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高二数学第一章 常用逻辑用语小结与复习(选修2-1)


常用逻辑用语 复习

知识体系网络

常用逻辑用语复习小结
本章知识结构:

重要考点
命题及 其关系

常用逻辑用语

知道命题的特征. 能准确写出命题 的否定.
全称量词 存在量词

充分条件 必要条件 充要条件


简单的逻辑联结 词:且、或、非

四种命题:原命题、逆命题、 否命题、逆否命题. 1.原命题与逆否命题同真同假.

2. p ? q 说 p 与 q 互为充 要条件.充要条件的探求 2.证明一个命题,可以考虑证它 是学好数学的基本功.
的逆否命题来间接证明.

1. p ? q 说 p 是 q 的充分 条件, q 是 p 的必要条件.

四种命题形式及其关系
原命题 若p,则q 互 否 否命题 若? p,则? q 互逆 互为逆否 逆命题 若q,则p

同真同假
互逆

互 否
逆否命题 若? q,则? p

注:(1) “互为”的; (2)原命题与其逆否命题同真同假. (3)逆命题与否命题同真同假.

一.用语言、符号或式子表达的,可以判断真 假的陈述句称为命题. 其中判断为真的语句称为真命题,判断为假 的语句称为假命题. 命题的形式:“若P, 则q”

通常,我们把这种形式的命题中的P叫做 命题的条件,q叫做结论. 记做:

p?q

二、 四 种 命 题
结论2:

原命题: 则q (1)“或”的否定为“且” 若p (2)“且”的否定为“或” 逆命题: 若q 则p 否命题: 若? p 逆否命题: 若? q 则? p
(3)“都”的否定为“不 ? q 则都”。

结论1:要写出一个命题的另外三个命 题关键是分清命题的题设和结论(即 把原命题写成“若p则q”的形式) 注意:三种命题中最难写 的是否命题。

三、四种命题之间的 关系
原命题
若p则q 互 否

互逆

逆命题
若q则p 互 否

否命题
若﹁p则﹁q

互逆

逆否命题
若﹁q则﹁p

四、命题真假性判断
(1) 原命题为真,则其逆否命题一定为 真。但其逆命题、否命题不一定为真。 (2) 若其逆命题为真,则其否命题一定为 真。但其原命题、逆否命题不一定为真。

结论:
(1)原命题与逆否命题同真假。 (2)原命题的逆命题与否命题同真假。

反证法
反证法的一般步骤:
(1)假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立; (2)从这个假设出发,经过推理 论证,得出矛盾; (3) 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确。
反设

归谬 结论

1.写出命题“当c>0时,若a>b, 则ac>bc“的逆命题,否命题 与逆否命题,并分别判断他们的真假 2.写出命题“若x≠a且x≠b, 则x2-(a+b)x+ab≠0”的否命题

充要条件
如果命题“若p则q”为真,则记 作p q(或q p)。
如果命题“若p则q”为假,则记作p 定义:如果 p ? q ,则说p是q的充分 条件,q是p的必要条件 p 即 q,相当于P q , P q 或 P、q q。

从集合角度理解:

充要条件定义:
如果既有p ? q,又有q ? p就记做p ? q
称:p是q的充分必要条件,简称充要条件

显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件

p与q互为充要条件(也可以说成”p与q等价”)

各种条件的可能情况 1、充分且必要条件 2、充分非必要条件 3、必要非充分条件 4、既不充分也不必要条件

2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:
1)A B且B B且B B且B B且B A,则A是B的
充分非必要条件

2)若A 3)若A 4)A

A,则A是B的
必要非充分条件

A,则A是B的
既不充分也不必要条件

A,则A是B的
充分且必要条件

3、从集合与集合的关系看充分条件、必要 条件
一般情况下若条件甲为x∈A,条件乙为x∈B

1)若A ? B且B ? A,则甲是乙的
充分非必要条件

2) 若A? B且B ?A,则甲是乙的
必要非充分条件

3)若A ? B且B ? A,则甲是乙的
既不充分也不必要条件 4)若A=B ,则甲是乙的充分且必要条件。

注意点
1.在判断条件时,要特别注意的是它们能否互相 推出,切不可不加判断以单向推出代替双向推出. 2.搞清 ①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间 的区别与联系; ②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间 的区别与联系

3、注意几种方法的灵活使用: 定义法、集合法、逆否命题法

练习1:填写“充分不必要,必要不充分,充 要,既不充分又不必要。
既不充分又不必要

1)sinA>sinB是A>B的___________条件。 2)在ΔABC中,sinA>sinB是 A>B的
充要条件 ________条件。

注、定义法(图形分析)

2、a>b成立的充分不必要的条件是( D ) A. ac>bc B. a/c>b/c C. a+c>b+c D. ac2>bc2 3.关于x的不等式:|x|+|x-1|>m的

解集为R的充要条件是( C
(A)m<0 (C)m<1 (B)m≤0 (D)m≤1

)

练习4、
1、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么”x∈M或 x∈N”是“x∈M∩N”的 B

A.充要条件
C充分不必要

B必要不充分条件
D既不充分也不必要

注、集合法
2、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是 A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2

A

练习5、

1.已知p是q的必要而不充分条件, 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________.
注、等价法(转化为逆否命题)
2:若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条 A 件,则A为C的( )条件 A.充要 B必要不充分

C充分不必要

D既不充分也不必要

练习6、
1.已知P:|2x-3|>1;q:1/(x2+x-6)>0, 则┐p是┐q的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2、已知p:|x+1|>2,q:x2<5x-6, 则┐p是┐q的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

集合法与转化法

7.求关于x的方程x2-mx+3m-2=0的 两根均大于1的充要条件
8.设p:|4x-3|≤1,q:x2-(2a+1) x+a(a+1)≤0。若 ? p是 ? q的必要
不充分条件 ,求实数a的取值范围。

我们再来看几个复杂的命题: (1)10可以被2或5整除. (2)菱形的对角线互相垂直且平分. (3)0.5非整数. “或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有 逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联 结词的命题称为简单命题. 复合命题有以下三种形式: (1)P且q. (2)P或q. (3)非p.

逻辑联结词 : 或、且、非
一般地,用逻辑联结词”且”把命题p和命 题q联结起来.就得到一个新命题,记作

规定:当p,q都是真命题时, p ? q 是 真命题;当p,q两个命题中有一个命 题是假命题时, p ? q 是假命题. q p 全真为真,有假即假.

p?q

读作”p且q”.

一般地,用逻辑联结词”或”把命题p和命 题q联结起来.就得到一个新命题,记作 q p? 规定:当p,q两个命题中有一个是真命题

p ? q 是真命题;当p,q两个命题中都是 时, p ? q 是假命题. p 假命题时,
q

特别注意对一些词语的否定
词语
等于 大于 小于 是

否定
不等于 不大于 不小于 不是

词语
任意的 所有的 且 都是

否定
某个 某些 或 不都是

至多有一个 至少有两个 至多有n个 至少有(n+1)个 至少有一个 一个都没有 至少有n个 至多有(n-1)个

“非 p”─ p 的全盘否定.特别注意!

一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个 新命题,记作

?p
都是

读作”非p”或”p的否定”
“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面 = > 是 至多 有一 个 至少 有两 个 至少 有一 个 没有 一个 任 意 的 某 个 所有 的 某些

否定 ≠ ≤ 不 是

不都 是

1.已知p: 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有 两个不 2 等的负实根;q:方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0
2

无实根.若 p ? q 为真, 求实数m的取值范围
2

p?q

为假,

2.给出下列命题:①关于x的不等式
(m ? 2) x ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 对x?R恒成立;

② f ( x) ? ?(1 ? 3m ? m )

2 x

是减函数。

若①和②中至少有一个是真命题,求实数 m的取值范围

全称量词与存在量词
短语”对所有的””对任意一 个”在逻辑中通常叫做全称量词, 并用符号 “ ”表示.含有全称 ? 量词的命题,叫做全称命题.
常见的全称量词还有:

“对所有的”,”对任意一个”,”对一 切”,”对每一个”,”任给”,”所有的”

通常,将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示,变量x的取值范围用M表示。

全称命题”对M中任意一个x有p(x) 成立”可用符号简记为

?x ? M , p( x)
读作”对任意x属于M,有p(x)成 立”.

存在量词
短语”存在一个””至少有一个”在 ? 逻辑上通常叫做存在量词,并用符号” ” 表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题. 常见的存在量词还有”有些””有 一个””有的””对某个”等. 特称命题”存在M中的一个x,使p(x) 成 立”可用符号简记为

?x ? M , p( x).

含有一个量词 的命题的否定
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否 定,有下面的结论: 全称命题p:

?x ? M , P( x), 它的否定?p: ?x ? M,?p(x).

全称命题的否定是特称命题.

一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定, 有下面的结论:
特称命题 p : ?x ? M,p(x) 它的否定

?p : ?x ? M,?p(x)

特称命题的否定是全称命题.

1.写出下列命题的否定,判断它们否定 的真假 (1)无论x为何实数,sin2x+cos2x=1 (2)存在a,使得不等式ax2+x+1≤0 有实数解

题型3.根据条件求参数的取值范围
例6 已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1

-a2>0,若p是q的充分而不必要条件,求正 实数a的取值范围.
【思路点拨】 p是q的充分不必要条件,即 p?q且q p,利用集合间的包含关系求a的 范围.

【解】

解不等式x2-8x-20>0,

得p:A={x|x>10或x<-2};

解不等式x2-2x+1-a2>0,
得q:B={x|x>1+a或x<1-a,a>0}.

依题意p?q但q
?a>0 ? 于是有?1+a≤10 ? ?1-a>-2

p,说明A

B.

?a>0 ? 或?1+a<10 ? ?1-a≥-2

, 解

得 0<a≤3, 所以正实数 a 的取值范围是 0<a≤3.

练习三: 1.已知命题 p:方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的根是 x=2;命题 q:方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的根是 x=1,则命题 p或q 为____________.
方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的根一定是 x=2 或一定是 x=1 2. 写 出 命 题 “? a 、 b 、 c ? R , 若 x ? a 2 ? 2b ? 1 , y ? b 2 ? 2c ? 1 , z ? c 2 ? 2a ? 1 ,则 x 、 y 、 z 中至少有一个不

小于 0”的否定为____________________.

? a 、 b 、 c ? R ,若 x ? a ? 2b ? 1, y ? b ? 2c ? 1 , z ? c 2 ? 2a ? 1 ,则 x 、 y 、 z 三个都小于 0”
2

2

1 a) 的定义域为 R;命 3.设命题 p:函数 f ( x) ? lg(ax ? x ? 16
2

题 q:不等式 2 x ? 1 ? 1 ? ax 对一切正实数均成立.如果命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范围.
3答案

3. 设集合 U ? {( x, y ) x ? R, y ? R}, A ? {( x, y ) 2 x ? y ? m ? 0},

B ? {( x, y ) x ? y ? n ≤ 0??
求证: “点 P(2,3)∈A∩( B)”的充要条件是“m>-1 且 n<5”.

证明: ∵点 P(2,3)∈A∩( B) ? P(2,3)∈A 且 P(2,3)∈ B

?2 ? 2 ? 3 ? m ? 0 即 m>-1 且 n<5 ?? ?2 ? 3 ? n ? 0
∴“点 P(2,3)∈A∩( B)”的充要条件是“m>-1 且 n<5”

3.解:命题 p 为真命题 ? 函数f ( x ) ? lg( ax 2 ? x ?

1 a )的定义域为R 16

?a ? 0 1 ? ? a ? 2. ? ax 2 ? x ? a ? 0对任意实数x均成立 ? ? 1 2 16 ?1 ? 4 a ? 0 ?

? 命题p为真命题 ? a ? 2.
又 ? 命题q为真命题 ? 2 x ? 1 ? 1 ? ax对一切正实数均成立 ?a? 2x ?1 ?1 2x ? ? x x( 2 x ? 1 ? 1)
2 x ? 1 ? 1,?

2 2x ?1 ?1

对一切正实数x均成立
2 ? 1 .(8 分 ) 2x ?1 ?1

由 于 x ? 0 ,?

2 x ? 1 ? 1 ? 2 ,?

? 命题q的真命题 ? a ≥ 1.(10分) ∵根据题意知,命题 p 与 q 为有且只有一个是真命题,当命题 p 为真命题且 命题 q 为假命题时 a 不存在;当命题 p 为假命题且命题 q 为真命题时 a 的取 值范围是[1,2].综上,命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题时实数 a 的 取值范围是[1,2](12 分)


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