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点线面位置关系知识总结,小练习


点、直线、平面之间的位置关系知识总结
公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面 内。 图形语言: 符号语言:

公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论 1:过直线和直线外一点,有且只有一个平面。 推论 2:过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论 3:过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理 3:如果两个不

重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条 过该点的公共直线。 图形语言: 符号语言:

例:如图,在三棱锥 S-ABC 的边 SA、SC、AB、BC 上分别取 E、F、 G、H,若 EF 与 GH 相交于点 P,求证:EF、GH、AC 相交于一点。
S
E

F

A
H
G

C

P

B

公理 4:平行于同一直线的两条直线互相平行。 (平行线的传递性) 定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补。

直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与平面内一条直线平行, 则该直线与此平面平行。 图形语言: 符号语言:

直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 图形语言: 符号语言:

平面与平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行,则这两个平面平行。 图形语言: 符号语言:

平面与平面平行的性质定理:如果两个平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行。 图形语言: 符号语言:

定理

定理

线线平行
性质

线面平行
性质

面面平行

交线平行

直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直,则该直线与此平面垂直。 图形语言: 符号语言:

直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 图形语言: 符号语言:

平面与平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两 个平面垂直。 图形语言: 符号语言:

平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交 线的直线与另一个平面垂直。 图形语言: 符号语言:

定理

定理

线线垂直

性质

线面垂直

性质

面面垂直

1.若直线 a 不平行于平面 ? ,则下列结论成立的是( A. ? 内所有的直线都与 a 异面; C. ? 内所有的直线都与 a 相交; 2.已知两个平面垂直,下列命题



B. ? 内不存在与 a 平行的直线; D.直线 a 与平面 ? 有公共点.

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是( A.3 B.2 C.1 ) D.0

3. 给出下列命题: (1)直线 a 与平面 ? 不平行,则 a 与平面 ? 内的所有直线都不平行; (2)直线 a 与平面 ? 不垂直,则 a 与平面 ? 内的所有直线都不垂直; (3)异面直线 a、b 不垂直,则过 a 的任何平面与 b 都不垂直; (4)若直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面 其中错误命题的个数为( A、 0 B、1 C、2 ) D、3 )条

4.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 异面的棱有( A、 3 B、 4 C、 6 D、 8 )

5.直线 a,b,c 及平面α ,β ,γ ,下列命题正确的是( A、若 a ? α ,b ? α ,c⊥a, c⊥b 则 c⊥α C、若 a//α ,α ∩β =b 则 a//b )

B、若 b ? α , a//b

则 a//α

D、若 a⊥α , b⊥α 则 a//b

6.平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是( A. ? 内有无穷多条直线与 ? 平行; C.直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 a// ? ,b// ? 7.a, b 是异面直线,下面四个命题:

B.直线 a// ? ,a// ? D. ? 内的任何直线都与 ? 平行

①过 a 至少有一个平面平行于 b; ②过 a 至少有一个平面垂直于 b; ③至多有一条直线与 a,b 都垂直;④至少有一个平面与 a,b 都平行。 其中正确命题的个数是( A 0 B 1 C ) 2 D 3

8.设 M 表示平面,a、b 表示直线,给出下列四个命题: ①
a // b ? ??b ? M a ? M?



a ? M? ? ? a // b b?M?



a ? M? ? ? b∥M a?b ?



a // M ? ? ? b⊥M. a?b ?

其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 9.下列命题中正确的是 ( ) A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面 B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面 C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平 面 10.如图所示,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点.现在沿 DE、DF 及 EF 把△ADE、△CDF 和△BEF 折起,使 A、B、C 三点重合,重合后的点记为 P.那么,在四面体 P—DEF 中,必有 ( )

第 3 题图

A.DP⊥平面 PEF B.DM⊥平面 PEF C.PM⊥平面 DEF D.PF⊥平面 DEF 11.设 a、b 是异面直线,下列命题正确的是 ( ) A.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a、b 都相交 B.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a、b 都垂直 C.过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直 D.过 a 一定可以作一个平面与 b 平行 12. 如果直线 l,m 与平面 α , β , γ 满足 :l= β ∩ γ ,l ∥ α ,m ? α 和 m ⊥ γ , 那么必有 ( ) A.α ⊥γ 且 l⊥m B.α ⊥γ 且 m∥β C.m∥β 且 l⊥m D.α ∥β 且α ⊥γ
1、 (异面直线所成角)A1B1C1—ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点 D1、F1 分别是 A1B1、
B1 D1 F1 A1

A1C1 的中点。若 BC=CA=CC1,求 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是

C1 B C A

2、 (二面角) 空间四边形 ABCD, AB=AD=BC=CD=BD=4, AC=6, 求二面角 A-BD-C。
A

D B

C

1、如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中,点 E 是 PD 的中点.
求证:PB//平面 AEC;
P

E A B D C

2、在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BC、 C1 D1 的中点。 求证:EF∥平面 BB1 D1 D 。

3、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C 1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 为 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的中点,求证:平面 D1 BQ //平面 PAO。

4 、 经 过 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 棱 BB1 作 平 面 交 平 面 AA1 D1 D 于 E1 E , 求 证 :

EE1 // B1 B .

5、 用平行于四面体 ABCD 的一组对棱 AB、CD 的平面截此四面体

(1)求证:所得截面 MNPQ 是平行四边形; (2)如果 AB=CD=a,求证:四边形 MNPQ 的周长为定值。

A Q M B N P C D

6、如图所示,PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点.

(1)求证:MN∥平面 PAD. (2)求证:MN⊥CD. (3)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD.

7、证明:正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, A1C ? 平面 BC1 D 。
D1
A1
D

C1 B1

C

A

B


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