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河南省扶沟县包屯高级中学2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题


包屯高中 2014—2015 学年度下期期末考试
高二数学(理科) 注意事项: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试时间 120 分钟,满分 150 分。考生首先阅读答题卷上的文字信息, 然后在机读卡上作答 第Ⅰ卷、答题卷上作答第Ⅱ卷,在试题卷上作答无效。交卷时只交机读卡和答 题卷。 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分

.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1.已知复数 Z= A.第一象限
1 ,则 Z 在复平面上对应的点在 1? i

B.第二象限

C.第三象限

.

D 第四象限

2.在两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同的模型,它们的相关 指数 R2 如下,其中拟合效果最好的是( A.模型 1 的相关指数 R2 为 0.98 C.模型 3 的相关指数为 0.50 3.如果随机变量 ? ~ N ?2, A.0.7 4.用反证法证明“若 设”应为 A.假设 a,b,c 至少有一个大于 1 C.假设 a,b,c 至少有两个大于 1 5.下列求导正确的是( ) B. ? D.
log 2
x

) B. 模型 2 的相关指数 R2 为 0.80 D.模型 4 的相关指数为 0.25

? ? ? ,且 P ? ?3 ? ? ? ?1? ? 0.4 ,则 P ? ?1 ? ? ? ?
2

B.0.6
a?b?c ? 3

C.0.3

D.0.2

,则 a,b,c 中至少有一个小于 1”时, “假

B.假设 a,b,c 都大于 1 D.假设 a,b,c 都不小于 1

1? 1 ? x ? ? ' ? 1? 2 A. ? x? ? x
C.

?

'

log 2 e ? x

?3 ? ? 3 log
x ' x

3

e

? sin

3

2 x ? ' ? 6sin 2 2 x

1

1 6.小王通过英语听力测试的概率是 , 他连续测试 3 次, 那么其中恰有 1 次获得 3

通过的概率是(
A. 4 9

) C.
4 27

B.

2 9

D.

2 27
? ? ?

7.下列几个说法:①由样本数据得到的线性回归方程 y ? b x ? a ,则回归直线必 过样本点的中心 x, y ;②对于随机变量 ? ,? ,若? ? 2? ? 1 ,则

? ?

E ?? ? ? 2E ?? ? ?1, D ?? ? ? 2D ?? ? ; ③袋里有 5 个红球, 4 个黑球, 从中任取 4 个. 若
X 表示其中的红球个数,则随机变量 X 服从超几何分布,
4? k C5k C4 且 P? X ? k? ? (k=0,1,2,3,4).其中正确命题的个数是( C9k



A.3

B. 2

C.1

D.0

8. 用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40000 大的 偶数共有( (A)144 个 9. 若( x ? A.4
1 2 x
3

) (B)120 个 (C)96 个 (D)72 个 )

) n 的展开式中第四项为常数项,则 n=(

B.5

C.6

D.7

10. 已知 f ? x ? ? 3x ? 2xf ? ?1? ,则曲线 f ? x ? 在 x ? 0 处的切线在 x 轴上的截距为 ( ) B. 5 ln 3 C. ?5ln 3 D.

A.1

1 5ln 3

11. 某人从标有 1、2、3、4 的四张卡片中任意抽取两张,约定如下:如果出现 两个偶数或两个奇数,就将两数相加的和记为 ? ;如果出现一奇一偶,则将它们 的差的绝对值记为 ? ,则随机变量 ? 的数学期望为( A.
3 10



B.

8 3

C.

7 3

D.2

12.设随机变量 X~B (2, P) , 随机变量 Y~B (3, P) , 若P (X≥1) = , 则P (Y≥1) 等于( )

2

A.

19 27

B.

5 9

C.

7 9

D.

7 25

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题卷的 相应位置。 )
2 13. ? 0 ( x ? 1)dx ?

. .(用数字填写答案)

1 14. ( x 3 ? ) 7 的展开式中 x5 的系数是 x

15.在三次独立重复试验中,事件 A 在每次试验中发生的概率相同,若事件 A 至少发生一次的概率为 16.观察下列各式:
63 ,则事件 A 恰好发生一次的概率为_____ 64

C0 1? 4

0

0 1 C3 ? C3 ? 41 0 1 2 C5 ? C5 ? C5 ? 42 ; 0 1 2 3 C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? 43

??

照此规律,当 n ? N 时,
0 1 2 n?1 C2 n?1 ? C2n?1 ? C2n?1 ? ?? C2n?1 ?

.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分。其中前 5 题每题 12 分,最后一题 14 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 已知复数 z ? a ? bi(a, b ? R) ,且 a ? ? i ? 1? a ? 3b ? 2i ? 0 。
2

(I)求复数 z ;
m ? R ,求实数 m 的值。 z 18.(本小题满分 12 分)某同学参加科普知识竞赛需回答 3 个问题,竞赛规则

(II)若 z ?

规定: 答对第 1、 2、 3 个问题分别得 100 分、 100 分、 200 分, 答错得零分. 假 设这名同学答对第 1、2、3 个问题的概率分别为 0.8、0.7、0.6.且各题答 对与否相互之间没有影响. (1)求这名同学得 300 分的概率; (2)求这名同学至少得 300 分的概率.
3

20. (本小题满分 12 分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,为了解 某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下 列表: 喜爱打篮 球 男生 女生 合计 10 50 不喜爱打篮 球 5 合计

3 已知在全班 50 人中随机抽取 1 人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . 5

(1)请将上表补充完整(不用写计算过程); (2)能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关? 说明你的理由. 21. 为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其 中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自 同一个协会”求事件 A 发生的概率; (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学 期望. 22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ln
1? x . 1? x

(Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程
1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? (Ⅱ)求证:当 x ? ? 0 ,
? ? x3 ? ? 3?

4

包屯高中 2014—2015 学年度下期高二期末考试 理科数学试题答案 一、 选择题: DACDB 6—10 ABBBD 11—12 BA

1—5

二、填空题: 13. 【答案】 0 . 14. 【答案】 35 15. 【答案】
9 64

16. 【答案】 4 n ?1 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分。其中前 5 题每题 12 分,最后一题 14 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 已知复数 z ? a ? bi(a, b ? R) ,且 a ? ? i ? 1? a ? 3b ? 2i ? 0 。
2

(I)求复数 z ; (II)若 z ?
m ? R ,求实数 m 的值。 z

18.(本小题满分 12 分)某同学参加科普知识竞赛需回答 3 个问题,竞赛规则 规定: 答对第 1、 2、 3 个问题分别得 100 分、 100 分、 200 分, 答错得零分. 假 设这名同学答对第 1、2、3 个问题的概率分别为 0.8、0.7、0.6.且各题答 对与否相互之间没有影响. (1)求这名同学得 300 分的概率; (2)求这名同学至少得 300 分的概率.
5

【解析】[记“这名同学答对第 i 个问题”为事件 Ai(i=1,2,3),则 P(A1) =0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6. (1)这名同学得 300 分的概率为: P1=P(A1- A 2A3)+P(- A 1A2A3) =P(A1)P(- A 2)P(A3)+P(- A 1)P(A2)P(A3) =0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.228. (2)这名同学至少得 300 分的概率为: P2=P1+P(A1A2A3)=P1+P(A1)P(A2)P(A3) =0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.

20. (本小题满分 12 分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,为了解 某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下 列表: 喜爱打篮 球 男生 女生 合计 10 50 不喜爱打篮 球 5 合计

3 已知在全班 50 人中随机抽取 1 人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . 5

6

(1)请将上表补充完整(不用写计算过程); (2)能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关? 说明你的理由.下面的临界值表供参考: 可能用到的公式: K 2 ? 量. P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

n(ad ? bc)2 其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

【解析】 (1) 列联表补充如下: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 (2)∵ K 2 ? 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

50 ? (20 ?15 ? 10 ? 5)2 ? 8.333 ? 7.879 30 ? 20 ? 25 ? 25

∴在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下,认为喜爱打篮球与性别有关. 21. 为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其 中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自 同一个协会”求事件 A 发生的概率; (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学 期望. 【解析】(I)由已知,有
2 2 2 2 C2 C3 ? C3 C3 6 P( A) ? ? 4 C8 35

7

所以事件 A 发生的概率为

6 . 35

(II)随机变量 X 的所有可能取值为 1, 2, 3, 4

P?X ? k? ?
所以随机变量 X 的分布列为

k 4?k C5 C3 (k ? 1,2,3,4) C84

X P

1
1 14

2

3

4

3 3 1 7 7 14 1 3 3 1 5 所以随机变量 X 的数学期望 E ? X ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 14 7 7 14 2

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ln

(Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程
1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? (Ⅱ)求证:当 x ? ? 0 ,
? ? x3 ? ? 3?

1? x . 1? x















f(x ) ? ln

1?x 2 ,x ? (?1,1),f ? (x ) ? ,f ? (0) ? 2,f(0) ? 0 , 曲 线 1?x 1 ? x2

y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程为 2x ? y ? 0 ;
1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? (Ⅱ)当 x ? ? 0 ,
? ?

x x3 ? (x ? ) ? 0 ,对 ? ,即不等式 f(x ) ? 2 3? 3

3

?x ? (0,1)成立,

设 F(x ) ? ln

1?x x3 x3 ?2 (x ? ) ? ln(1 ? x ) ? ln(1 ? x ) ? 2 (x ? ), 1?x 3 3

(x ) ? 则F ?

2x 4 1? 时, F ? (x ) ? 0 ,故 F (x )在(0,1)上为增 ,当 x ? ? 0 , 1 ? x2

(x ? 函数,则 F(x ) ? F(0) ? 0 ,因此对 ?x ? (0,1), f(x ) ? 2

x3
3

)成立

8


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