:

Sn Sn ?1 ? n ? cos(n?)(n ? N * , n ? 2) 整理得: an ? 2n cos(n?) 因此 n , 2 2

an +1 2n +1 cos(n?+?) ?2 为公比的等比数列, 所以数列 {an } 是以 ?2 为首项, ? =?2, an 2n cos(n?)
100 -2 ?1- ? -2 ? ? 2 ? ? (2100 ? 1) ,故选 B. ? = 3 1- ? -2 ?

因此 a1 ? a2 ? ... ? a99 ? a100

4.给出以下关于数列的四个命题,其中正确的是(



①若数列 {an } 等比,前 n 项和为 Sn ,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 是等比数列 ②若数列 {ln an ? 2016} 等差,则数列 {an } 是等比数列 ③设 a, b, c ? 0 ,若 lga,lgb,lgc 等差,则 2015 , 2015 , 2015 等比
a b c

④在 ?ABC 中,若 A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④ 【分值】5 【答案】C

1 1 1 2 2 2 , , 依次成等差数列,则 a , b , c 等比 tan A tan B tan C

【易错点】等差等比数列的相关概念不熟悉导致出错。 【考查方向】本题主要考查了等差、等比数列的判定,在近几年的各省高考题出现的频率较 高,常与等差、等比数列的性质、定义、三角函数等知识点交汇命题。

【解题思路】根据等差数列、等比数列的定义逐一进行判断。 【解析】试题分析:对于①,若数列 {an } 等比,则

S2 n ? Sn an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a2 n ? ? qn , Sn a1 ? a2 ? ? ? an

S3n ? S2 n a2 n?1 ? a2 n? 2 ? ? ? a3n ? ? q n ,故 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S 2n 等比,正确;对于②, S2 n ? Sn an?1 ? an?2 ? ? ? a2 n
若数列 {ln an ? 2016} ln

an ?1 a ? d 等差,则 ln an?1 ? 2016 ? (ln an ? 2016) ? ln n?1 为常数, an an

即,所以

an ?1 ? e d 为常数,故 {an } 是等比数列,正确;对于③,若 lga,lgb,lgc 等差,则 an

2lg b ? lg a ? lg c ? lg(ac) ? b2 ? ac ,而由 2015a , 2015b , 2015c 等比知 b2 ? ac ,正确;
对于④,若

1 1 1 2 1 1 , , ? ? 依次成等差数列,则 ,则 tan A tan B tan C tan B tan A tan C 2 c oB s co As cC os C sin ? A c o s C c o sA s i n ? ? ? sin B s iA n sC in s Ai n C sin

?

sin 2 B sin( A ? C ) sin B 2cos B ? ? , ,由正弦定理和余弦定理得 sin A sin C sin A sin C sin A sin C

2(a 2 ? c 2 ? b2 ) b2 2 2 2 ? , 整理得 a2 ? c2 ? 2b2 , 故 a , b , c 等差, 错误, 综上知选择 C 选项。 2ac ac
5.已知数列 ?an ? 与 ?bn ? 各的项均为正数,若点 (an?1 , an ) 在函数 f ( x) ?

1 3 1 2 1 x ? x ? x的 3 2 4

导函数图像上,且 bn ? log 2 ( an ? ) ,则数列 ?bn ? 的前 n 项和为( A. 2
n

1 2



B. 2 ? 1
n

C. 2 ? 1
n

D. 2 ? 2
n

【分值】5 【答案】B

【易错点】不能由递推关系式 an ?1 ? an ? an ?
2

1 1 得到 bn ? log 2 ( an ? ) 等比导致出错。 4 2

【考查方向】本题主要考查了等比数列的判定、前 n 项和公式、导数的计算等知识点,在近 几年的各省高考题出现的频率较高,常与等比数列的判定、前 n 项和公式、导数的计算、几 何意义等知识点交汇命题。 【解题思路】先根据点 (an?1 , an ) 在函数 f ( x) ?

1 3 1 2 1 x ? x ? x 的导函数图像上得出 3 2 4

1 an ?1 ? a2 n ? an ? ,再利用等比的定义进行判断。 4
【解析】试题分析:依题意可知 f ?( x ) ? x ? x ?
2

1 ,因 (an?1 , an ) 在函数 f ( x ) 的导函数图 4 an ?1 ? 1 1 ? (an ? ) 2 2 2 (
, 有











an ?1 ?

2

an ?

1 an ?, 所 以 4

1 l o g 2 an ? ?1 ( 2

? 1 2

)a 2n

2

1 l? o g ? ( 2

1 a )b ? ? 2 bn , l o g 2n ,即 2 n?1

)

而 b1 ? log 2 ( a1 ? ) ? log 2 2 ? 1 ,故 ?bn ? 是以 b1 ? 1 为首项,公比为 2 的等比数列,所以

bn ? 2n?1 ,前 n 项和为

1 ? 2n ? 2n ? 1 ,选择 B 选项。 1? 2

6.已 知 数 列 ?an ? 是 各 项 均 为 正 数 且 单 调 递 减 的 等 比 数 列 , 且 a2 , a4 是 函 数

f ( x) ?

2 3 5 2 x ? x ? 2 x ? 2016 的极值点,若数列 ?bn ? 满足 lg bn ? lg an ? lg an?1 ,则数列 3 2

?bn ? 是数列,其前 n 项和为.
【分值】3

32(1 ? 4? n ) 【答案】等比; 3
【易错点】求 a2 , a4 时容易忽略数列 ?an ? 单调递减导致本题增解。

【考查方向】本题主要考查了等比数列的判定、前 n 项和公式、极值的概念、对数的运算等 知识点,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与等比数列的判定、前 n 项和公式、极 值的概念、对数的运算等知识点交汇命题。 【解题思路】先由 a2 , a4 是函数 f ( x) ?

2 3 5 2 x ? x ? 2 x ? 2016 的极值点求出 a2 , a4 进而 , 3 2

求出数列 ?an ? 的通项公式,进而求出数列 ?bn ? 的通项公式,利用等比的定义判断数列 ?bn ? 等比,然后利用等比数列的前 n 项和公式求和。 【解析】试题分析:由 a2 , a4 是函数 f ( x) ?

2 3 5 2 x ? x ? 2 x ? 2016 的极值点知 a2 , a4 是方 3 2 1 ,设等比数列公比 2

2 程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两根,由且数列 ?an ? 单调递减可知 a2 ? 2, a4 ?



q

, 则

a4 1 1 ? ? q2 ? q ? a2 4 2
1? n 2 ( ?) 2
?

, 所 以

?1? an ? a2 . ? ? ?2?

n?2

?1? ?? ? ? 2?

n ?3

, 故

an an ?1 ? (

1 n ?3 )? 2

1 2n 5 ( lg ) bn ? lg an ? lg an?1 化简可得: bn ? an an?1 ,则 ,由 2

1 bn?1 an?1an? 2 1 ? ? 所以数列 ?bn ? 是首项为 8 ,公比为 的等比数列,即数列 ?bn ? 是首项 4 bn an an ?1 4

? ? 1 ?n ? 8 ?1 ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 32 1 ? ? ? (1 ? 4? n ) 为 8 ,公比为 的等比数列,所以 b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 1 4 3 1? 4 ? ? ? ? ?? ? 7.若数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,若 m ? (a n?1,1 ,且 m / / n ,则数列 ?an ? 的通项 ), m ?( a , a ? 3) n n
公式 an ? 。 【分值】3 【答案】

2 3 ?1
n

【考查方向】本题主要考查了等比数列的判断、向量的运算。

【易错点】对递推关系式 an ?1 ?

an 不知如何处理导致出错。 an ? 3 an ,然后两边取倒数,利用等比定义进行判断。 an ? 3 an ,两边取倒数得 an ? 3

【解题思路】先根据 m / / n 得出 an ?1 ?

??

?

【解析】试题分析:由 m / / n 知 an?1 (an ? 3) ? an ? 0 ,即 an ?1 ?

??

?

? 1 1? 1 a ?3 3 1 1 1 1 1 ? n ? ? 1 ,两边同时加 得: ? ? 3( ? ) ,所以数列 ? ? ? 是以 2 an ?1 an an an?1 2 an 2 ? an 2 ?
3 2 1 1 3 n?1 3n 为首项,以 3 为公比的等比数列,故 。 ? ? ? 3 ? ,所以 an ? n 2 3 ?1 an 2 2 2
8.若数列 ?an ? 各项为均为正数, 其前 n 项和为 Sn , 若 m ?1 ( ?a 2 ,)n 3 , ( n )? 则数列 {an } 是数列,其前 n 项和 Sn ? 【分值】3 【答案】等比; .

??

?

?? ? 且m ? n, Sn ,

3n ?1 ? 3 2

【考查方向】 本题主要考查了向量的坐标运算、 由 an 与 Sn 的关系求通项 an 及等比数列的判 定。 【易错点】对条件 m ? n 不知如何处理。 【解题思路】直接根据题中条件 m ? n 得出 2Sn ? 3an ? 3 ,再利用等比数列的求和公式即 可求和。 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 m ? n 知 m ? n ? 3(1 ? an ) ? 2Sn ? 0 , 即 2Sn ? 3an ? 3 , 所 以

??

?

??

?

??

?

?? ?

2Sn?1 ? 3an?1 ? 3(n ? 2) ,两式相减,得: 2an ? 3an ? 3an?1 ,∴ an ? 3an?1 (n ? 2)
∴数列 {an } 是公比为 3 的等比数列, ∵ 2S1 ? 3a1 ? 3 ∴ a1 ? 3 ,∴ an ? 3 ? 3n?1 ? 3n .

∴ Sn ?

3 ?1 ? 3n ? 1? 3

?

3n?1 ? 3 2
Sn ?1 Sn 3Sn ?1 ? n? ? n ?1. n 2 2 2 2

9.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,

(1)设 bn ? an ? 2n ,求证数列 ?bn ? 是等比数列; (2)设数列 ? 【分值】6 【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析. 【易错点】第二问放缩不到位导致无法证明不等式。 【考查方向】本题考查了等比数列的证明、放缩法证明不等式等知识点。 【解题思路】 (1) 由

?1? 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,试证明:对一切正整数 n ,有 Tn ? . 2 ? an ?

Sn ?1 Sn 3Sn ?1 ? n? ? n ? 1 得: 即 an?1 ? 3an ? 2n , Sn?1 ? 4Sn ? 3Sn?1 ? 2n , n 2 2 2 2

两边同时加上 2

n ?1

可得 an?1 ? 2n?1 ? 3(an ? 2n ) , 由等比数列的定义可得

bn?1 an?1 ? 2n?1 ? 3, bn an ? 2n

所以证得 ?bn ? 是以 3 等比的等比数列; (2)根据(1)求得 ?an ? 的通项公式 an ? 3n ? 2n 同 时放缩为 3 ? 2 ? 2 (n ? 2) ,所以
n n n

1 1 1 ? n ? n ? 2 ? ,对 cn ? n 求和即可. 2 an 2

【 解 析 】 试 题 解 析 : (1) 由

Sn ?1 Sn 3Sn ?1 ? n? ? n ? 1 得 : Sn?1 ? 4Sn ? 3Sn?1 ? 2n , 即 n 2 2 2 2

an?1 ? 3an ? 2n ,两边同时加上 2 n ?1 可得 an?1 ? 2n?1 ? 3(an ? 2n ) ,由等比数列的定义可得

bn?1 an?1 ? 2n?1 ? 3 ,又 a1 ? 2 ? 3 ,所以证得 ?bn ? 是以 3 为首项, 3 为公比的等比数列。 n bn an ? 2
(2)由(1)知

an ? 3n ? 2 n ,又 3n ? 2 n ? 2 n (n ? 2) ,故
n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ?1? 3 ? ??? ? ? 2 ??? n ? 1? 2 ? 3 ??? n ? ? ? ? ? 2 n a1 a 2 an 1 3 ? 2 2 ?2? 2 3 ?2 2 2 2



Tn ?

3 。 2

10.已知 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且满足: a1 ? 2, Sn?1 ? 2Sn?1 ? 3Sn ? n ? 1, n ? 2 . (1)求证:数列 {an ? n} 是等比数列; (2)设数列 {bn } 满足 log2 bn ? log2 (an ? 2n?1 ) ? n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 【分值】6 【答案】(1)证明见解析; (2) S n ? 2 ?

n?2 . 2n

【易错点】第二问错位相减法求和时在最后整理时容易出错。 【考查方向】本题考查了对数的运算、等比数列的证明、错位相减法求和等问题,高考数列 题难度不会太大,历届高考中也遵循了这个规律. 【解题思路】第一个问题考查了等比数列的证明,在我们平时练习中也经常会证明,属于容 易题,利用等比数列的定义,要证明 {an ? n} 等比,只需证明

an?1 ? (n ? 1) 是定值即可;第 an ? n

二问题中由通项公式可看出数列的每一项可看成一个等差数列和一个等比列对应乘积的形 式,符合错位相减的方法,因此采用错位相减法. 【解析】试题解析: (1)由题设 Sn?1 ? 2Sn?1 ? 3Sn ? n ? 1, n ? 2 可得 an?1 ? 2an ? n ? 1 ,所以

an?1 ? ? n ?1? ? 2 ? an ? n? ,故
1 ,且公比为 2 的等比数列.
(2)由(1)可知 an

an?1 ? (n ? 1) ? 2 ,又 a1 ? 1 ? 1,所以数列 ?an ? n? 是首项为 an ? n

? n ? 2n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n?1 ? n ,
n
n?1

a ? 2n?1 an 1 ?1? 由已知条件 log2 bn ? log2 (an ? 2 ) ? n 得 bn ? n n ? n ? ? n ? ? ,根据通项公 2 2 2 ?2?
式的特点采用错位相减法求和:

1 1 1 1 1 Sn ? 1? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ??? ? ? n ? 1? ? n ?1 ? n ? n , 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ??? ? ? n ? 1? ? n ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 n?2 错项相减得: S n ? 2 ? n . 2


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