点线面位置关系知识总结,小练习

点、直线、平面之间的位置关系知识总结
公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面 内。 图形语言： 符号语言：

公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论 1：过直线和直线外一点，有且只有一个平面。 推论 2：过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论 3：过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条 过该点的公共直线。 图形语言： 符号语言：

例：如图，在三棱锥 S-ABC 的边 SA、SC、AB、BC 上分别取 E、F、 G、H，若 EF 与 GH 相交于点 P，求证：EF、GH、AC 相交于一点。
S
E

F

A
H
G

C

P

B

公理 4：平行于同一直线的两条直线互相平行。 （平行线的传递性） 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或 互补。

直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行， 则该直线与此平面平行。 图形语言： 符号语言：

直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 图形语言： 符号语言：

平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行。 图形语言： 符号语言：

平面与平面平行的性质定理：如果两个平面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行。 图形语言： 符号语言：

定理

定理

线线平行
性质

线面平行
性质

面面平行

交线平行

直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直。 图形语言： 符号语言：

直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 图形语言： 符号语言：

平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两 个平面垂直。 图形语言： 符号语言：

平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交 线的直线与另一个平面垂直。 图形语言： 符号语言：

定理

定理

线线垂直

性质

线面垂直

性质

面面垂直

1.若直线 a 不平行于平面 ? ，则下列结论成立的是（ A. ? 内所有的直线都与 a 异面； C. ? 内所有的直线都与 a 相交； 2.已知两个平面垂直，下列命题

）

B. ? 内不存在与 a 平行的直线； D.直线 a 与平面 ? 有公共点.

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ A.3 B.2 C.1 ） D.0

3. 给出下列命题： （1）直线 a 与平面 ? 不平行，则 a 与平面 ? 内的所有直线都不平行； （2）直线 a 与平面 ? 不垂直，则 a 与平面 ? 内的所有直线都不垂直； （3）异面直线 a、b 不垂直，则过 a 的任何平面与 b 都不垂直； （4）若直线 a 和 b 共面，直线 b 和 c 共面，则 a 和 c 共面 其中错误命题的个数为（ A、 0 B、1 C、2 ） D、3 ）条

4．正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，与对角线 AC1 异面的棱有（ A、 3 B、 4 C、 6 D、 8 ）

5.直线 a,b,c 及平面α ,β ,γ ,下列命题正确的是（ A、若 a ? α ，b ? α ,c⊥a, c⊥b 则 c⊥α C、若 a//α ,α ∩β =b 则 a//b ）

B、若 b ? α , a//b

则 a//α

D、若 a⊥α , b⊥α 则 a//b

6.平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是（ A. ? 内有无穷多条直线与 ? 平行； C.直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 a// ? ,b// ? 7.a, b 是异面直线，下面四个命题：

B.直线 a// ? ,a// ? D. ? 内的任何直线都与 ? 平行

①过 a 至少有一个平面平行于 b； ②过 a 至少有一个平面垂直于 b； ③至多有一条直线与 a，b 都垂直；④至少有一个平面与 a，b 都平行。 其中正确命题的个数是（ Ａ ０ Ｂ １ Ｃ ） ２ Ｄ ３

8.设 M 表示平面，a、b 表示直线，给出下列四个命题： ①
a // b ? ??b ? M a ? M?

②

a ? M? ? ? a // b b?M?

③

a ? M? ? ? b∥M a?b ?

④

a // M ? ? ? b⊥M. a?b ?

其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 9.下列命题中正确的是 ( ) A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平 面 10.如图所示，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点.现在沿 DE、DF 及 EF 把△ADE、△CDF 和△BEF 折起，使 A、B、C 三点重合，重合后的点记为 P.那么，在四面体 P—DEF 中，必有 ( )

第 3 题图

A.DP⊥平面 PEF B.DM⊥平面 PEF C.PM⊥平面 DEF D.PF⊥平面 DEF 11.设 a、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a、b 都相交 B.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a、b 都垂直 C.过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直 D.过 a 一定可以作一个平面与 b 平行 12. 如果直线 l,m 与平面 α , β , γ 满足 :l= β ∩ γ ,l ∥ α ,m ? α 和 m ⊥ γ , 那么必有 ( ) A.α ⊥γ 且 l⊥m B.α ⊥γ 且 m∥β C.m∥β 且 l⊥m D.α ∥β 且α ⊥γ
1、 （异面直线所成角）A1B1C1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点 D1、F1 分别是 A1B1、
B1 D1 F1 A1

A1C1 的中点。若 BC=CA=CC1，求 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是

C1 B C A

2、 （二面角） 空间四边形 ABCD， AB=AD=BC=CD=BD=4， AC=6， 求二面角 A-BD-C。
A

D B

C

1、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中，点 E 是 PD 的中点.
求证：PB//平面 AEC；
P

E A B D C

2、在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BC、 C1 D1 的中点。 求证：EF∥平面 BB1 D1 D 。

3、如图，在正方体 ABCD ? A1B1C 1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 为 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的中点，求证：平面 D1 BQ //平面 PAO。

4 、 经 过 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 棱 BB1 作 平 面 交 平 面 AA1 D1 D 于 E1 E ， 求 证 ：

EE1 // B1 B .

5、 用平行于四面体 ABCD 的一组对棱 AB、CD 的平面截此四面体

(1)求证：所得截面 MNPQ 是平行四边形； (2)如果 AB=CD=a，求证：四边形 MNPQ 的周长为定值。

A Q M B N P C D

6、如图所示，PA⊥矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点.

(1)求证：MN∥平面 PAD. (2)求证：MN⊥CD. (3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面 PCD.

7、证明：正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， A1C ? 平面 BC1 D 。
D1
A1
D

C1 B1

C

A

B