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点、直线、平面之间的位置关系知识点总结


点、直线、平面之间的位置关系
一、线、面之间的平行、垂直关系的证明 书中所涉及的定理和性质可分为以下三类:
1、平行关系与平行关系互推;

线面平行性质定理

面面平行性质定理

线面平行判定定理

线面平行转化

面面平行判定定理

面面平

行定义(交点)

2、垂直关系与垂直关系互推;

两平面内分别垂直于交线的直线互相垂直 线面垂直的定义 垂直的两平面的法线互相垂直

两平面内分别垂直于交线的直线互相垂直, 则两平面垂直 线面垂直判定定理 两平面的法线垂 直则两平面垂直 面面垂直定义

面面垂直判定定理

面面垂直性质定理(需加线线垂直)

3、平行关系与垂直关系互推。 以线或面为元素,互推的本质是以某一元素为中介,通过另外两元素与中介元素的垂直或 平行关系,推导出该两元素的关系,总共有 21 种情况,能得出结论的有以下 9 种情况。 线线平行传递性:

a // b ? ? ? c // b ; a // c ?

面面平行传递性:

? // ? ? ? ? ? // ? ; ? // ? ?

? ? ?? ? 线面垂直、线面垂直 ? 线面平行: a ? ? ? ? a // ? ; a ?? ? ?
线面垂直 ? 线线平行(线面垂直性质定理) :

a ? ?? ? ? a // b ; b ???

线面垂直 ? 面面平行: a ?

a ??? ? ? ? // ? ; ??

线面垂直、面面平行 ? 线面垂直:

? // ? ? ??a ? ? ; a ? ??
a // b ? ?? b ?? ; a ? ??

线线平行、线面垂直 ? 线面垂直:

线面垂直、线面平行 ? 面面垂直:

a // ? ? ??? ? ? 。 a ? ??

备注: 另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手, 证明垂直关系时可以从最基本的 定义角度入手。

符号化语言一览表

a // b ? ? ? ?? ? // ? ? ? ? ? ? a // ? ; a ? ? ? ? a // ? ; ①线面平行 b ? ? ? ? a // ? ; a ? ?? a ? ?? a ?? ? ? ?
②线线平行: a ? ?

? ? / /? ? a ? ?? a // b ? ? ? ? a // b ? ; ; ? ? ? a ? ? a / / b ; a // c ? ? c // b ; ? ? a / /b b ? ? ? ? ? ? ? b? ? ? ? b? ? ?

a / /?

a ? ?,b ? ? ? ? // ? ? a ??? ? ? // ? ; ? ? ? // ? ; ? ③面面平行: a b ? O ? ; ? ? / / ? ? ? // ? ? a ? ?? a / /? ,b / /? ? ?

④线线垂直:

a ? ?? ??a ?b; b ? ??

? ?? ? a ? ?,b ? ? ? ? ? ⑤线面垂直: a b ? O ? ? l ? ? ; ? ? ? l ? ? a ? ? ; a ? ?,a ? l? l ? a, l ? b ? ? ?
? // ? ? a // b ? ??a ? ? ; ?? b ?? ; a ? ?? a ? ??
⑥面面垂直:二面角 900;

a // ? ? a ? ?? ??? ? ? ; ??? ? ? ; a ? ?? a ?? ?

二、立体几何中的重要方法
1、求角: (步骤-------Ⅰ找或作角;Ⅱ求角) ⑴异面直线所成角的求法: ①平移法:平移直线,构造三角形; ②补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等,发现两条异面直线间的关系. 注:还可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角.

⑵直线与平面所成的角:①直接法(利用线面角定义) ;②先求斜线上的点到平面距离 h,与斜线段长度作比,得 sin ? ;③三线三角公式 cos? ? cos?1 cos?2 . 注:还可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角.

⑶二面角的求法:①定义法:在二面角的棱上取一点(特殊点) ,作出平面角,再求解; ②垂面法:作面与二面角的棱垂直; ③投影法(三垂线定理) ;④面积摄影法. 注:对于没有给出棱的二面角,应先作出棱,然后再选用上述方法; 还可用向量法,转化为两个班平面法向量的夹角.

2、求距离: (步骤-------Ⅰ找或作垂线段;Ⅱ求距离) ⑴两异面直线间的距离:一般先作出公垂线段,再进行计算;或转化为线面距离、点面 距离; ⑵点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线段,再求解; ⑶点到平面的距离:①垂面法:借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂面是关 键) ,再求解;②等体积法;还可用向量法: d ?

| AB ? n | |n|



3、证明平行、垂直的理论途径: ①证明直线与直线的平行的思考途径: (1)转化为判定共面二直线无交点(定义) ; (2)转化为两直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行.

②证明直线与平面的平行的思考途径: (1)转化为直线与平面无公共点(定义) ; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行.

③证明平面与平面平行的思考途径: (1)转化为判定两平面无公共点(定义) ; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直.

④证明直线与直线的垂直的思考途径: (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直.

⑤证明直线与平面垂直的思考途径: (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直(定义) ; (2)转化为该直线与平面内相交的两条直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面交线垂直.

⑥证明平面与平面的垂直的思考途径: (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直.


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