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2016届安徽省皖南八校高考数学三模试卷(文科)解析版


2016 年安徽省皖南八校高考数学三模试卷(文科)
一、选择题本大题 12 小题,每小 5 分,共 60 分 1. (5 分) (2016?安徽三模)集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6},则 A∩B=( A.{1,3} B.{2,4} C.{3,6} D.{1,2} 2. (5 分) (2016?安徽三模)复数 在复平面上对应的点位于( )



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. (5 分) (2016?安徽三模)“x≠y”是“|x|≠|y|”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. (5 分) (2016?安徽三模)将函数 f(x)=2sin(2x﹣ 得到函数 g(x)的图象,则 g(0)=( A. B.2 C.0 D.﹣ 5. (5 分) (2016?安徽三模)已知向量| |= ﹣ |=( A. B. ) C. D. )



)的图象向左平移

个单位,

,| |=

,若 , 间的夹角为

,则|4

6. (5 分) (2016?安徽三模)实数 x,y 满足条件

,则目标函数 z=x+2y 的

最大值为( A.5 B.4

) C.﹣1 D.

7. (5 分) (2016?安徽三模)某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前 5 各月甲胶囊 生产产量(单位:万盒)的数据如表所示. 1 2 3 4 5 x(月份) 5 5 6 6 8 y(万盒) 若 x, y 线性相关, 线性回归方程为 =0.7x+ , 估计该制药厂 6 月份生产甲胶囊产量为 ( A.8.1 万盒 B.8.2 万盒 C.8.9 万盒 D.8.6 万盒 8. (5 分) (2016?安徽三模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=5,a7=1,则 a1= ( ) A.﹣ B.﹣1 C. D. )

9. (5 分) (2016?安徽三模)一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 ( )

A.

B.7

C.14

D.28
2

10. (5 分) (2016?安徽三模)已知抛物线 x =4y 的焦点为 F,其上有两点 A(x1,y1) ,B (x2,y2)满足|AF|﹣|BF|=2,则 y1+x ﹣y2﹣x =( )

A.4 B.6 C.8 D.10 11. (5 分) (2016?安徽三模)已知三棱锥 A﹣BCD 的四个顶点 A、B、C、D 都在球 O 的表 面上,AC⊥平面 BCD,BC⊥CD,且 AC= ,BC=2,CD= ,则球 O 的表面积为( )

A.12π B.7π

C.9π

D.8π < 恒成立,

12. (5 分) (2016?安徽三模)已知 x∈(0,2) ,关于 x 的不等式 则实数 k 的取值范围为( ) A.[0,e+1) B.[0,2e﹣1) C.[0,e) D.[0,e﹣1) 二、填空题本大题共 4 小题每小题 5 分共 20 分

13. (5 分) (2016?安徽三模)已知 sinα= ,α 是第二象限角,则 tan(π﹣α)= 14. (5 分) (2016?安徽三模)运行如图所示的程序框图,输出的结果为 .



15. (5 分) (2016?安徽三模)已知正项等比数列{an}满足 log2an+2﹣log2an=2,且 a3=8,则 数列{an}的前 n 项和 Sn= . 16. (5 分) (2016?安徽三模)已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)= +4loga ,其中

﹣ ≤x≤ ,则函数 f(x)的最大值与最小值之和为



三、解答题共 6 题每题 12 分,共 70 分

17. (12 分) (2016?安徽三模)已知向量 =( ,﹣sinx) , =(1,sinx+ 函数 f(x)= ? .

cosx) ,x∈R,

(I)求 f(x)的最小正周期及值域; (2)已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A)=0,a= ,bc=2,求 △ABC 的周长. 18. (12 分) (2016?安徽三模)第 47 届联合国大会于 1993 年 1 月 18 日通过 193 号决议, 确定自 1993 年起,每年的 3 月 22 日为“世界水日”,依次推动对水资源进行进行综合性统筹 规划和管理,加强水资源保护,解决日益严重的水问题.某研究机构为了了解各年龄层的居 民对“世界水日”的了解程度,随机抽取了 300 名年龄在[10,60]的公民进行调查,所得结果 统计为如图的频率分布直方图. (Ⅰ)求抽取的年龄在[30,40)内的居民人数; (Ⅱ) 若按照分层抽样的方法从年龄在[10, 20) 、 [50, 60]的居民中抽取 6 人进行知识普及, 并在知识普及后再抽取 2 人进行测试,求进行测试的居民中至少有 1 人的年龄在[50,60] 内的概率.

19. (12 分) (2016?安徽三模)如图所示,四棱锥 S﹣ABCD 的底面四边形 ABCD 为平行四 边形,其中 AC⊥BD,且 AC、BD 相交于 O,∠SBC=∠SBA. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 SBD; (Ⅱ)若 AC=AB=SB=2,∠SBD=60°,点 M 是 SB 中点,求三棱锥 A﹣BMC 的体积.

20. (12 分) (2016?安徽三模)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)和圆 D:x +y =b 分别

2

2

2

与射线 y=x(x≥0)交于 A、B 两点,且|OA|=

|OB|=

(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若不经过原点 O 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于 M、N 两点,且 S△ OMN=1,证明: 线段 MN 中点 P(x0,y0)的坐标满足 x +4y =2.
2

21. (12 分) (2016?安徽三模)已知函数 f(x)=ax +xlnx. (Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)的在(e,f(e)处的切线方程; (Ⅱ)若 a=﹣e,证明:方程 2|f(x)|﹣3x=2lnx 无解.

[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?安徽三模)如图,△ABC 的边 AB、BC 与⊙O 交于 A、D、E、C 四点, 且 AC=BE,∠ADC=∠BDE. (Ⅰ)求证:CD 平分∠ACB; (Ⅱ)若 2BE=3DE=3,求 BC 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. (2016?安徽三模)在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立坐标系,已知直线 l 上两点 M、N 的极坐标分别为(3,π) , ( , ) .

(Ⅰ)设 P 为线段 MN 上的动点,求线段 OP 取得最小值时,点 P 的直角坐标; (Ⅱ)求以 MN 为直径的圆 C 的参数方程,并求在(Ⅰ)的条件下直线 OP 与圆 C 相交所 得的弦长. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?安徽三模)已知函数 f(x)=|x+1|﹣|x﹣3|. (Ⅰ)解不等式 f(x)≥1; (Ⅱ)若存在 x∈R,使 f(x)>|2a﹣4|,求实数 a 的取值范围.

2016 年安徽省皖南八校高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题本大题 12 小题,每小 5 分,共 60 分 1. (5 分) (2016?安徽三模)集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6},则 A∩B=( A.{1,3} B.{2,4} C.{3,6} D.{1,2} 【分析】由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵A={1,2,3,4},B={2,4,6}, ∴A∩B={2,4}, 故选:B. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.



2. (5 分) (2016?安徽三模)复数

在复平面上对应的点位于(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【分析】根据复数的运算性质计算即可. 【解答】解: = = =﹣ ﹣ i,

故选:C. 【点评】本题考复数的运算,熟练掌握运算性质是解题的关键. 3. (5 分) (2016?安徽三模)“x≠y”是“|x|≠|y|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】由“x≠y”推不出“|x|≠|y|”,例如 x=1,y=﹣1.由“|x|≠|y|”,一定有 x≠y.即 可判断出结论. 【解答】解:由“x≠y”推不出“|x|≠|y|”,例如 x=1,y=﹣1.由“|x|≠|y|”,一定有 x≠y. 因此“|x|≠|y|”是“|x|≠|y|”的必要不充分条件. 故选;B. 【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属 于基础题.

4. (5 分) (2016?安徽三模)将函数 f(x)=2sin(2x﹣

)的图象向左平移

个单位,

得到函数 g(x)的图象,则 g(0)=( ) A. B.2 C.0 D.﹣ 【分析】由条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得所得图象对应的函数的解 析式 g(x)=2sin(2x+ ) ,再利用特殊角三角函数函数值计算即可得解. )的图象向左平移 个单位长度,

【解答】解:将函数 f(x)=2sin(2x﹣

所得图象对应的函数的解析式为 g(x)=2sin[2(x+ 则 g(0)=2sin = .

)﹣

]=2sin(2x+

) ,

故选:A. 【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,特殊角的三角函数值的应用, 体现了转化的数学思想,属于基础题.

5. (5 分) (2016?安徽三模)已知向量| |= ﹣ |=( A. B. ) C. D.

,| |=

,若 , 间的夹角为

,则|4

【分析】由 【解答】解:∵| |= ∴|4 ﹣ |= = ,| |=

,然后展开数量积公式求解. , , 间的夹角为 ,

=



故选:C. 【点评】本题考查平面向量的数量积运算,关键是熟记数量积公式,是基础题.

6. (5 分) (2016?安徽三模)实数 x,y 满足条件

,则目标函数 z=x+2y 的

最大值为( A.5 B.4

) C.﹣1 D.

【分析】 画出满足条件的平面区域, 求出角点的坐标, 结合函数的图象求出 z 的最大值即可. 【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:





,解得 A(1,2) ,

由 z=x+2y 得:y=﹣ x+ , 显然直线过 A(1,2)时,z 最大,z 的最大值是 5, 故选:A. 【点评】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道中档题. 7. (5 分) (2016?安徽三模)某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前 5 各月甲胶囊 生产产量(单位:万盒)的数据如表所示. 1 2 3 4 5 x(月份) 5 5 6 6 8 y(万盒) 若 x, y 线性相关, 线性回归方程为 =0.7x+ , 估计该制药厂 6 月份生产甲胶囊产量为 ( A.8.1 万盒 B.8.2 万盒 C.8.9 万盒 D.8.6 万盒 【分析】求出样本中心,代入回归方程得出 ,从而得出回归方程,令 x=6 计算 即可. 【解答】解: =3, =6, ∴6=0.7×3+ ,解得 =3.9. )

∴回归方程为 =0.7x+3.9. 当 x=6 时, =0.7×6+3.9=8.1. 故选 A. 【点评】本题考查了线性回归方程经过样本中心的特点,属于基础题. 8. (5 分) (2016?安徽三模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=5,a7=1,则 a1= ( ) A.﹣ B.﹣1 C. D.

【分析】设该等差数列的公差为 d,则根据通项公式和前 n 项和公式列出关于 a1、d 的方程 组,通过解方程组即可得到答案. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d,则 ,

解得



故选:B. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前 n 项和,是基础题.

9. (5 分) (2016?安徽三模)一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 ( )

A.

B.7

C.14

D.28

【分析】正视图和侧视图的高是几何体的高,由俯视图可以确定几何体底面的形状,即可得 出结论. 【解答】解:几何体为长宽高分别为 4,2,2 的长方体,挖去一个底面为腰长为 的等腰 直角三角形,高为 2 的直棱柱, ∴几何体的体积为 4× =14,

故选:C. 【点评】本题主要考查三视图的基础知识,和几何体积的计算,属于容易题. 10. (5 分) (2016?安徽三模)已知抛物线 x =4y 的焦点为 F,其上有两点 A(x1,y1) ,B (x2,y2)满足|AF|﹣|BF|=2,则 y1+x ﹣y2﹣x =( )
2

A.4 B.6 C.8 D.10 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义可得 y1﹣y2=2,结合点在抛物 线上,满足抛物线的方程,计算即可得到所求值. 2 【解答】解:抛物线 x =4y 的焦点为 F(1,0) ,准线为 y=﹣1, 2 2 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,可得 x1 =4y1,x2 =4y2, 由抛物线的定义可得|AF|﹣|BF|=(y1+1)﹣(y2+1)=2, 即为 y1﹣y2=2, 则 y1+x ﹣y2﹣x =(y1﹣y2)+4y1﹣4y2=5(y1﹣y2)=10.

故选:D. 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质,主要是定义法的运用,考查运算能力,属于 基础题. 11. (5 分) (2016?安徽三模)已知三棱锥 A﹣BCD 的四个顶点 A、B、C、D 都在球 O 的表 面上,AC⊥平面 BCD,BC⊥CD,且 AC= ,BC=2,CD= ,则球 O 的表面积为( )

A.12π B.7π C.9π D.8π 【分析】证明 BC⊥平面 ACD,三棱锥 S﹣ABC 可以扩充为 AC,BC,DC 为棱的长方体, 外接球的直径为体对角线, 可得三棱锥的外接球的半径, 即可求出三棱锥的外接球的表面积. 【解答】解:由题意,AC⊥平面 BCD,BC? 平面 BCD, ∴AC⊥BC, ∵BC⊥CD,AC∩CD=C, ∴BC⊥平面 ACD, ∴三棱锥 S﹣ABC 可以扩充为以 AC,BC,DC 为棱的长方体,外接球的直径为体对角线, 2 2 2 2 ∴4R =AC +BC +CD =12, ∴R= 2 ∴球 O 的表面积为 4πR =12π, 故选:A. 【点评】本题考查三棱锥的外接球的表面积,考查学生的计算能力,证明 BC⊥平面 ACD 关键.

12. (5 分) (2016?安徽三模)已知 x∈(0,2) ,关于 x 的不等式 则实数 k 的取值范围为( ) A.[0,e+1) B.[0,2e﹣1) C.[0,e) D.[0,e﹣1) 【分析】根据题意显然可知 k≥0,整理不等式得出 k< =
2



恒成立,

+x ﹣2x,利用构造函数 f(x)

2

+x ﹣2x,通过导函数得出函数在区间内的单调性,求出函数的最小值即可.
2 2

【解答】解:依题意,k+2x﹣x >0,即 k>x ﹣2x 对任意 x∈(0,2)都成立, ∴k≥0, ∵ < ,

∴k<

+x ﹣2x,
2

2

令 f(x)=

+x ﹣2x,f'(x)=

+2(x﹣1)=(x﹣1) (

+2) ,

令 f'(x)=0,解得 x=1, 当 x∈(1,2)时,f'(x)>0,函数递增, 当 x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数递减, ∴f(x)的最小值为 f(1)=e﹣1, ∴0≤k<e﹣1, 故选:D. 【点评】考查了构造函数,利用导函数求函数的单调性和函数的最值. 二、填空题本大题共 4 小题每小题 5 分共 20 分

13. (5 分) (2016?安徽三模)已知 sinα= ,α 是第二象限角,则 tan(π﹣α)=



【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式,以及三角函数在各个象限中的符号,求 得要求式子的值. 【解答】解:∵sinα= ,α 是第二象限角,∴cosα=﹣ =﹣ ,

则 tan(π﹣α)=﹣tanα=﹣

=

=



故答案为:



【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式,以及三角函数在各个象限中的 符号,属于基础题. 14. (5 分) (2016?安徽三模)运行如图所示的程序框图,输出的结果为 7 .

【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 S,i 的值,当 S=0 时,满足条件 S≤0, 退出循环,输出 i 的值为 7. 【解答】解:模拟执行程序,可得 i=1,S=273 执行循环体,S=270,i=3 不满足条件 S≤0,执行循环体,S=243,i=5 不满足条件 S≤0,执行循环体,S=0,i=7 满足条件 S≤0,退出循环,输出 i 的值为 7. 故答案为:7. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的 S,i 的值是解题 的关键,属于基础题. 15. (5 分) (2016?安徽三模)已知正项等比数列{an}满足 log2an+2﹣log2an=2,且 a3=8,则 n+1 数列{an}的前 n 项和 Sn= 2 ﹣2 . 【分析】利用对数的运算性质可知 的求和公式计算即得结论. 【解答】解:∵log2an+2﹣log2an=2, ∴log2 =2,即 =4, ,进而可得分别计算出公比和首项,利用等比数列

又∵数列{an}为正项等比数列, ∴q= =2,

∴a1=

=2,

∴数列{an}时首项、公比均为 2 的等比数列, ∴Sn=
n+1

=2

n+1

﹣2,

故答案为:2 ﹣2. 【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于 基础题.

16. (5 分) (2016?安徽三模)已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=

+4loga

,其中

﹣ ≤x≤ ,则函数 f(x)的最大值与最小值之和为 8 . 【分析】由函数 g(x)是奇函数,得到函数 f(x)图象关于(0,4)原点对称,由此得到 最值. 【解答】解:依题意,f(x)=4+ +4loga ,

令 g(x)=

+4



可知 g(﹣x)=﹣g(x) , 故 g(x)函数的图象关于原点对称, 故函数 f(x)关于(0,4)对称, 故函数 f(x)的最大值与最小值之和为 8. 故答案为:8 【点评】本题考查函数平移,函数的奇偶性,由此得到最值. 三、解答题共 6 题每题 12 分,共 70 分 17. (12 分) (2016?安徽三模)已知向量 =( ,﹣sinx) , =(1,sinx+ 函数 f(x)= ? . (I)求 f(x)的最小正周期及值域; (2)已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A)=0,a= △ABC 的周长. 【分析】 (1)由向量和三角函数化简可得 f(x)=1+cos(2x+ (2)由(1)的结果和三角形的值易得 A= 周长. ,bc=2,求 cosx) ,x∈R,

) ,可得值域和周期;

,由余弦定理整体可得 b+c 的值,可得三角形

【解答】解: (1)∵向量 =( ,﹣sinx) , =(1,sinx+ ∴f(x)= ? = ﹣sinx(sinx+ = ﹣ (1﹣cos2x)﹣ =1+cos(2x+ 周期为 T= cosx)= ﹣sin x﹣ sin2x
2

cosx) ,x∈R,

sinxcosx

sin2x=1+ cos2x﹣

) ,故函数的值域为[0,2], =π; )=0, ,

(2)∵在△ABC 中 f(A)=1+cos(2A+ ∴cos(2A+ )=﹣1,即 2A+
2 2

=π,解得 A=
2 2

又 a= ,bc=2,∴3=b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣bc 2 2 =(b+c) ﹣3bc=(b+c) ﹣6,解得 b+c=3, ∴△ABC 的周长为 a+b+c=3+ . 【点评】本题考查三角函数恒等变换,涉及向量的数量积和余弦定理解三角形,属中档题. 18. (12 分) (2016?安徽三模)第 47 届联合国大会于 1993 年 1 月 18 日通过 193 号决议, 确定自 1993 年起,每年的 3 月 22 日为“世界水日”,依次推动对水资源进行进行综合性统筹 规划和管理,加强水资源保护,解决日益严重的水问题.某研究机构为了了解各年龄层的居 民对“世界水日”的了解程度,随机抽取了 300 名年龄在[10,60]的公民进行调查,所得结果 统计为如图的频率分布直方图. (Ⅰ)求抽取的年龄在[30,40)内的居民人数; (Ⅱ) 若按照分层抽样的方法从年龄在[10, 20) 、 [50, 60]的居民中抽取 6 人进行知识普及, 并在知识普及后再抽取 2 人进行测试,求进行测试的居民中至少有 1 人的年龄在[50,60] 内的概率.

【分析】 (Ⅰ)由频率分布直方图,先求出年龄在[30,40)内的频率,由此能求出抽取的年 龄在[30,40)内的居民人数. (Ⅱ)依题意年龄在[10,20) 、[50,60)分别抽取 4 人和 2 人,记年龄在[10,20)内的人 为 A,B,C,D,年龄在[50,60)内的人为 1,2,进行测试的居民中至少有 1 人的年龄在 [50,60]内的概率. 【解答】解: (Ⅰ)由频率分布直方图,得: 年龄在[30,40)内的频率 P=1﹣(0.02+0.025+0.015+0.01)×10=0.3, 故所求居民人数为 300×0.3=90. (Ⅱ)依题意年龄在[10,20) 、[50,60)分别抽取 4 人和 2 人, 记年龄在[10,20)内的人为 A,B,C,D,

年龄在[50,60)内的人为 1,2, 故抽取 2 人进行测试,所有的情况为: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,1) , (A,2) , (B,C) , (B,D) , (B,1) , (B,2) , (C,D) , (C,1) , (C,2) , (D,1) , (D,2) , (1,2) ,共 15 种, ∴进行测试的居民中至少有 1 人的年龄在[50, 60]内包含的基本事件的情况有: (A, 1) , (A, 2) , (B,1) , (B,2) , (C,1) , (C,2) , (D,1) , (D,2) , (1,2) ,共 9 种, 进行测试的居民中至少有 1 人的年龄在[50,60]内的概率 p= = = .

【点评】 本题考查频率分布直方图的应用, 考查概率的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意列举法的合理运用. 19. (12 分) (2016?安徽三模)如图所示,四棱锥 S﹣ABCD 的底面四边形 ABCD 为平行四 边形,其中 AC⊥BD,且 AC、BD 相交于 O,∠SBC=∠SBA. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 SBD; (Ⅱ)若 AC=AB=SB=2,∠SBD=60°,点 M 是 SB 中点,求三棱锥 A﹣BMC 的体积.

【分析】 (Ⅰ)由已知平行四边形中 AC⊥BD,可得四边形 ABCD 为菱形,故 AB=BC,然 后证明△ABS≌△CBS,得到 SA=AC,结合 AO=CO,可得 SO⊥AC,再由线面垂直的判定 可得 AC⊥平面 SBD; (Ⅱ)由题意可得△ABC 是等边三角形,求出三角形 ABC 的面积,过点 M 作 MN⊥BD, 垂足为点 N,结合(Ⅰ)可知 MN⊥平面 ABCD,求解直角三角形得到 MN 的长度,然后利 用等积法求得三棱锥 A﹣BMC 的体积. 【解答】 (Ⅰ)证明:依题意,平行四边形 ABCD 中,AC⊥BD, 故四边形 ABCD 为菱形,故 AB=BC, ∵AB=BC,∠SBC=∠SBA,SB=SB, ∴△ABS≌△CBS, ∴SA=AC, ∵AO=CO,故 SO⊥AC, 又 AC⊥BD,SO∩BD=O,SO? 平面 SBD,BD? 平面 SBD, 故 AC⊥平面 SBD; (Ⅱ)解:依题意,△ABC 是等边三角形,AC=BC=2, ∴ ,

过点 M 作 MN⊥BD,垂足为点 N, 由(Ⅰ)知 MN⊥AC, 故 MN⊥平面 ABCD, 在 Rt△MBN 中,MN=MBsin60°= ,

故三棱锥 A﹣BMC 的体积为



【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,考查棱锥、棱锥及棱台体积的求法,训练了等积 法求三棱锥的体积,考查空间想象能力和思维能力,是中档题.

20. (12 分) (2016?安徽三模)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)和圆 D:x +y =b 分别

2

2

2

与射线 y=x(x≥0)交于 A、B 两点,且|OA|= (I)求椭圆 C 的方程;

|OB|=

(Ⅱ)若不经过原点 O 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于 M、N 两点,且 S△ OMN=1,证明: 线段 MN 中点 P(x0,y0)的坐标满足 x 【分析】 (I)由题意可得|OB|=1,|OA|= +4y =2. ,即有 b=1,令 y=x 代入椭圆方程,求得

交点,由两点的距离公式计算即可得到所求椭圆方程; (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=kx+t,代入椭圆方程,运用韦达定理和中点坐标公式,可得 P 的 坐标,由三角形的面积公式结合向量数量积的定义和坐标表示,可得 S△ OMN= |x1y2﹣ x2y1|,化简整理即可得到 P 的轨迹方程. 【解答】解: (I)由题意可得|OB|=1,|OA|= 即有 b=1, 令 y=x,可得 +x =1,解得 x=±
2





即有

?

=

,解得 a=2,

即有椭圆的方程为

+y =1;
2 2

2

(Ⅱ)证明:设直线 l 的方程为 y=kx+t,代入椭圆方程 x +4y =4, 2 2 2 可得(1+4k )x +8ktx+4t ﹣4=0, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 即有 x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

MN 的中点为(﹣



) ,

S△ OMN= |OM|?|ON|sin∠MON= = = |x1y2﹣x2y1|

= |x1(kx2+t)﹣x2(kx1+t)|= |t(x1﹣x2)|= |t|? 化简可得 1+4k =2t , 即有 x0 +4y0 =
2 2 2 2

=1,

+4?

=

=

=

=2.

【点评】 本题考查椭圆的方程的求法和线段中点的轨迹方程, 注意运用直线和椭圆方程联立, 运用韦达定理和中点坐标公式,以及三角形的面积公式,考查化简整理的运算能力,属于中 档题. 21. (12 分) (2016?安徽三模)已知函数 f(x)=ax +xlnx. (Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)的在(e,f(e)处的切线方程; (Ⅱ)若 a=﹣e,证明:方程 2|f(x)|﹣3x=2lnx 无解. 【分析】 (Ⅰ)求出 a=1 的 f(x)的解析式,求得导数,可得切线的斜率和切点,运用点斜 式方程即可得到所求切线的方程; (Ⅱ)由题意可得原方程即为 2|﹣ex +xlnx|=3x+2lnx,由 x>0,即有|lnx﹣ex|= 设 g(x)=lnx﹣ex,h(x)= 最值,即可得证. 【解答】解: (Ⅰ)若 a=1,可得 f(x)=x +xlnx 的导数为 f′(x)=2x+1+lnx, 2 函数 f(x)在(e,f(e)处的切线斜率为 k=f′(e)=2e+2,切点为(e,e +e) , 2 则函数 f(x)在(e,f(e)处的切线方程为 y﹣e ﹣e=(2e+2) (x﹣e) , 2 即为(2e+2)x﹣y﹣e ﹣e=0; 2 (Ⅱ)证明:由题意可得方程 2|f(x)|﹣3x=2lnx,即为 2|﹣ex +xlnx|=3x+2lnx, 由 x>0,即有|lnx﹣ex|= + , ,
2 2 2

+ ,

+ ,分别求出 g(x) ,h(x)的导数和单调区间、极值和

设 g(x)=lnx﹣ex,g′(x)= ﹣e=

当 x> 时,g′(x)<0,即有 g(x)在( ,+∞)递减; 当 0<x< 时,g′(x)>0,即有 g(x)在(0, )递增. 可得 g(x)在 x= 处取得极大值,且为最大值 g( )=ln ﹣e? =﹣2. 即有|g(x)|≥2;

设 h(x)=

+ ,h′(x)=



当 x>e 时,h′(x)<0,即有 h(x)在(e,+∞)递减; 当 0<x<e 时,h′(x)>0,即有 h(x)在(0,e)递增. 可得 h(x)在 x=e 处取得极大值,且为最大值 h(e)= 由 2> + ,可得|g(x)|>h(x)恒成立, 即 2|f(x)|>3x+2lnx,故方程 2|f(x)|﹣3x=2lnx 无解. 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间、极值和最值,考查函数方程的转化 思想的运用,注意构造函数,求得最值,考查化简整理的运算能力,属于中档题. [选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?安徽三模)如图,△ABC 的边 AB、BC 与⊙O 交于 A、D、E、C 四点, 且 AC=BE,∠ADC=∠BDE. (Ⅰ)求证:CD 平分∠ACB; (Ⅱ)若 2BE=3DE=3,求 BC 的长. + = + .

【分析】 (Ⅰ) 证明△ACD≌△EBD, 可得 AD=ED, 从而∠ACD=∠ECD, 即 CD 平分∠ACB; (Ⅱ)证明△ABC∽△EBD,求出 AB,BD,利用割线定理,求 BC 的长. 【解答】 (Ⅰ)证明:∵A,C,E,D 四点共圆, ∴∠CAD=∠BED, ∵∠ADC=∠EDB,AC=BE, ∴△ACD≌△EBD, ∴AD=ED, ∴∠ACD=∠ECD, ∴CD 平分∠ACB; (Ⅱ)解:由∠ACB=∠BDE,∠BAC=∠BED 可知△ABC∽△EBD, ∴ = ,

∵2BE=3DE=3,∴AB= , ∴BD=AB﹣AD= , ∵BD?BA=BE?BC, ∴ ∴BC= . ,

【点评】本题考查三角形全等的证明,考查三角形相似的判定与性质,考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. (2016?安徽三模)在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立坐标系,已知直线 l 上两点 M、N 的极坐标分别为(3,π) , ( , ) .

(Ⅰ)设 P 为线段 MN 上的动点,求线段 OP 取得最小值时,点 P 的直角坐标; (Ⅱ)求以 MN 为直径的圆 C 的参数方程,并求在(Ⅰ)的条件下直线 OP 与圆 C 相交所 得的弦长. 【分析】 (I)点 M、N 的极坐标分别为(3,π) , ( , ) ,利用极坐标与直角坐标互化

公式可得直角坐标,进而得到直线 l 的方程.当 OP⊥MN 时,线段 OP 取得最小值,此时直 线 OP 的斜率为﹣ .可得直线 OP 的方程,联立即可解得 P 坐标. (II)线段 MN 的中点 C
2

,可得以 MN 为直径的圆 C 的标准方程为:
2

=3.利用 cos θ+sin θ=1 可以化为参数方程.利用点到直线的距离公 式可得圆心 C 到直线 l 的距离 d,在(Ⅰ)的条件下直线 OP 与圆 C 相交所得的弦长 =2 . , ) ,可得直角坐标分别为:

【解答】解: (I)点 M、N 的极坐标分别为(3,π) , ( (﹣3,0) , 可得直线 l 的方程: . x+ .

当 OP⊥MN 时,线段 OP 取得最小值,此时直线 OP 的斜率为﹣



∴直线 OP 的方程为:y=﹣

x.联立

,解得



∴P

. ,∴以 MN 为直径的圆 C 的标准方程为:

(II)线段 MN 的中点 C =3.

化为参数方程:

(θ 为参数) .

∵圆心 C 到直线 l 的距离 d=

=



∴在(Ⅰ)的条件下直线 OP 与圆 C 相交所得的弦长=2

=3.

【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、点到直线的距 离公式、直线与圆相交弦长公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?安徽三模)已知函数 f(x)=|x+1|﹣|x﹣3|. (Ⅰ)解不等式 f(x)≥1; (Ⅱ)若存在 x∈R,使 f(x)>|2a﹣4|,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (Ⅰ)去绝对值,对 x 分类讨论,分别求解,最后求并集即可; (Ⅱ)存在 x∈R,使 f(x)>|2a﹣4|,相当于只需 f(x)的最大值大于|2a﹣4|,求出 f (x)的最大值,解绝对值不等式即可. 【解答】解: (Ⅰ)当 x≤﹣1 时, f(x)=﹣4, 当﹣1<x<3 时, f(x)=2x﹣2, 当 x≥3 时, f(x)=4, ∴当 x≥3 时 f(x)≥1 恒成立, 当﹣1<x<3 时,2x﹣2≥1, ∴x≥ , ∴f(x)≥1 的解集为[ ,+∞) ; (Ⅱ)由上可知 f(x)的最大值为 4, ∴4>|2a﹣4|, ∴0<a<4, 故 a 的范围为(0,4) . 【点评】考查了绝对值函数的求解和恒成立问题的转化,属于基础题型,应熟练掌握.


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