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3.3.2简单线性规划


3.3.2简单的线性规划问题
第一课时

第二课时

复习回顾
⑴ 二元一次不等式表示平面区域:

直线某一侧所有点组成的平面区域。
⑵ 判定方法:

直线定界,特殊点定域。
⑶ 二元一次不等式组表示平面区域: 各个不等式所表示平面区域的公共部分。


练习
画出下列不等式组表示的平面区域

?y ? x ? (1) x ? 2 y ? 4 ? ? y ? ?2 ?

(1)
o 4 -2 x

y

?x ? 3 ?2 y ? x ? (2) ? ?3 x ? 2 y ? 6 ? ?3 y ? x ? 9

(2)
3

y

O

2 3

x

一、补充知识

1.倾斜角:直线和x轴的正半轴所夹的角 的大小; 2.截距:对于y=kx+b来说,实数b就是直 线y=kx+b的截距,换句话说直线的截距 就是直线与y轴交点的纵坐标,有时候也 叫纵距3.斜率:直线l:y=kx+b中k值的 大小就叫做直线l的斜率。 y1 ? y2 k ? tan? ? x1 ? x2
Verakin High School of Chongqing

一.复习回顾 1.在同一坐标系上作出下列直线: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 Y
结 论 : 形 如2 x ? y ? t ( t ? 0) 的直线与 2 x ? y ? 0平 行.

o

x

2.直线y=x,y=x+1,y=x-1有什么关系?
y=x与y=x+z(z为变量)有么关系?

3.直线y=kx+z,其中k为定值,z为变量,在z 变化过程中这些直线与y=kx有什么关系? 直线y=kx 平行于直线y=kx+z
注意: 直线y=kx+z中z是直线与Y轴交点的 纵坐标,叫直线的纵截距

二.提出问题

作出下列不等式组表示的平面区域

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
问题:z=2x+y 有无最大(小)值?

? y ? ?2 x ? z, z为直线2 x ? y ? z ? 0与Y 轴交点的纵坐标 (纵截距)

y

A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)

5

C x-4y+3=0 A

B
O
1 5

3x+5y-25=0
x=1

x

可行域

在上述问题中
? x ? 4 y ? ?3 ? ?3x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

(线性)约 束条件

问题:z=2x+y 有无最大(小)值?
目标函数 (线性目标函数)

定义
1.目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x,y的解析式称为目标函数. 2.线性目标函数:关于x,y 的一次目标函数称为 线性目标函数. 3.约束条件:由x,y 的不等式(或方程)组成的不等 式组称为x,y 的约束条件.

4.线性约束条件:关于x,y 的一次不等式或方程组 成的不等式组称为x,y 的线性约束条件.

5.满足线性约束条件的解(x,y)称为可行解.

6.所有可行解组成的集合称为可行域.
7. 使目标函数取得最大值或最小值的可行解称 为最优解. 8.求线性目标函数在线性约束条件下 的最大值或最小值问题称为线性规划问题.

例1已知

?x - y ? 0 ? ?x ? y - 1 ? 0 ?y ? 1 ? 0 ?

求z=2x+y的最大值和最小值。
分析:z=2x+y

? y ? ?2 x ? z, z为直线2 x ? y ? z ? 0与Y 轴交点的纵坐标 (纵截距)

?x - y ? 0 ? 1 、 画出?x ? y - 1 ? 0区域 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像

y-x=0

5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

3、根据b的正负值判断向上向下 1 平移时Z的增减性,
O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1)

-1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 、 画出?x ? y - 1 ? 0区域 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性, 1 O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1)

-1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 、 画出?x ? y - 1 ? 0区域 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

3、根据b的正负值判断向上向下 1 平移时Z的增减性,
O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1)

-1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 、 画出?x ? y - 1 ? 0区域 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

3、根据b的正负值判断向上向下 1 平移时Z的增减性,
O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1)

-1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 、 画出?x ? y - 1 ? 0区域 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

3、根据b的正负值判断向上向下 1 平移时Z的增减性,
O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1)

-1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 、 画出?x ? y - 1 ? 0区域 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

3、根据b的正负值判断向上向下 1 平移时Z的增减性,
O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1)

-1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 、 画出?x ? y - 1 ? 0区域 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

3、根据b的正负值判断向上向下 1 平移时Z的增减性,
O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1)

-1

x+y-1=0

Zmax=2x+y=2x2+(-1)=3

?x - y ? 0 ? 1 、 画出?x ? y - 1 ? 0区域 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

3、根据b的正负值判断向上向下 1 平移时Z的增减性,
O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1)

-1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 、 画出?x ? y - 1 ? 0区域 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

3、根据b的正负值判断向上向下 1 平移时Z的增减性,
O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1)

-1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 、 画出?x ? y - 1 ? 0区域 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

3、根据b的正负值判断向上向下 1 平移时Z的增减性,
O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1)

-1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 、 画出?x ? y - 1 ? 0区域 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

3、根据b的正负值判断向上向下 1 平移时Z的增减性,
O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1)

-1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 、 画出?x ? y - 1 ? 0区域 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

3、根据b的正负值判断向上向下 1 平移时Z的增减性,
O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1)

-1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 、 画出?x ? y - 1 ? 0区域 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

3、根据b的正负值判断向上向下 1 平移时Z的增减性,
O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1)

-1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 、 画出?x ? y - 1 ? 0区域 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

3、根据b的正负值判断向上向下 1 平移时Z的增减性,
O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1)

-1

x+y-1=0

Zmin=2x+y=2x(-1)+(-1)=-3

例2、求z=3x+5y 的最大值和最小值,

使 式中,的x、y满足约束条件:

3 z z y ? ? x ? , 为直线3x ? 5 y ? z ? 0 5 5 5 的纵截距

?5 x ? 3 y ? 15 ? ?y ? x ?1 ?x ? 5 y ? 3 ?

5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1

X-5y=3 x

O
-1

1

5

A(-2,-1)

Z max ? 17; Z min ? ?11

解:(1)如右图示 (2)求交点坐标: ? 5 x ? 3 y ? 15 A:? ?y ? x ?1

y

A

?y ? x ?1 C :? ?x ? 5y ? 3 ? C(-2 , -1)

3 5 ? A( , ) 2 2

o
C

B

x

3 5 11 (3)求最值:ymax= 2 ? ? ? 2 2 2 ymin ? 2 ? (?2) ? (?1) ? ?5

小结
利用图解法解决线性规划问题的步骤:

画——画出线性约束条件所表示的可行域
移——在目标函数所表示的一组平行线(与目标函 数中z=0平行)中,利用平移的方法找出与

可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线
求——根据观察的结论,先求交点的坐标,再求出最 优解 答——做出答案

基础练习:
1.目标函数z=3x-y,将其看作直线方程时,z的意义是( A.该直线的截距 C.该直线的横截距 答案:D 2.有5辆6吨的汽车,3辆4吨的汽车,要运送一批货物,完成这项 运输任务的线性目标函数是( A.z=6x+4y C.z=x+y ) B.该直线的纵截距 D.该直线纵截距的相反数 )

B.z=5x+3y D.z=3x+5y

答案:A
第31页

高考题练习:

? x ? y≥2, ? 1.(2009? 浙江)若实数x, y满足不等式组 ?2 x ? y≤4, ? x ? y≥0, ? 则2x ? 3y的最小值是 ________ .
答案:4

第32页

解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.

第33页

2.(2008? 天津)设变量x, y满足约束条件 : ? x ? y≥0 ? ? x ? y≤1 , 则z ? 5x ? y的最大值为? ? x ? 2 y≥1 ?
A.2 B.3 C.4 解析:作出可行域如下图所示: 由z=5x+y得y=-5x+z,目标函数在点(1,0)处取最大值,即

?
D.5

z=5×1+0=5.
答案:D

第34页

则z ? x ? 2y的最大值为?
A.4 答案:B B.3 C.2

y≤1, ? ? 3.(2010? 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 ? x ? y≥0, ? x ? y ? 2≤0, ?

?

D.1

第35页

解析:画出可行域,如图所示. 要使z=x-2y取得最大值,只要y取得最小值. 作直线l:x-2y=0,平移直线l,当l过点B(1,-1)时,z取最大值3.

第36页

小结
利用图解法解决线性规划问题的步骤:

画——画出线性约束条件所表示的可行域
移——在目标函数所表示的一组平行线(与目标函 数中z=0平行)中,利用平移的方法找出与

可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线
求——根据观察的结论,先求交点的坐标,再求出最 优解 答——做出答案

几个结论:

1、在规划问题中,可行域一般是凸多边形, 而线性目标函数的最大(小)值一般在凸多 边形的顶点处取得,因而只要比较这些顶点 处的函数值的大小就可以得出结论----(此 结论只适用于解决选择填空题,解答题必须 严格按照解题步骤解决。) 2、求线性目标函数的最优解,要注意 分析线性目标函数所表示的几何意

义——在y轴上的截距或其相反数。

五、作业:

习题3.3 A组 3、 4

3.3.2简单的线性规划问题
第二课时

一、复习概念 一组关于变量x、y的一次不等式,称为线性约束条件 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数,因为它是关于 变量x、y的一次解析式,又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统 称为线性规划问题。
y

满足线性约束的解 可行域 (x,y)叫做可行解。

4 3

最优解

由所有可行解组成的集 可行解 合叫做可行域。 4 o 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问 题的最优解。

8

x

二.复习利用图解法解决线性规划问题的步骤:
画——画出线性约束条件所表示的可行域
移——在目标函数所表示的一组平行线(与目标函 数中z=0平行)中,利用平移的方法找出与


行域有公共点且纵截距最大或最小的直线 求——根据观察的结论,先求交点的坐标,再求出最 优解 答——做出答案

几个重要结论:

1、在规划问题中,可行域一般是凸多边形, 而线性目标函数的最大(小)值一般在凸多 边形的顶点处取得,因而只要比较这些顶点 处的函数值的大小就可以得出结论----(此 结论只适用于解决选择填空题,解答题必须 严格按照解题步骤解决。) 2、求线性目标函数的最优解,要注意 分析线性目标函数所表示的几何意

义——在y轴上的截距或其相反数。

一、线性规划在实际中的应用:
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用, 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下, 如何使用它们来完成最多的任务; 二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、 物力、资金等资源来完成该项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用:

例2、营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少 提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质, 0.06kg的脂肪,1kg食物A含有0.105kg碳水化合 物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而 1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白 质,0.07kg脂肪,花费21元。为了满足营养专家指 出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用 食物A和食物B多少kg?

分析:将已知数据列成表格
食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白质/kg 脂肪/kg

A B

0.105 0.105

0.07 0.14 0.06

0.14 0.07 0.06

日常饮食含量 0.075

解:设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本 为z,那么

?0.105x+0.105y ? 0.075 ?7 x ? 7 y ? 5 ?0.07x+0.14 y ? 0.06 ?7 x ? 14 y ? 6 ? ? ? ? ? ?14x ? 7 y ? 6 ?0.14x ? 0.07 y ? 0.06 ?x ? 0 ?x ? 0 ? ? ? ? ?y ? 0 ?y ? 0
目标函数为:z=28x+21y

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域

6/7 y 5/7

3/7

o

3/7

5/7

6/7 x

4 z 把目标函数z=28x+21y 变形为 y ? ? x ? 3 21 4 它表示斜率为 ? 3
随z变化的一组平行直 线系
6/7
5/7 y M

的截距,当截距最 小时,z的值最小。

z 21 是直线在y轴上

3/7

如图可见,当直线 z=28x+21y 经过可 行域上的点M时,截距 最小,即z最小。

o

3/7

5/7

6/7

x

M点是两条直线的交点,解方程组 ?7 x ? 7 y ? 5 ? ?14x ? 7 y ? 6 1 ? x ? ? ? 7 得M点的坐标为: ? ?y ? 4 ? 7 ?
所以zmin=28x+21y=16 由此可知,每天食用食物A143g,食物B约 571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低, 最低成本为16元。

要将两种大小不同的钢板截成A,B,C三种规格,每张
钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示: 规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板

A规格 2 1

B规格 1 2

C规格 1 3

今需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,问各

截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品,且使所用钢板
张数最少?

工具

第三章 不等式

栏目导

工具

第三章 不等式

栏目导

[规范作答] 设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张. ? ?2x+y≥15, ?x+2y≥18, 可得? ?x+3y≥27, ? ?x≥0,y≥0.

且 x、y 都是整数,

求目标函数 z=x+y 取最小值时的 x、y.2 分 作可行域如图所示,6 分

工具

第三章 不等式

栏目导

例题分析
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*

y
15 9
B(3,9)
C(4,8)

{

打网格线法

目标函数t = x+y

A(18/5,39/5)

x+y =0

2 1 0 12

78
2x+y=15

18

作出一组平行直线t = x+y, 当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解,

x+2y=18 x+3y=27

27

x

在可行域内打出网格线, 将直线x+y=11.4继续向上平移,
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时,t=x+y=12是最优解.答:(略)

? 18 x= 5 , ? ? x + 3 y = 27 , ? ∵? ∴? ? ?2x+y=15, ?y=39, 5 ? 平移直线

?18 39? ∴A? 5 , 5 ? ? ?

?18 39? z=x+y,可知直线经过点? 5 , 5 ?,此时 ? ?

x+y

?18 39? 57 18 39 =5, 但 5 与 5 都不是整数, 所以可行域内的点 A? 5 , 5 ?不 ? ?

是最优解.8 分

工具

第三章 不等式

栏目导

方法一:平移求解法 首先在可行域内打网格,其次描出
?18 39? A? 5 , 5 ?附近的所 ? ?

有整点,接着平移直线 l:x+y=0,会发现当移至 B(3,9)、 C(4,8)时,z 取得最小值 12.12 分 方法二:特值验证法

由方法一知,目标函数取得最小值的整点应分布在可行域 的左下侧靠近边界的地方,依次满足条件的整点 A0(0,15) ,

A1(1,13) , A2(2,11) , A3(3,9) , A4(4,8) , A5(5,8) ,
A6(6,7) , A7(7,7) , A8(8,7) , A9(9,6) , A10(10,6) , ? , A27(27,0). 将这些点的坐标分别代入z=x+y,求出各个对应值,经验

工具

第三章 不等式

栏目导

方法三:调整优值法
?18 39? 57 ? ? 由非整点最优解 5 , 5 ,z= , 5 ? ?

∴z≥12. 9 令 x+y=12,y=12-x 代入约束条件整理得 3≤x≤ , 2 10 分 ∴x=3 和 x=4,这时最优整点为(3,9)和(4,8).12 分 故本例有两种截法.

工具

第三章 不等式

栏目导

第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张;第二种

截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两种方法最少要截
两种钢板共12张. [题后感悟] 许多实际问题中需要整数解,而当解方程得到

的解不是整数时,常用下面的方法求整数解: (1)平移直线法:先在可行域中画网格,再描整点,平移直

线l,最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解.
(2)检验优值法:当可行域中整点个数较少时,可将整点坐

标逐一代入目标函数求值,比较后得出最优解.
(3)调整优值法:先求非整点最优解,再借助于方程知识调 整最优值,最后筛选出整点最优解.

工具

第三章 不等式

栏目导

例4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产 这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式, 并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料 各多少车皮,能够产生最大的利润? 解:设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数,于是满足以下条件: y

?4 x+y ? 10 ?18x + 15y ? 66 ? ? ?x ? 0 ? ?y ? 0

x

o

解:设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮,能够产 生利润Z万元。目标函数为Z=x+0.5y,可行域如图: 把Z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,它表示斜率为 -2,在y轴上的截距为2z的一组直线系。
由图可以看出,当直线经过可行域上的点M时, 截距2z最大,即z最大。 容易求得M点的坐标为 (2,2),则Zmin=3
y

故生产甲种、乙种肥料各 2车皮,能够产生最大利润, 最大利润为3万元。

M x

o

巩固练习1:
不等式组

?x ? 0 y 表示的平面区域内的整数点共有 ? ?y ? 0 ?4 x ? 3 y ? 12 4 ?
3



)个

2 1 x 2 3 4 4x+3y=1

1

巩固练习2:

在x,y的值都是不小于0的整数 点(x,y)中,满足x + y ≤ 4的
15 点的个数为 _______

在可行域内找出最优解、线性规划整数 解问题的一般方法是:
1.若区域“顶点”处恰好为整点,那么它就是最优解;
(在包括边界的情况下) 2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时,应先求出 该点坐标,并计算目标函数值Z,然后在可行域内适当 放缩目标函数值,使它为整数,且与Z最接近,在这条 对应的直线中,取可行域内整点,如果没有整点,继续 放缩,直至取到整点为止。 3.在可行域内找整数解,一般采用平移找解法,即打网 络、找整点、平移直线、找出整数最优解

四、作业
P93习题3.3 B组:2、3


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